Dieser Artikel gilt Schnittpunkten in der Mathematik Fur Schnittpunkte in der Darstellenden Geometrie siehe Schnittpunkt Darstellende Geometrie Ein Schnittpunkt ist in der Mathematik ein gemeinsamer Punkt von Kurven oder Flachen in der Ebene oder im Raum Der allgemeine Sprachgebrauch versteht unter Schnittpunkt jenen zweier Geraden was jedoch im mathematischen Kurvenbegriff enthalten ist Im dreidimensionalen Raum kann eine Kurve mit einer Flache einen Schnittpunkt bilden Im einfachsten Fall schneidet eine Gerade eine Ebene Ausserdem konnen sich im dreidimensionalen Raum drei Flachen in einem Punkt schneiden Dafur ist der einfachste Fall der Schnittpunkt dreier Ebenen Schnittpunkte von Geraden Ebenen oder Hyperebenen konnen mithilfe von linearen Gleichungssystemen bestimmt werden Schnittpunkt zweier GeradenIm Allgemeinen fuhrt die Bestimmung von Schnittpunkten auf nichtlineare Gleichungen die man in der Praxis mit einem Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen zum Beispiel der Regula falsi dem Sekantenverfahren dem Newtonverfahren oder dem Householder Verfahren lost Schnittpunkte einer Gerade mit einem Kegelschnitt Kreis Hyperbel Ellipse Parabel oder einer Quadrik Kugel Ellipsoid Hyperboloid fuhren auf quadratische Gleichungen und sind auch noch relativ leicht losbar Fur den Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene einer Kugel einem Zylinder oder einem Kegel bietet die darstellende Geometrie Methoden um Schnittpunkte zeichnerisch zu bestimmen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Schnittpunkt in der Ebene 1 1 Schnittpunkt zweier Geraden 1 2 Schnittpunkt zweier Strecken 1 3 Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreis 1 4 Schnittpunkte zweier Kreise 1 5 Schnittpunkte zweier Kegelschnitte 1 6 Schnittpunkt zweier Kurven 1 7 Schnittpunkt zweier Polygone 2 Schnittpunkte im Raum 2 1 Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene 2 2 Schnittpunkt dreier Ebenen 2 3 Schnittpunkte einer Kurve mit einer Flache 3 Siehe auch 4 Einzelnachweise 5 WeblinksSchnittpunkt in der Ebene BearbeitenSchnittpunkt zweier Geraden Bearbeiten Fur den Schnittpunkt zweier nicht paralleler Geraden gegeben in Koordinatenform a 1 x b 1 y c 1 a 2 x b 2 y c 2 displaystyle a 1 x b 1 y c 1 a 2 x b 2 y c 2 nbsp ergibt sich mit der Cramerschen Regel fur die Koordinaten des Schnittpunktes x s y s displaystyle x s y s nbsp x s c 1 b 2 c 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 y s a 1 c 2 a 2 c 1 a 1 b 2 a 2 b 1 displaystyle x s frac c 1 b 2 c 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 quad y s frac a 1 c 2 a 2 c 1 a 1 b 2 a 2 b 1 nbsp Falls a 1 b 2 a 2 b 1 0 displaystyle a 1 b 2 a 2 b 1 0 nbsp ist sind die beiden Geraden parallel Fur eine Gerade durch die PunkteP 1 x 1 y 1 displaystyle P 1 begin pmatrix x 1 y 1 end pmatrix nbsp und P 2 x 2 y 2 displaystyle P 2 begin pmatrix x 2 y 2 end pmatrix nbsp und eine Gerade durch die Punkte P 3 x 3 y 3 displaystyle P 3 begin pmatrix x 3 y 3 end pmatrix nbsp und P 4 x 4 y 4 displaystyle P 4 begin pmatrix x 4 y 4 end pmatrix nbsp Berechnet man den Schnittpunkt indem man zuvor die Zweipunkteformen in Koordinatenformen umrechnet Der Schnittpunkt S x s y s displaystyle S begin pmatrix x s y s end pmatrix nbsp ergibt sich zu x s x 2 x 1 x 3 y 4 y 3 x 4 x 4 x 3 x 1 y 2 y 1 x 2 x 2 x 1 y 4 y 3 y 2 y 1 x 4 x 3 displaystyle x s frac x 2 x 1 x 3 y 4 y 3 x 4 x 4 x 3 x 1 y 2 y 1 x 2 x 2 x 1 y 4 y 3 y 2 y 1 x 4 x 3 nbsp und y s y 2 y 1 x 3 y 4 y 3 x 4 y 4 y 3 x 1 y 2 y 1 x 2 x 2 x 1 y 4 y 3 y 2 y 1 x 4 x 3 displaystyle y s frac y 2 y 1 x 3 y 4 y 3 x 4 y 4 y 3 x 1 y 2 y 1 x 2 x 2 x 1 y 4 y 3 y 2 y 1 x 4 x 3 nbsp Schnittpunkt zweier Strecken Bearbeiten nbsp Schnitt zweier StreckenSind zwei nicht parallele Strecken x 1 y 1 x 2 y 2 displaystyle x 1 y 1 x 2 y 2 nbsp und x 3 y 3 x 4 y 4 displaystyle x 3 y 3 x 4 y 4 nbsp gegeben so mussen sie sich nicht schneiden Denn der Schnittpunkt x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 nbsp der zugehorigen Geraden muss nicht in beiden Strecken enthalten sein Um letzteres zu klaren stellt man beide Strecken parametrisiert dar x s y s x 1 s x 2 x 1 y 1 s y 2 y 1 displaystyle x s y s x 1 s x 2 x 1 y 1 s y 2 y 1 nbsp x t y t x 3 t x 4 x 3 y 3 t y 4 y 3 displaystyle x t y t x 3 t x 4 x 3 y 3 t y 4 y 3 nbsp Schneiden sich die Strecken so muss der gemeinsame Punkt x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 nbsp der zugehorigen Geraden Parameter s 0 t 0 displaystyle s 0 t 0 nbsp haben mit der Eigenschaft 0 s 0 t 0 1 displaystyle 0 leq s 0 t 0 leq 1 nbsp Die Schnittparameter s 0 t 0 displaystyle s 0 t 0 nbsp sind Losung des linearen Gleichungssystems s x 2 x 1 t x 4 x 3 x 3 x 1 displaystyle s x 2 x 1 t x 4 x 3 x 3 x 1 nbsp s y 2 y 1 t y 4 y 3 y 3 y 1 displaystyle s y 2 y 1 t y 4 y 3 y 3 y 1 nbsp Dieses lost man wie oben mit der Cramerschen Regel uberpruft die Schnittbedingung 0 s 0 1 0 t 0 1 displaystyle 0 leq s 0 leq 1 0 leq t 0 leq 1 nbsp und setzt s 0 displaystyle s 0 nbsp oder t 0 displaystyle t 0 nbsp in die zugehorige Parameterdarstellung ein um schliesslich den Schnittpunkt x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 nbsp zu erhalten BeispielFur die Strecken 1 1 3 2 displaystyle 1 1 3 2 nbsp und 1 4 2 1 displaystyle 1 4 2 1 nbsp erhalt man das Gleichungssystem 2 s t 0 displaystyle 2s t 0 nbsp s 5 t 3 displaystyle s 5t 3 nbsp und s 0 3 11 t 0 6 11 displaystyle s 0 tfrac 3 11 t 0 tfrac 6 11 nbsp D h die Strecken schneiden sich und der Schnittpunkt ist 17 11 14 11 displaystyle tfrac 17 11 tfrac 14 11 nbsp Bemerkung Betrachtet man Geraden durch zwei Punktepaare nicht Strecken so kann man die Bedingung 0 s 0 t 0 1 displaystyle 0 leq s 0 t 0 leq 1 nbsp ignorieren und erhalt mit dieser Methode den Schnittpunkt der beiden Geraden s vorigen Abschnitt Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreis Bearbeiten Um den Schnitt der Gerade a x b y c displaystyle ax by c nbsp mit dem Kreis x x 0 2 y y 0 2 r 2 displaystyle x x 0 2 y y 0 2 r 2 nbsp zu berechnen wird zunachst das System durch Setzen von x x x 0 displaystyle bar x x x 0 nbsp und y y y 0 displaystyle bar y y y 0 nbsp so verschoben dass der Kreismittelpunkt im Nullpunkt liegt Dadurch ergibt sich als neue Kreisgleichung x 2 y 2 r 2 displaystyle bar x 2 bar y 2 r 2 nbsp und als neue Geradengleichung a x b y d displaystyle a bar x b bar y d nbsp mit d c a x 0 b y 0 displaystyle d c ax 0 by 0 nbsp Durch Auflosen der Geradengleichung nach x displaystyle bar x nbsp oder y displaystyle bar y nbsp Einsetzen in die Kreisgleichung Anwenden der Losungsformel fur quadratische Gleichungen und anschliessendes Ruckgangigmachen der Verschiebung ergeben sich dann die Schnittpunkte x 1 y 1 x 2 y 2 displaystyle x 1 y 1 x 2 y 2 nbsp mit x 1 2 x 0 a d b r 2 a 2 b 2 d 2 a 2 b 2 y 1 2 y 0 b d a r 2 a 2 b 2 d 2 a 2 b 2 displaystyle x 1 2 x 0 frac ad pm b sqrt r 2 a 2 b 2 d 2 a 2 b 2 quad y 1 2 y 0 frac bd mp a sqrt r 2 a 2 b 2 d 2 a 2 b 2 nbsp sofern r 2 a 2 b 2 d 2 displaystyle r 2 a 2 b 2 geq d 2 nbsp gilt Im Fall der Gleichheit gibt es nur einen Schnittpunkt und die Gerade ist eine Tangente des Kreises Bemerkung Die Schnittpunkte einer Gerade mit einer Parabel oder einer Hyperbel lassen sich analog durch Losen einer quadratischen Gleichung bestimmen Schnittpunkte zweier Kreise Bearbeiten Die Bestimmung der Schnittpunkte zweier Kreise x x 1 2 y y 1 2 r 1 2 x x 2 2 y y 2 2 r 2 2 displaystyle x x 1 2 y y 1 2 r 1 2 quad x x 2 2 y y 2 2 r 2 2 nbsp lasst sich durch Subtraktion der beiden Gleichungen auf das Problem Schnittpunkte der Gerade Potenzgerade 2 x 2 x 1 x 2 y 2 y 1 y r 1 2 x 1 2 y 1 2 r 2 2 x 2 2 y 2 2 displaystyle 2 x 2 x 1 x 2 y 2 y 1 y r 1 2 x 1 2 y 1 2 r 2 2 x 2 2 y 2 2 nbsp mit einem der beiden Kreise zuruckfuhren nbsp Schnitt zweier Kreise Mittelpunkte auf der x Achse Potenzgerade dunkelrotSonderfall x 1 y 1 y 2 0 displaystyle x 1 y 1 y 2 0 nbsp In diesem Fall hat der erste Kreis den Nullpunkt als Mittelpunkt und der zweite Mittelpunkt liegt auf der x Achse Dadurch vereinfacht sich die Gleichung der Potenzgerade zu 2 x 2 x r 1 2 r 2 2 x 2 2 displaystyle 2x 2 x r 1 2 r 2 2 x 2 2 nbsp und fur die Schnittpunkte x 0 y 0 displaystyle x 0 pm y 0 nbsp ergibt sich x 0 r 1 2 r 2 2 x 2 2 2 x 2 displaystyle x 0 frac r 1 2 r 2 2 x 2 2 2x 2 nbsp y 0 r 1 2 x 0 2 4 r 1 2 r 2 2 r 1 2 r 2 2 x 2 2 2 2 x 2 displaystyle y 0 sqrt r 1 2 x 0 2 frac sqrt 4r 1 2 r 2 2 r 1 2 r 2 2 x 2 2 2 2x 2 nbsp Falls r 1 2 lt x 0 2 displaystyle r 1 2 lt x 0 2 nbsp ist schneiden sich die Kreise nicht Im Fall r 1 2 x 0 2 displaystyle r 1 2 x 0 2 nbsp beruhren sich die Kreise Allgemeiner Fall nbsp Schnittpunkte zweier KreiseFur den allgemeinen Fall mit den Kreismittelpunkten M 1 x 1 y 1 M 2 x 2 y 2 displaystyle M 1 x 1 y 1 M 2 x 2 y 2 nbsp verwendet man Ergebnisse des Sonderfalls und setzt d 12 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 displaystyle d 12 sqrt x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 quad nbsp Abstand der Mittelpunkte d 0 r 1 2 r 2 2 d 12 2 2 d 12 displaystyle d 0 frac r 1 2 r 2 2 d 12 2 2d 12 quad nbsp Abstand der Potenzgerade zu M 1 displaystyle M 1 nbsp e 0 r 1 2 d 0 2 displaystyle e 0 sqrt r 1 2 d 0 2 quad nbsp Abstand der Schnittpunkte von M 1 M 2 displaystyle overline M 1 M 2 nbsp m x 2 x 1 d 12 y 2 y 1 d 12 n y 2 y 1 d 12 x 2 x 1 d 12 displaystyle vec m x 2 x 1 d 12 choose y 2 y 1 d 12 quad vec n y 2 y 1 d 12 choose x 2 x 1 d 12 quad nbsp gedrehte Orthonormalbasis siehe Bild Die Ortsvektoren der Schnittpunkte P 1 P 2 displaystyle P 1 P 2 nbsp sind dann p 1 2 m 1 d 0 m e 0 n displaystyle vec p 1 2 vec m 1 d 0 vec m pm e 0 vec n nbsp m 1 displaystyle vec m 1 nbsp ist der Ortsvektor von M 1 displaystyle M 1 nbsp Schnittpunkte zweier Kegelschnitte Bearbeiten nbsp Schnitt Kreis EllipseDie Aufgabe die Schnittpunkte einer Ellipse Hyperbel Parabel mit einer Ellipse Hyperbel Parabel zu bestimmen fuhrt bei Elimination einer Koordinate i a auf eine Gleichung vierten Grades die nur in speziellen Fallen leicht losbar ist Die Schnittpunkte lassen sich allerdings auch iterativ mit Hilfe des 1 bzw 2 dimensionalen Newton Verfahrens bestimmen je nachdem man a beide Kegelschnitte implizit 2 dim Newton oder b einen implizit und den anderen parametrisiert darstellt 1 dim Newton Siehe hierzu den nachsten Abschnitt Schnittpunkt zweier Kurven Bearbeiten nbsp Schnittpunkte zweier Kurven transversales Schneiden nbsp Schnittpunkt zweier Kurven beruhrendes Schneiden bzw BeruhrungZwei in der Ebene R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp liegende stetig differenzierbare Kurven also Kurven ohne Knick haben einen Schnittpunkt wenn sie einen Punkt der Ebene gemeinsam haben und die beiden Kurven in diesem Punkt entweder a unterschiedliche Tangenten aufweisen transversales Schneiden oder b gemeinsame Tangenten haben und sich in dem Punkt kreuzen beruhrendes Schneiden siehe Bild Falls die beiden Kurven zwar einen gemeinsamen Punkt S displaystyle S nbsp und dort eine gemeinsame Tangente haben aber sich nicht kreuzen beruhren sie sich in S displaystyle S nbsp Da beruhrendes Schneiden eher selten vorkommt und rechnerisch sehr aufwendig zu behandeln ist wird im Folgenden stets transversales Schneiden vorausgesetzt Um es nicht immer wieder erwahnen zu mussen werden auch die jeweils notigen Differenzierbarkeits Bedingungen vorausgesetzt Die Bestimmung von Schnittpunkten fuhrt immer wieder auf das Problem eine Gleichung mit einer bzw zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten losen zu mussen Die Gleichungen sind im Allgemeinen nicht linear und konnen dann beispielsweise mit dem 1 oder 2 dimensionalen Newton Verfahren numerisch gelost werden Im Folgenden werden die einzelnen Falle und die zu losenden Gleichungen beschrieben nbsp Schnittpunkt parametrisierte Kurve implizite Kurve nbsp Schnittpunkt implizite Kurve implizite KurveFalls beide Kurven explizit vorliegen y f 1 x y f 2 x displaystyle y f 1 x y f 2 x nbsp liefert Gleichsetzen die Gleichungf 1 x f 2 x displaystyle f 1 x f 2 x nbsp dd Falls beide Kurven parametrisiert vorliegen K 1 x 1 t y 1 t K 2 x 2 s y 2 s displaystyle K 1 x 1 t y 1 t K 2 x 2 s y 2 s nbsp Gleichsetzen liefert zwei Gleichungen fur zwei Unbekannte x 1 t x 2 s y 1 t y 2 s displaystyle x 1 t x 2 s y 1 t y 2 s nbsp dd Falls eine Kurve parametrisiert und die andere implizit gegeben sind K 1 x 1 t y 1 t K 2 f x y 0 displaystyle K 1 x 1 t y 1 t K 2 f x y 0 nbsp Dies ist nach dem expliziten der einfachste Fall Denn man muss hier nur die Parameterdarstellung von K 1 displaystyle K 1 nbsp in die Gleichung f x y 0 displaystyle f x y 0 nbsp von K 2 displaystyle K 2 nbsp einsetzen und erhalt die Gleichungf x 1 t y 1 t 0 displaystyle f x 1 t y 1 t 0 nbsp dd Falls beide Kurven implizit gegeben sind K 1 f 1 x y 0 K 2 f 2 x y 0 displaystyle K 1 f 1 x y 0 K 2 f 2 x y 0 nbsp Ein Schnittpunkt ist hier die Losung des im Allgemeinen nichtlinearen Gleichungssystemsf 1 x y 0 f 2 x y 0 displaystyle f 1 x y 0 f 2 x y 0 nbsp dd Die fur das jeweilige Newton Verfahren notigen Startwerte lassen sich aus einer Visualisierung der beiden Kurven gewinnen Eine parametrisiert oder explizit gegebene Kurve lasst sich leicht visualisieren da man zu vorgegebenem Parameter t displaystyle t nbsp bzw x displaystyle x nbsp direkt einen Punkt berechnen kann Fur implizit gegebene Kurven ist dies nicht so einfach Hier muss man im Allgemeinen mit Hilfe von Startpunkten und einem Iterationsverfahren Kurvenpunkte berechnen 2 Beispiele 1 K 1 t t 3 displaystyle K 1 t t 3 nbsp und Kreis K 2 x 1 2 y 1 2 10 0 displaystyle K 2 x 1 2 y 1 2 10 0 nbsp s Bild Es ist die Newton Iteration t n 1 t n f t n f t n displaystyle t n 1 t n frac f t n f t n nbsp furf t t 1 2 t 3 1 2 10 displaystyle f t t 1 2 t 3 1 2 10 nbsp durchzufuhren Als Startwerte kann man 1 und 1 5 wahlen dd Die Schnittpunkte sind 1 1073 1 3578 und 1 6011 4 1046 dd 2 K 1 f 1 x y x 4 y 4 1 0 displaystyle K 1 f 1 x y x 4 y 4 1 0 nbsp K 2 f 2 x y x 0 5 2 y 0 5 2 1 0 displaystyle K 2 f 2 x y x 0 5 2 y 0 5 2 1 0 nbsp s Bild Es ist die Newton Iteration x n 1 y n 1 x n d x y n d y displaystyle x n 1 choose y n 1 x n delta x choose y n delta y nbsp durchzufuhren wobei d x d y displaystyle delta x choose delta y nbsp die Losung des linearen Gleichungssystems f 1 x f 1 y f 2 x f 2 y d x d y f 1 f 2 displaystyle begin pmatrix frac partial f 1 partial x amp frac partial f 1 partial y frac partial f 2 partial x amp frac partial f 2 partial y end pmatrix delta x choose delta y f 1 choose f 2 nbsp an der Stelle x n y n displaystyle x n y n nbsp ist Als Startpunkte kann man 0 5 1 und 1 0 5 wahlen dd Das lineare Gleichungssystem lost man am einfachsten mit der Cramerschen Regel Als Schnittpunkte ergeben sich 0 3686 0 9953 und 0 9953 0 3686 dd Schnittpunkt zweier Polygone Bearbeiten nbsp Schnitt zweier Polygone FenstertestFalls man Schnittpunkte zweier Polygone sucht kann man jede Teilstrecke des einen Polygons mit jeder Teilstrecke des anderen Polygons auf Schneiden untersuchen s oben Schnitt zweier Strecken Fur Polygone mit vielen Teilstrecken ist diese einfache Methode sehr zeitaufwandig Durch sogenannte Fenstertests lasst sich die Rechenzeit deutlich reduzieren Dabei fasst man mehrere Teilstrecken zu einem Teilpolygon zusammen und berechnet das zugehorige Fenster das ist das minimale achsenparallele Rechteck das das Teilpolygon enthalt Bevor aufwandig ein Schnittpunkt zweier Teilpolygone berechnet wird werden die zugehorigen Fenster auf Uberlappung getestet 3 Schnittpunkte im Raum BearbeitenIm 3 dimensionalen Raum spricht man von einem Schnittpunkt gemeinsamer Punkt einer Kurve mit einer Flache Bei den folgenden Uberlegungen sollen wie oben nur die transversalen Schnitte einer Kurve mit einer Flache behandelt werden Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Bearbeiten nbsp Schnittpunkt Gerade EbeneEine Gerade wird im Raum in der Regel durch eine Parameterdarstellung x t y t z t displaystyle x t y t z t nbsp und eine Ebene durch eine Gleichung a x b y c z d displaystyle ax by cz d nbsp beschrieben Durch Einsetzen der Parameterdarstellung der Gerade in die Ebenengleichung ergibt sich die lineare Gleichung a x t b y t c z t d displaystyle ax t by t cz t d nbsp fur den Parameter t 0 displaystyle t 0 nbsp des Schnittpunktes x t 0 y t 0 z t 0 displaystyle x t 0 y t 0 z t 0 nbsp Falls die lineare Gleichung keine Losung besitzt ist die Gerade parallel zur Ebene Falls die Gleichung fur alle t R displaystyle t in mathbb R nbsp erfullt ist ist die Gerade in der Ebene enthalten Schnittpunkt dreier Ebenen Bearbeiten Ist eine Gerade als Schnitt zweier nicht paralleler Ebenen e i n i x d i i 1 2 displaystyle varepsilon i vec n i cdot vec x d i i 1 2 nbsp gegeben und soll mit einer dritten Ebene e 3 n 3 x d 3 displaystyle varepsilon 3 vec n 3 cdot vec x d 3 nbsp geschnitten werden muss der gemeinsame Punkt der 3 Ebenen bestimmt werden Drei Ebenen e i n i x d i i 1 2 3 displaystyle varepsilon i vec n i cdot vec x d i i 1 2 3 nbsp mit linear unabhangigen Normalenvektoren n 1 n 2 n 3 displaystyle vec n 1 vec n 2 vec n 3 nbsp besitzen den Schnittpunkt p 0 d 1 n 2 n 3 d 2 n 3 n 1 d 3 n 1 n 2 n 1 n 2 n 3 displaystyle vec p 0 frac d 1 vec n 2 times vec n 3 d 2 vec n 3 times vec n 1 d 3 vec n 1 times vec n 2 vec n 1 cdot vec n 2 times vec n 3 nbsp Zum Beweis uberzeuge man sich von n i p 0 d i i 1 2 3 displaystyle vec n i cdot vec p 0 d i i 1 2 3 nbsp unter Beachtung der Regeln fur ein Spatprodukt Schnittpunkte einer Kurve mit einer Flache Bearbeiten nbsp Schnittpunkt Kurve t t 2 t 3 displaystyle t t 2 t 3 nbsp Flache x 4 y 4 z 4 1 displaystyle x 4 y 4 z 4 1 nbsp Analog wie im ebenen Fall fuhren die folgenden Falle zu im Allgemeinen nicht linearen Gleichungssystemen die mit einem 1 bzw 3 dimensionalen Newton Verfahren gelost werden konnen 4 parametrisierte Kurve K x t y t z t displaystyle K x t y t z t nbsp undparametrisierte Flache F x u v y u v z u v displaystyle F x u v y u v z u v nbsp parametrisierte Kurve K x t y t z t displaystyle K x t y t z t nbsp undimplizite Flache F f x y z 0 displaystyle F f x y z 0 nbsp Beispiel parametrisierte Kurve K t t 2 t 3 displaystyle K t t 2 t 3 nbsp und implizite Flache F x 4 y 4 z 4 1 0 displaystyle F x 4 y 4 z 4 1 0 nbsp siehe Bild Zu losende Gleichung t 4 t 8 t 12 1 0 displaystyle t 4 t 8 t 12 1 0 nbsp Die Schnittpunkte sind 0 8587 0 7374 0 6332 0 8587 0 7374 0 6332 Bemerkung Eine Gerade kann auch in einer Ebene enthalten sein Dann gibt es unendlich viele gemeinsame Punkte Auch eine Kurve kann teilweise oder vollstandig in einer Flache enthalten sein siehe Kurven auf der Flache x 4 y 4 z 4 1 0 displaystyle x 4 y 4 z 4 1 0 nbsp In diesen Fallen spricht man aber nicht mehr von Schnittpunkt Siehe auch BearbeitenSchnittpunkt Darstellende Geometrie Schnittgerade Schnittkurve Schnittwinkel Geometrie NullstelleEinzelnachweise Bearbeiten Darstellende Geometrie fur Architekten PDF 1 5 MB Skript Uni Darmstadt S 35 73 74 CDKG Computerunterstutzte Darstellende und Konstruktive Geometrie TU Darmstadt PDF 3 4 MB S 69 CDKG Computerunterstutzte Darstellende und Konstruktive Geometrie TU Darmstadt PDF 3 4 MB S 79 CDKG Computerunterstutzte Darstellende und Konstruktive Geometrie TU Darmstadt PDF 3 4 MB S 147 Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Schnittpunkt Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schnittpunkt amp oldid 219135878
