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Windschiefe In der Geometrie nennt man zwei Geraden windschief wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander si

Windschiefe

In der Geometrie nennt man zwei Geraden windschief, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Dies ist im zweidimensionalen Raum nicht möglich, da hier alle denkbaren Geraden in der gleichen Ebene liegen und sich schneiden oder parallel sind. Windschiefe Geraden gibt es daher nur in mindestens dreidimensionalen Räumen.

Darstellung zweier windschiefer Geraden
Räumliches Bild zweier windschiefer Geraden mit Gemeinlot

Das Wort „windschief“ stammt von der Vorstellung, dass zwei ursprünglich parallele Geraden um ihre Verbindungsachse (Transversale) „gewunden“, also verdreht wurden.

Zum Nachweis, dass zwei Geraden und windschief sind, genügt es zu zeigen, dass ein Richtungsvektor von , ein Richtungsvektor von und ein Verschiebungsvektor von einem Punkt auf zu einem Punkt auf linear unabhängig sind. Äquivalent kann man zeigen, dass es keine Ebene gibt, die beide Geraden enthält.

Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden Bearbeiten

Abstand d zweier windschiefer Geraden

Die eindeutig bestimmte Strecke kleinster Länge, die zwei windschiefe Geraden und verbindet, nennt man Gemeinlot der beiden Geraden. Die Gerade, auf der das Gemeinlot liegt, nennt man die Minimaltransversale der beiden Geraden. Diese ist diejenige eindeutig bestimmte Gerade, welche im rechten Winkel zu den beiden Geraden steht. Die Länge des Gemeinlots von und ist der Abstand der beiden Geraden.

Gegeben seien die windschiefen Geraden und mit den Stützpunkten und bzw. den Stützvektoren und den Richtungsvektoren und . Dann sind die Parameterformen der Geradengleichungen

wobei gilt und die drei Vektoren linear unabhängig sein müssen.

Der Normalenvektor , der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren und steht, lässt sich über das Kreuzprodukt berechnen:

Die Berechnung des Abstandes ist möglich durch die orthogonale Projektion des Verbindungsvektors der Stützpunkte auf den Normalenvektor. Dazu wird der Normalenvektor auf die Länge 1 gebracht. Der Abstand der beiden windschiefen Geraden beträgt dann

Schreibweise mit Determinanten Bearbeiten

Die beiden Geradengleichungen lauten ausgeschrieben

Der Abstand der beiden windschiefen Geraden mit Hilfe der Determinante det beträgt dann

Bestimmung der Lotfußpunkte Bearbeiten

Zeichnung zur Bestimmung der Lotfußpunkte

Den Lotfußpunkt erhält man, indem man eine Hilfsebene aufstellt. Der Punkt liegt auf der Hilfsebene, und spannen die Hilfsebene auf.

wobei der Normalenvektor bestimmt wird durch

Der Schnittpunkt von und ergibt den Lotfußpunkt :

Analog erhält man mit der Ebene und ihrem Schnittpunkt mit :

Bei dieser Methode muss der Abstand nicht berechnet werden.

Die Lotfußpunkte können auch so bestimmt werden, dass man die beiden (vorerst unbekannten) Punkte ansetzt:

und dann einen entlang verschiebt und ihn mit dem anderen zur Deckung bringt:

Eine zeilenweise Auflösung ergibt ein System mit drei Variablen: , und . Die Fußpunkte sind dann:

Der Abstand ergibt sich aus

Bemerkung Bearbeiten

  • Im Taschenbuch der Mathematik von I.N. Bronstein und K.A. Semendjajew wird „kreuzend“ als Synonym für „windschief“ genannt.

Literatur Bearbeiten

  • M. Jeger, B. Eckmann: Einführung in die vektorielle Geometrie und lineare Algebra für Ingenieure und Naturwissenschafter. Birkhäuser Verlag, Basel / Stuttgart 1967.
  • Joachim Köhler et al.: Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung. Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main 1971, ISBN 3-425-05302-7
  • Joachim Köhler et al.: Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung. Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main 1971, ISBN 3-425-05302-7
  • Wilmut Kohlmann et al.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Vieweg-Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-594-10826-0
  • Elisabeth und Friedrich Barth, Gert Krumbacher: Anschauliche Analytische Geometrie. Oldenbourg-Verlag, München 1997, ISBN 3-486-03500-2

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Windschiefe Geraden – Weitere Methoden zur Berechnung des Abstands und der Lotfußpunkte
Wiktionary: windschief – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Meyers Rechenduden. Bibliographisches Institut, Mannheim 1960, S. 807
  2. DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache. Abgerufen am 20. Mai 2021.
  3. Abschnitt 3.3.1.1 Zwei Geraden in der Google-Bücher-Suche für das Taschenbuch der Mathematik
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In der Geometrie nennt man zwei Geraden windschief wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind 1 Dies ist im zweidimensionalen Raum nicht moglich da hier alle denkbaren Geraden in der gleichen Ebene liegen und sich schneiden oder parallel sind Windschiefe Geraden gibt es daher nur in mindestens dreidimensionalen Raumen Darstellung zweier windschiefer GeradenRaumliches Bild zweier windschiefer Geraden mit GemeinlotDas Wort windschief stammt von der Vorstellung dass zwei ursprunglich parallele Geraden um ihre Verbindungsachse Transversale gewunden also verdreht wurden 2 Zum Nachweis dass zwei Geraden g displaystyle g und h displaystyle h windschief sind genugt es zu zeigen dass ein Richtungsvektor von g displaystyle g ein Richtungsvektor von h displaystyle h und ein Verschiebungsvektor von einem Punkt auf g displaystyle g zu einem Punkt auf h displaystyle h linear unabhangig sind Aquivalent kann man zeigen dass es keine Ebene gibt die beide Geraden enthalt Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden 1 1 Schreibweise mit Determinanten 2 Bestimmung der Lotfusspunkte 3 Bemerkung 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseBerechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden Bearbeiten nbsp Abstand d zweier windschiefer GeradenDie eindeutig bestimmte Strecke kleinster Lange die zwei windschiefe Geraden g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp verbindet nennt man Gemeinlot der beiden Geraden Die Gerade auf der das Gemeinlot liegt nennt man die Minimaltransversale der beiden Geraden Diese ist diejenige eindeutig bestimmte Gerade welche im rechten Winkel zu den beiden Geraden steht Die Lange des Gemeinlots von g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp ist der Abstand d d g h displaystyle d d g h nbsp der beiden Geraden Gegeben seien die windschiefen Geraden g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp mit den Stutzpunkten A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp bzw den Stutzvektoren a O A b O B 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Normalenvektor Dazu wird der Normalenvektor auf die Lange 1 gebracht Der Abstand der beiden windschiefen Geraden betragt dann d g h a b n 0 displaystyle d g h vec a vec b cdot vec n 0 nbsp Schreibweise mit Determinanten Bearbeiten Die beiden Geradengleichungen lauten ausgeschrieben g x a 1 a 2 a 3 r v 1 v 2 v 3 displaystyle g colon vec x left begin smallmatrix a 1 0 7ex a 2 0 7ex a 3 end smallmatrix right r left begin smallmatrix v 1 0 7ex v 2 0 7ex v 3 end smallmatrix right nbsp h x b 1 b 2 b 3 s w 1 w 2 w 3 r s R displaystyle h colon vec x left begin smallmatrix b 1 0 7ex b 2 0 7ex b 3 end smallmatrix right s left begin smallmatrix w 1 0 7ex w 2 0 7ex w 3 end smallmatrix right r s in mathbb R nbsp Der Abstand der beiden windschiefen Geraden mit Hilfe der Determinante det betragt dann d g h det a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 v 2 v 3 w 2 w 3 2 v 3 v 1 w 3 w 1 2 v 1 v 2 w 1 w 2 2 displaystyle d g h frac left det begin pmatrix a 1 b 1 amp a 2 b 2 amp a 3 b 3 v 1 amp v 2 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displaystyle vec n 1 vec v times vec v times vec w nbsp Analog erhalt man F g displaystyle F g nbsp mit der Ebene E x b s w t n s t R displaystyle E colon vec x vec b s vec w t vec n s t in mathbb R nbsp und ihrem Schnittpunkt mit g displaystyle g nbsp F g b n 2 a n 2 v n 2 v a displaystyle vec F g frac vec b cdot vec n 2 vec a cdot vec n 2 vec v cdot vec n 2 vec v vec a nbsp mit n 2 w v w displaystyle vec n 2 vec w times vec v times vec w nbsp Bei dieser Methode muss der Abstand d displaystyle d nbsp nicht berechnet werden Die Lotfusspunkte konnen auch so bestimmt werden dass man die beiden vorerst unbekannten Punkte ansetzt F h a r v displaystyle vec F h vec a r vec v nbsp und F g b s w displaystyle vec F g vec b s vec w nbsp und dann einen entlang n displaystyle vec n nbsp verschiebt und ihn mit dem anderen zur Deckung bringt a r v u n b s w displaystyle vec a r vec v u vec n vec b s vec w nbsp Eine zeilenweise Auflosung ergibt ein System mit drei Variablen r displaystyle r nbsp u displaystyle u nbsp und s displaystyle s nbsp Die Fusspunkte sind dann a r v displaystyle vec a r vec v nbsp und b s w displaystyle vec b s vec w nbsp Der Abstand d displaystyle d nbsp ergibt sich aus u n displaystyle u vec n nbsp Bemerkung BearbeitenIm Taschenbuch der Mathematik von I N Bronstein und K A Semendjajew wird kreuzend als Synonym fur windschief genannt 3 Literatur BearbeitenM Jeger B Eckmann Einfuhrung in die vektorielle Geometrie und lineare Algebra fur Ingenieure und Naturwissenschafter Birkhauser Verlag Basel Stuttgart 1967 Joachim Kohler et al Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung Diesterweg Verlag Frankfurt am Main 1971 ISBN 3 425 05302 7 Joachim Kohler et al Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung Diesterweg Verlag Frankfurt am Main 1971 ISBN 3 425 05302 7 Wilmut Kohlmann et al Lineare Algebra und Analytische Geometrie Vieweg Verlag Braunschweig 1977 ISBN 3 594 10826 0 Elisabeth und Friedrich Barth Gert Krumbacher Anschauliche Analytische Geometrie Oldenbourg Verlag Munchen 1997 ISBN 3 486 03500 2Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Windschiefe Geraden Weitere Methoden zur Berechnung des Abstands und der Lotfusspunkte nbsp Wiktionary windschief Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme UbersetzungenEinzelnachweise Bearbeiten Meyers Rechenduden Bibliographisches Institut Mannheim 1960 S 807 DWDS Digitales Worterbuch der deutschen Sprache Abgerufen am 20 Mai 2021 Abschnitt 3 3 1 1 Zwei Geraden in der Google Bucher Suche fur das Taschenbuch der Mathematik Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Windschiefe amp oldid 239080971