Dieser Artikel befasst sich mit dem Produkt zweier Vektoren im Raum fur weitere Bedeutungen siehe Kreuzprodukt Begriffsklarung Das Kreuzprodukt auch Vektorprodukt vektorielles Produkt oder ausseres Produkt ist eine Verknupfung im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum die zwei Vektoren wieder einen Vektor zuordnet Um es von anderen Produkten insbesondere vom Skalarprodukt zu unterscheiden wird es im deutsch und englischsprachigen Raum mit einem Malkreuz displaystyle times als Multiplikationszeichen geschrieben vgl Abschnitt Schreibweisen Die Bezeichnungen Kreuzprodukt und Vektorprodukt gehen auf den Physiker Josiah Willard Gibbs zuruck die Bezeichnung ausseres Produkt wurde von Hermann Grassmann gepragt 1 KreuzproduktDas Kreuzprodukt der Vektoren a displaystyle vec a und b displaystyle vec b ist ein Vektor der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und mit ihnen ein Rechtssystem bildet Die Lange dieses Vektors entspricht dem Flacheninhalt des Parallelogramms das von den Vektoren a displaystyle vec a und b displaystyle vec b aufgespannt wird In der Physik tritt das Kreuzprodukt an vielen Stellen auf zum Beispiel im Elektromagnetismus bei der Berechnung der Lorentzkraft oder des Poynting Vektors In der klassischen Mechanik wird es bei Drehgrossen wie dem Drehmoment und dem Drehimpuls oder bei Scheinkraften wie der Corioliskraft benutzt Inhaltsverzeichnis 1 Geometrische Definition 2 Schreibweisen 3 Komponentenweise Berechnung 4 Herleitung 5 Eigenschaften 5 1 Bilinearitat 5 2 Alternierende Abbildung 5 3 Antikommutativitat 5 4 Jacobi Identitat 5 5 Beziehung zur Determinante 5 6 Grassmann Identitat 5 7 Lagrange Identitat 5 8 Kreuzprodukt aus zwei Kreuzprodukten 6 Kreuzproduktmatrix 7 Polare und axiale Vektoren 8 Vom Kreuzprodukt abgeleitete Operationen 8 1 Spatprodukt 8 2 Rotation 9 Kreuzprodukt im n dimensionalen Raum 10 Kreuzprodukt in komplexwertigen Vektorraumen 11 Anwendungen 12 Literatur 13 Weblinks 14 EinzelnachweiseGeometrische Definition Bearbeiten nbsp Rechte Hand RegelDas Kreuzprodukt a b displaystyle vec a times vec b nbsp von zwei Vektoren a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp im dreidimensionalen Anschauungsraum ist ein Vektor der orthogonal zu a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp und damit orthogonal zu der von a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp aufgespannten Ebene ist Dieser Vektor ist so orientiert dass a b displaystyle vec a vec b nbsp und a b displaystyle vec a times vec b nbsp in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden Mathematisch heisst das dass die drei Vektoren a b displaystyle vec a vec b nbsp und a b displaystyle vec a times vec b nbsp gleich orientiert sind wie die Vektoren e 1 displaystyle vec e 1 nbsp e 2 displaystyle vec e 2 nbsp und e 3 displaystyle vec e 3 nbsp der Standardbasis Im physikalischen Raum bedeutet es dass sie sich wie Daumen Zeigefinger und abgespreizter Mittelfinger der rechten Hand verhalten Rechte Hand Regel Ein Drehen des ersten Vektors a displaystyle vec a nbsp in den zweiten Vektor b displaystyle vec b nbsp ergibt die positive Richtung des Vektors a b displaystyle vec a times vec b nbsp uber den Rechtsschraubensinn nbsp nbsp Abhangigkeit des Kreuzproduktes und dessen Betrag vom WinkelDer Betrag von a b displaystyle vec a times vec b nbsp gibt den Flacheninhalt des von a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp aufgespannten Parallelogramms an Ausgedruckt durch die Langen a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp der Vektoren a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp sowie den von a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp eingeschlossenen Winkel 8 a b displaystyle theta sphericalangle vec a vec b nbsp gilt a b a b sin 8 displaystyle vec a times vec b vec a vec b sin theta nbsp wobei sin 8 displaystyle sin theta nbsp den Sinus des eingeschlossenen Winkels 8 displaystyle theta nbsp bezeichnet Streng genommen lasst sich diese Formel nur fur a b 0 displaystyle vec a vec b neq vec 0 nbsp anwenden da ansonsten 8 displaystyle theta nbsp nicht erklart ist Zusammenfassend gilt also a b a b sin 8 n falls a b 0 0 sonst displaystyle vec a times vec b begin cases displaystyle vec a vec b sin theta vec n amp text falls vec a vec b neq vec 0 vec 0 amp text sonst end cases nbsp wobei der Vektor n displaystyle vec n nbsp derjenige zu a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp senkrechte Einheitsvektor ist der diese zu einem Rechtssystem erganzt Schreibweisen BearbeitenJe nach Land sind fur das Vektorprodukt zum Teil unterschiedliche Schreibweisen gebrauchlich Im englisch und deutschsprachigen Raum wird fur das Vektorprodukt zweier Vektoren a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp fur gewohnlich die Schreibweise a b displaystyle vec a times vec b nbsp verwendet in Frankreich und Italien wird dagegen die Schreibweise a b displaystyle vec a wedge vec b nbsp bevorzugt In Russland wird das Vektorprodukt oft in der Schreibweise a b displaystyle vec a vec b nbsp oder a b displaystyle vec a vec b nbsp notiert Die Schreibweise a b displaystyle vec a wedge vec b nbsp und die Bezeichnung ausseres Produkt werden nicht nur fur das Vektorprodukt verwendet sondern auch fur die Verknupfung die zwei Vektoren einen sogenannten Bivektor zuordnet siehe Grassmann Algebra Komponentenweise Berechnung BearbeitenIn einem rechtshandigen kartesischen Koordinatensystem bzw im reellen Koordinatenraum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp mit dem Standardskalarprodukt und der Standardorientierung gilt fur das Kreuzprodukt a b a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 displaystyle vec a times vec b begin pmatrix a 1 a 2 a 3 end pmatrix times begin pmatrix b 1 b 2 b 3 end pmatrix begin pmatrix a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 end pmatrix nbsp Ein Zahlenbeispiel 1 2 3 7 8 9 2 9 3 8 3 7 1 9 1 8 2 7 6 30 22 displaystyle begin pmatrix 1 2 3 end pmatrix times begin pmatrix 7 8 9 end pmatrix begin pmatrix 2 cdot 9 3 cdot 8 3 cdot 7 1 cdot 9 1 cdot 8 2 cdot 7 end pmatrix begin pmatrix 6 30 22 end pmatrix nbsp Eine Merkregel fur diese Formel beruht auf einer symbolischen Darstellung uber die Determinante Dabei notiert man eine 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp Matrix in deren erster Spalte die Symbole e 1 displaystyle vec e 1 nbsp e 2 displaystyle vec e 2 nbsp und e 3 displaystyle vec e 3 nbsp fur die Standardbasis stehen Die zweite Spalte wird von den Komponenten des Vektors a displaystyle vec a nbsp und die dritte von denen des Vektors b displaystyle vec b nbsp gebildet Diese Determinante berechnet man nach den ublichen Regeln zum Beispiel indem man sie nach der ersten Spalte entwickelt a b det e 1 a 1 b 1 e 2 a 2 b 2 e 3 a 3 b 3 e 1 a 2 b 2 a 3 b 3 e 2 a 1 b 1 a 3 b 3 e 3 a 1 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 a 3 b 2 e 1 a 3 b 1 a 1 b 3 e 2 a 1 b 2 a 2 b 1 e 3 displaystyle begin aligned vec a times vec b amp det begin pmatrix vec e 1 amp a 1 amp b 1 vec e 2 amp a 2 amp b 2 vec e 3 amp a 3 amp b 3 end pmatrix amp vec e 1 begin vmatrix a 2 amp b 2 a 3 amp b 3 end vmatrix vec e 2 begin vmatrix a 1 amp b 1 a 3 amp b 3 end vmatrix vec e 3 begin vmatrix a 1 amp b 1 a 2 amp b 2 end vmatrix amp a 2 b 3 a 3 b 2 vec e 1 a 3 b 1 a 1 b 3 vec e 2 a 1 b 2 a 2 b 1 vec e 3 end aligned nbsp oder mit Hilfe der Regel von Sarrus a b det e 1 a 1 b 1 e 2 a 2 b 2 e 3 a 3 b 3 e 1 a 2 b 3 a 1 b 2 e 3 b 1 e 2 a 3 e 3 a 2 b 1 a 3 b 2 e 1 b 3 e 2 a 1 a 2 b 3 a 3 b 2 e 1 a 3 b 1 a 1 b 3 e 2 a 1 b 2 a 2 b 1 e 3 displaystyle begin aligned vec a times vec b amp det begin pmatrix vec e 1 amp a 1 amp b 1 vec e 2 amp a 2 amp b 2 vec e 3 amp a 3 amp b 3 end pmatrix amp vec e 1 a 2 b 3 a 1 b 2 vec e 3 b 1 vec e 2 a 3 amp quad vec e 3 a 2 b 1 a 3 b 2 vec e 1 b 3 vec e 2 a 1 amp a 2 b 3 a 3 b 2 vec e 1 a 3 b 1 a 1 b 3 vec e 2 a 1 b 2 a 2 b 1 vec e 3 end aligned nbsp Mit dem Levi Civita Symbol e i j k displaystyle varepsilon ijk nbsp schreibt sich das Kreuzprodukt als a b i j k 1 3 e i j k a i b j e k displaystyle vec a times vec b sum i j k 1 3 varepsilon ijk a i b j vec e k nbsp Herleitung BearbeitenFuhrt man im euklidischen Raum ein rechtshandiges kartesisches Koordinatensystem mit den Basiseinheitsvektoren e 1 e 2 e 3 displaystyle vec e 1 vec e 2 vec e 3 nbsp ein so erhalt man direkt aus der geometrischen Definition und der Antikommutativitat e 1 e 1 0 e 1 e 2 e 3 e 1 e 3 e 2 e 2 e 1 e 3 e 2 e 2 0 e 2 e 3 e 1 e 3 e 1 e 2 e 3 e 2 e 1 e 3 e 3 0 displaystyle begin array lll vec e 1 times vec e 1 vec 0 amp vec e 1 times vec e 2 vec e 3 amp vec e 1 times vec e 3 vec e 2 vec e 2 times vec e 1 vec e 3 amp vec e 2 times vec e 2 vec 0 amp vec e 2 times vec e 3 vec e 1 vec e 3 times vec e 1 vec e 2 amp vec e 3 times vec e 2 vec e 1 amp vec e 3 times vec e 3 vec 0 end array nbsp Druckt man zwei Vektoren a b displaystyle vec a vec b nbsp mithilfe der Basiseinheitsvektoren aus so liest sich deren Kreuzprodukt als a b a 1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3 b 1 e 1 b 2 e 2 b 3 e 3 displaystyle vec a times vec b left a 1 vec e 1 a 2 vec e 2 a 3 vec e 3 right times left b 1 vec e 1 b 2 vec e 2 b 3 vec e 3 right nbsp Unter Vorwegnahme der Bilinearitat des Kreuzprodukts siehe Eigenschaften lasst sich die rechte Seite ausmultiplizieren a b a 1 b 1 e 1 e 1 a 1 b 2 e 1 e 2 a 1 b 3 e 1 e 3 a 2 b 1 e 2 e 1 a 2 b 2 e 2 e 2 a 2 b 3 e 2 e 3 a 3 b 1 e 3 e 1 a 3 b 2 e 3 e 2 a 3 b 3 e 3 e 3 displaystyle vec a times vec b a 1 b 1 left vec e 1 times vec e 1 right a 1 b 2 left vec e 1 times vec e 2 right a 1 b 3 left vec e 1 times vec e 3 right a 2 b 1 left vec e 2 times vec e 1 right a 2 b 2 left vec e 2 times vec e 2 right a 2 b 3 left vec e 2 times vec e 3 right a 3 b 1 left vec e 3 times vec e 1 right a 3 b 2 left vec e 3 times vec e 2 right a 3 b 3 left vec e 3 times vec e 3 right nbsp Einsetzen der obigen Kreuzprodukte liefert a b a 1 b 2 e 3 a 1 b 3 e 2 a 2 b 1 e 3 a 2 b 3 e 1 a 3 b 1 e 2 a 3 b 2 e 1 displaystyle vec a times vec b a 1 b 2 vec e 3 a 1 b 3 left vec e 2 right a 2 b 1 left vec e 3 right a 2 b 3 vec e 1 a 3 b 1 vec e 2 a 3 b 2 left vec e 1 right nbsp Durch Zusammenfassung von Termen erhalt man hieraus a b a 2 b 3 a 3 b 2 e 1 a 3 b 1 a 1 b 3 e 2 a 1 b 2 a 2 b 1 e 3 displaystyle vec a times vec b a 2 b 3 a 3 b 2 vec e 1 a 3 b 1 a 1 b 3 vec e 2 a 1 b 2 a 2 b 1 vec e 3 nbsp Eigenschaften BearbeitenBilinearitat Bearbeiten Das Kreuzprodukt ist bilinear 2 das heisst fur alle reellen Zahlen a displaystyle alpha nbsp b displaystyle beta nbsp und g displaystyle gamma nbsp und alle Vektoren a displaystyle vec a nbsp b displaystyle vec b nbsp und c displaystyle vec c nbsp gilt a b b g c b a b g a c a a b b c a a c b b c displaystyle begin aligned vec a times beta vec b gamma vec c beta vec a times vec b gamma vec a times vec c alpha vec a beta vec b times vec c alpha vec a times vec c beta vec b times vec c end aligned nbsp Die Bilinearitat impliziert insbesondere auch das folgende Verhalten hinsichtlich der Skalarmultiplikation a b b b a b b a b displaystyle vec a times beta vec b beta vec a times vec b beta vec a times vec b nbsp a a b b a b a b b a a b displaystyle alpha vec a times beta vec b alpha beta vec a times vec b beta vec a times alpha vec b nbsp Alternierende Abbildung Bearbeiten Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst oder einem kollinearen Vektor ergibt den Nullvektor a r a 0 displaystyle vec a times r vec a vec 0 nbsp Bilineare Abbildungen fur die diese Gleichung gilt werden alternierend genannt 2 Antikommutativitat Bearbeiten nbsp Antikommutativitat in einem RechtssystemDas Kreuzprodukt ist antikommutativ Das heisst bei Vertauschung der Argumente wechselt es das Vorzeichen 2 a b b a displaystyle vec a times vec b vec b times vec a nbsp Dies folgt aus der Eigenschaft 1 alternierend und 2 bilinear zu sein da 0 1 a b a b 2 a a a b b a b b 1 0 a b b a 0 a b b a displaystyle vec 0 mathrel stackrel 1 vec a vec b times vec a vec b mathrel stackrel 2 vec a times vec a vec a times vec b vec b times vec a vec b times vec b mathrel stackrel 1 vec 0 vec a times vec b vec b times vec a vec 0 vec a times vec b vec b times vec a nbsp fur alle a b R 3 displaystyle vec a vec b in mathbb R 3 nbsp gilt Jacobi Identitat Bearbeiten Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ Stattdessen gilt die Jacobi Identitat das heisst die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte verschwindet a b c b c a c a b 0 displaystyle vec a times vec b times vec c vec b times vec c times vec a vec c times vec a times vec b vec 0 nbsp Aufgrund dieser Eigenschaft und den zuvor genannten bildet der R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp zusammen mit dem Kreuzprodukt eine Lie Algebra Beziehung zur Determinante Bearbeiten Fur jeden Vektor v displaystyle vec v nbsp gilt v a b det v a b displaystyle vec v cdot vec a times vec b operatorname det vec v vec a vec b nbsp Dabei bezeichnet der Malpunkt das Skalarprodukt Durch diese Bedingung ist das Kreuzprodukt eindeutig bestimmt 2 Fur jeden Vektor v displaystyle vec v nbsp gilt Sind zwei Vektoren a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp gegeben so gibt es genau einen Vektor c displaystyle vec c nbsp so dass v c det v a b displaystyle vec v cdot vec c operatorname det vec v vec a vec b nbsp fur alle Vektoren v displaystyle vec v nbsp gilt Dieser Vektor c displaystyle vec c nbsp ist a b displaystyle vec a times vec b nbsp Grassmann Identitat Bearbeiten Fur das wiederholte Kreuzprodukt von drei Vektoren auch doppeltes Vektorprodukt genannt 3 gilt die Grassmann Identitat auch Grassmannscher Entwicklungssatz nach Hermann Grassmann Diese lautet a b c a c b a b c displaystyle vec a times vec b times vec c vec a cdot vec c vec b vec a cdot vec b vec c nbsp bzw a b c a c b b c a displaystyle vec a times vec b times vec c vec a cdot vec c vec b vec b cdot vec c vec a nbsp wobei die Malpunkte das Skalarprodukt bezeichnen In der Physik wird oft die Schreibweise a b c b a c c a b displaystyle vec a times vec b times vec c vec b vec a cdot vec c vec c vec a cdot vec b nbsp verwendet Nach dieser Darstellung wird die Formel auch BAC CAB Formel genannt In Indexschreibweise lautet die Grassmann Identitat k 1 3 e i j k e k l m d i l d j m d i m d j l displaystyle sum k 1 3 varepsilon ijk varepsilon klm delta il delta jm delta im delta jl nbsp Hierbei ist e i j k displaystyle varepsilon ijk nbsp das Levi Civita Symbol und d i j displaystyle delta ij nbsp das Kronecker Delta Lagrange Identitat Bearbeiten Fur das Skalarprodukt von zwei Kreuzprodukten gilt 2 a b c d a c b d b c a d det a c a d b c b d displaystyle begin aligned vec a times vec b cdot vec c times vec d amp vec a cdot vec c vec b cdot vec d vec b cdot vec c vec a cdot vec d amp det begin pmatrix vec a cdot vec c amp vec a cdot vec d vec b cdot vec c amp vec b cdot vec d end pmatrix end aligned nbsp Fur das Quadrat der Norm erhalt man hieraus a b 2 a 2 b 2 a b 2 a 2 b 2 1 cos 2 8 a 2 b 2 sin 2 8 displaystyle begin aligned vec a times vec b 2 amp vec a 2 vec b 2 vec a cdot vec b 2 amp vec a 2 vec b 2 1 cos 2 theta amp vec a 2 vec b 2 sin 2 theta end aligned nbsp also gilt fur den Betrag des Kreuzproduktes a b a b sin 8 displaystyle vec a times vec b vec a vec b sin theta nbsp Da 8 displaystyle theta nbsp der Winkel zwischen a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp immer zwischen 0 und 180 liegt ist 0 sin 8 1 displaystyle 0 leq sin theta leq 1 nbsp Daraus folgt die Abschatzung a b a b displaystyle vec a times vec b leq vec a vec b nbsp Kreuzprodukt aus zwei Kreuzprodukten Bearbeiten a b c d b det a c d a det b c d c det a b d d det a b c displaystyle begin aligned vec a times vec b times vec c times vec d amp vec b cdot det vec a vec c vec d vec a cdot det vec b vec c vec d amp vec c cdot det vec a vec b vec d vec d cdot det vec a vec b vec c end aligned nbsp Sonderfalle a b b c b det a b c displaystyle vec a times vec b times vec b times vec c vec b cdot det vec a vec b vec c nbsp a b a c a det a b c displaystyle vec a times vec b times vec a times vec c vec a cdot det vec a vec b vec c nbsp a b a b 0 displaystyle vec a times vec b times vec a times vec b vec 0 nbsp Kreuzproduktmatrix BearbeitenDas Kreuzprodukt definiert fur einen festen Vektor w displaystyle vec w nbsp eine lineare Abbildung die einen Vektor v displaystyle vec v nbsp auf den Vektor w v displaystyle vec w times vec v nbsp abbildet Diese kann mit einem schiefsymmetrischen Tensor zweiter Stufe identifiziert werden Bei Verwendung der Standardbasis e 1 e 2 e 3 displaystyle lbrace vec e 1 vec e 2 vec e 3 rbrace nbsp entspricht die lineare Abbildung einer Matrixoperation Die schiefsymmetrische Matrix W i 1 3 w e i e i 0 w 3 w 2 w 3 0 w 1 w 2 w 1 0 displaystyle W sum i 1 3 vec w times vec e i otimes vec e i left begin array ccc 0 amp w 3 amp w 2 w 3 amp 0 amp w 1 w 2 amp w 1 amp 0 end array right nbsp mit w i 1 3 w i e i w 1 w 2 w 3 displaystyle displaystyle vec w sum i 1 3 w i vec e i left begin array c w 1 w 2 w 3 end array right nbsp leistet das Gleiche wie das Kreuzprodukt mit w displaystyle vec w nbsp d h W v w v displaystyle W vec v vec w times vec v nbsp 0 w 3 w 2 w 3 0 w 1 w 2 w 1 0 v 1 v 2 v 3 w 3 v 2 w 2 v 3 w 3 v 1 w 1 v 3 w 2 v 1 w 1 v 2 w 1 w 2 w 3 v 1 v 2 v 3 displaystyle left begin array ccc 0 amp w 3 amp w 2 w 3 amp 0 amp w 1 w 2 amp w 1 amp 0 end array right left begin array c v 1 v 2 v 3 end array right left begin array c w 3 v 2 w 2 v 3 w 3 v 1 w 1 v 3 w 2 v 1 w 1 v 2 end array right left begin array c w 1 w 2 w 3 end array right times left begin array c v 1 v 2 v 3 end array right nbsp Die Matrix W displaystyle W nbsp heisst Kreuzproduktmatrix Sie wird auch mit w displaystyle vec w times nbsp bezeichnet In Indexnotation gilt W i j k 1 3 e i j k w k displaystyle W ij sum k 1 3 varepsilon ijk w k nbsp mit j 1 3 W i j v j w v i displaystyle sum j 1 3 W ij v j vec w times vec v i nbsp Bei gegebener schiefsymmetrischer Matrix W displaystyle W nbsp gilt W i 1 3 j 1 3 W i j e i e j W T displaystyle W sum i 1 3 sum j 1 3 W ij vec e i otimes vec e j W T nbsp wobei W T displaystyle W T nbsp die Transponierte von W displaystyle W nbsp ist und man erhalt den zugehorigen Vektor aus w 1 2 i 1 3 j 1 3 W i j e i e j displaystyle vec w frac 1 2 sum i 1 3 sum j 1 3 W ij vec e i times vec e j nbsp Hat w displaystyle vec w nbsp die Gestalt w b a displaystyle vec w vec b times vec a nbsp so gilt fur die zugehorige Kreuzproduktmatrix W w a b b a displaystyle W vec w times vec a otimes vec b vec b otimes vec a nbsp und W i j a i b j b i a j displaystyle W ij a i b j b i a j nbsp fur alle i j displaystyle i j nbsp Hierbei bezeichnet displaystyle otimes nbsp das dyadische Produkt Polare und axiale Vektoren BearbeitenBei der Anwendung des Kreuzprodukts auf vektorielle physikalische Grossen spielt die Unterscheidung in polare oder Schubvektoren das sind solche die sich wie Differenzen zweier Ortsvektoren verhalten zum Beispiel Geschwindigkeit Beschleunigung Kraft elektrische Feldstarke einerseits und axiale oder Drehvektoren auch Pseudovektoren genannt andererseits das sind solche die sich wie Drehachsen verhalten zum Beispiel Winkelgeschwindigkeit Drehmoment Drehimpuls magnetische Flussdichte eine wichtige Rolle Polaren oder Schubvektoren ordnet man dabei die Signatur oder Paritat 1 zu axialen oder Drehvektoren die Signatur 1 Bei der vektoriellen Multiplikation zweier Vektoren schliesslich multiplizieren sich diese Signaturen zwei Vektoren mit gleicher Signatur liefern ein axiales zwei mit verschiedener Signatur ein polares Vektorprodukt Operationell ausgedruckt Ein Vektor ubertragt seine Signatur auf des Kreuzprodukt mit einem anderen Vektor wenn dieser axial ist ist der andere Vektor dagegen polar bekommt das Kreuzprodukt die entgegengesetzte Signatur Vom Kreuzprodukt abgeleitete Operationen BearbeitenSpatprodukt Bearbeiten Hauptartikel Spatprodukt Die Kombination von Kreuz und Skalarprodukt in der Form a b c displaystyle vec a times vec b cdot vec c nbsp wird als Spatprodukt bezeichnet Das Ergebnis ist eine Zahl die dem orientierten Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats Parallelepipeds entspricht Das Spatprodukt lasst sich auch als Determinante der benannten drei Vektoren darstellen V a b c det a b c displaystyle V vec a times vec b cdot vec c det left vec a vec b vec c right nbsp Rotation Bearbeiten Hauptartikel Rotation eines Vektorfeldes In der Vektoranalysis wird das Kreuzprodukt zusammen mit dem Nabla Operator displaystyle nabla nbsp verwendet um den Differentialoperator Rotation zu bezeichnen Ist V displaystyle vec V nbsp ein Vektorfeld im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp so ist rot V V x 1 x 2 x 3 V 1 V 2 V 3 x 2 V 3 x 3 V 2 x 3 V 1 x 1 V 3 x 1 V 2 x 2 V 1 V 3 x 2 V 2 x 3 V 1 x 3 V 3 x 1 V 2 x 1 V 1 x 2 displaystyle operatorname rot vec V nabla times vec V begin pmatrix frac partial partial x 1 5em frac partial partial x 2 5em frac partial partial x 3 end pmatrix times begin pmatrix V 1 5em V 2 5em V 3 end pmatrix begin pmatrix frac partial partial x 2 V 3 frac partial partial x 3 V 2 5em frac partial partial x 3 V 1 frac partial partial x 1 V 3 5em frac partial partial x 1 V 2 frac partial partial x 2 V 1 end pmatrix begin pmatrix frac partial V 3 partial x 2 frac partial V 2 partial x 3 5em frac partial V 1 partial x 3 frac partial V 3 partial x 1 5em frac partial V 2 partial x 1 frac partial V 1 partial x 2 end pmatrix nbsp wieder ein Vektorfeld die Rotation von V displaystyle vec V nbsp Formal wird dieses Vektorfeld also als Kreuzprodukt des Nabla Operators und des Vektorfelds V displaystyle vec V nbsp berechnet Die hierbei auftretenden Ausdrucke x i V j displaystyle tfrac partial partial x i V j nbsp sind jedoch keine Produkte sondern Anwendungen des Differentialoperators x i displaystyle tfrac partial partial x i nbsp auf die Funktion V j displaystyle V j nbsp Deshalb sind die oben angefuhrten Rechenregeln wie z B die Grassmann Identitat in diesem Fall nicht gultig Stattdessen gelten fur doppelte Kreuzprodukte mit dem Nabla Operator besondere Rechenregeln Kreuzprodukt im n dimensionalen Raum BearbeitenDas Kreuzprodukt lasst sich fur beliebige Dimension n 2 displaystyle n geq 2 nbsp auf den n dimensionalen Raum R n displaystyle mathbb R n nbsp verallgemeinern Dabei ist das Kreuzprodukt im R n displaystyle mathbb R n nbsp kein Produkt von zwei Faktoren sondern von n 1 displaystyle n 1 nbsp Faktoren Das Kreuzprodukt a 1 a 2 a n 1 displaystyle vec a 1 times vec a 2 times cdots times vec a n 1 nbsp der Vektoren a 1 a n 1 R n displaystyle vec a 1 dots vec a n 1 in mathbb R n nbsp ist dadurch charakterisiert dass fur jeden Vektor v R n displaystyle vec v in mathbb R n nbsp gilt v a 1 a 2 a n 1 det v a 1 a n 1 displaystyle vec v cdot vec a 1 times vec a 2 times cdots times vec a n 1 operatorname det vec v vec a 1 dots vec a n 1 nbsp In Koordinaten lasst sich das Kreuzprodukt im R n displaystyle mathbb R n nbsp wie folgt berechnen Es sei e i displaystyle vec e i nbsp der zugehorige i displaystyle i nbsp te kanonische Einheitsvektor Fur n 1 displaystyle n 1 nbsp Vektoren a 1 a 11 a 21 a n 1 a 2 a 12 a 22 a n 2 a n 1 a 1 n 1 a 2 n 1 a n n 1 R n displaystyle vec a 1 begin pmatrix a 11 a 21 vdots a n1 end pmatrix vec a 2 begin pmatrix a 12 a 22 vdots a n2 end pmatrix dots vec a n 1 begin pmatrix a 1 n 1 a 2 n 1 vdots a n n 1 end pmatrix in mathbb R n nbsp gilt a 1 a 2 a n 1 det e 1 a 11 a 1 n 1 e 2 a 21 a 2 n 1 e n a n 1 a n n 1 displaystyle vec a 1 times vec a 2 times cdots times vec a n 1 det begin pmatrix vec e 1 amp a 11 amp cdots amp a 1 n 1 vec e 2 amp a 21 amp cdots amp a 2 n 1 vdots amp vdots amp ddots amp vdots vec e n amp a n1 amp dots amp a n n 1 end pmatrix nbsp analog zu der oben erwahnten Berechnung mit Hilfe einer Determinante Der Vektor a 1 a 2 a n 1 displaystyle vec a 1 times vec a 2 times cdots times vec a n 1 nbsp ist orthogonal zu a 1 a 2 a n 1 displaystyle vec a 1 vec a 2 dotsc vec a n 1 nbsp Die Orientierung ist so dass die Vektoren a 1 a 2 a n 1 a 1 a 2 a n 1 displaystyle vec a 1 times vec a 2 times cdots times vec a n 1 vec a 1 vec a 2 dotsc vec a n 1 nbsp in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden Der Betrag von a 1 a 2 a n 1 displaystyle vec a 1 times vec a 2 times cdots times vec a n 1 nbsp ist gleich dem n 1 displaystyle n 1 nbsp dimensionalen Volumen des von a 1 a 2 a n 1 displaystyle vec a 1 vec a 2 dotsc vec a n 1 nbsp aufgespannten Parallelotops Fur n 2 displaystyle n 2 nbsp erhalt man dabei kein Produkt sondern nur eine lineare Abbildung R 2 R 2 a 1 a 2 a 2 a 1 displaystyle mathbb R 2 to mathbb R 2 begin pmatrix a 1 a 2 end pmatrix mapsto begin pmatrix a 2 a 1 end pmatrix nbsp die Rotation um 90 im Uhrzeigersinn Hieran ist auch zu erkennen dass die Komponentenvektoren des Kreuzprodukts inklusive des Ergebnisvektors in dieser Reihenfolge anders als aus dem R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp gewohnt im Allgemeinen kein Rechtssystem bilden diese entstehen nur in reellen Vektorraumen mit ungeradem n displaystyle n nbsp bei geraden n displaystyle n nbsp bildet der Ergebnisvektor mit den Komponentenvektoren ein Linkssystem Dies liegt wiederum daran dass die Basis a 1 a 2 a n 1 a 1 a 2 a n 1 displaystyle vec a 1 vec a 2 dotsc vec a n 1 vec a 1 times vec a 2 times dotsb times vec a n 1 nbsp in Raumen geradzahliger Dimension nicht dasselbe ist wie die Basis a 1 a 2 a n 1 a 1 a 2 a n 1 displaystyle vec a 1 times vec a 2 times dotsb times vec a n 1 vec a 1 vec a 2 dotsc vec a n 1 nbsp die per Definition siehe oben ein Rechtssystem ist Zwar wurde eine kleine Veranderung der Definition dazu fuhren dass die Vektoren in der erstgenannten Reihenfolge im R n displaystyle mathbb R n nbsp stets ein Rechtssystem bilden namlich wenn in der symbolischen Determinante die Spalte der Einheitsvektoren ganz nach rechts gesetzt wurde diese Definition hat sich allerdings nicht durchgesetzt Eine noch weitergehende Verallgemeinerung fuhrt auf die Grassmann Algebren Anwendung finden diese Algebren etwa in Formulierungen der Differentialgeometrie welche die rigorose Beschreibung der klassischen Mechanik Symplektische Mannigfaltigkeiten der Quantengeometrie sowie in allererster Linie der Allgemeinen Relativitatstheorie erlaubt In der Literatur wird das Kreuzprodukt im hoherdimensionalen und ggf gekrummten Raum meist indexweise mit Levi Civita Symbol ausgeschrieben Kreuzprodukt in komplexwertigen Vektorraumen BearbeitenBehandelt man Vektoren aus komplexen Vektorraumen z B in C 3 displaystyle mathbb C 3 nbsp muss das Kreuzprodukt entsprechend angepasst werden Die konkrete Realisation hangt dabei von der gewahlten Definition des komplexen Skalarprodukts ab Wahlt man das Standardskalarprodukt zweier Vektoren x y C 3 displaystyle x y in mathbb C 3 nbsp bei dem der erste Vektor als komplexe Konjugation eingeht x y x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n i 1 n x i y i x H y displaystyle langle vec x vec y rangle bar x 1 y 1 bar x 2 y 2 dotsb bar x n y n sum i 1 n bar x i y i vec x H vec y nbsp dann wird das Kreuzprodukt wie im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp berechnet und das Ergebnis anschliessend komplex konjugiert x y x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 x 2 y 3 x 3 y 2 x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1 displaystyle vec x times vec y begin pmatrix x 1 x 2 x 3 end pmatrix times begin pmatrix y 1 y 2 y 3 end pmatrix begin pmatrix overline x 2 y 3 x 3 y 2 overline x 3 y 1 x 1 y 3 overline x 1 y 2 x 2 y 1 end pmatrix nbsp Anwendungen BearbeitenDas Kreuzprodukt findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik unter anderem bei folgenden Themen Berechnung des Drehmoments des Drehimpulses der Corioliskraft der Lorentzkraft Abstandsformel fur windschiefe GeradenLiteratur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra Vieweg Verlag ISBN 3 528 97217 3 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Kreuzprodukt Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Kreuzprodukt Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Video Vektorprodukt 1 Jorn Loviscach 2010 zur Verfugung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek TIB doi 10 5446 9743 Video Vektorprodukt 2 Jorn Loviscach 2010 zur Verfugung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek TIB doi 10 5446 9744 Einzelnachweise Bearbeiten Max Pasler Grundzuge der Vektor und Tensorrechnung Walter de Gruyter 1977 ISBN 3 11 082794 8 S 33 a b c d e Herbert Amann Joachim Escher Analysis 2 Band 2 korrigierte Auflage Birkhauser Verlag Basel u a 2006 ISBN 3 7643 7105 6 Grundstudium Mathematik S 312 313 Doppeltes Vektorprodukt Vorlesungsskript Klassische und relativistische Mechanik Othmar Marti abgerufen am 2 Oktober 2020 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kreuzprodukt amp oldid 235254665
