Als Schnittgerade bezeichnet man in der Geometrie eine Gerade in der sich zwei nicht parallele Ebenen im dreidimensionalen euklidischen Raum schneiden Eine Gerade im Raum wird ublicherweise durch eine Parameterform einer Geradengleichung beschrieben Der Weg zu der Geradengleichung der Schnittgerade zweier Ebenen hangt von der Beschreibung der beiden zu schneidenden Ebenen ab Da es hierfur zwei Standard Beschreibungen Normalenform und Parameterform gibt gibt es drei Moglichkeiten die Geradengleichung der Schnittgerade zu bestimmen Schnittgerade rot zweier Ebenen grun und blau Ist eine der zu schneidenden Ebenen eine Koordinatenebene so nennt man die Schnittgerade Spurgerade Besitzen mehrere Ebenen eine gemeinsame Schnittgerade so spricht man von einem Ebenenbuschel Inhaltsverzeichnis 1 Schnitt einer Ebene in Normalenform mit einer Ebene in Parameterform 1 1 Berechnung 1 2 Beispiel 2 Schnitt zweier Ebenen in Parameterform 2 1 Berechnung 2 2 Beispiel 3 Schnitt zweier Ebenen in Normalenform 3 1 Berechnung 3 2 Beispiel 3 3 Anmerkung 4 Siehe auchSchnitt einer Ebene in Normalenform mit einer Ebene in Parameterform BearbeitenBerechnung Bearbeiten Gegeben seien eine Ebene in Normalenform e 1 n x d displaystyle varepsilon 1 colon vec n cdot vec x d nbsp und eine Ebene in Parameterform e 2 x p r u s v displaystyle varepsilon 2 colon vec x vec p r vec u s vec v nbsp Damit die Ebenen nicht parallel sind muss n u 0 displaystyle vec n cdot vec u neq 0 nbsp oder n v 0 displaystyle vec n cdot vec v neq 0 nbsp sein denn andernfalls ware n displaystyle vec n nbsp auch ein Normalenvektor von e 2 displaystyle varepsilon 2 nbsp Gesucht ist nun eine Parameterdarstellung der Schnittgerade g x q t w displaystyle g colon vec x vec q t vec w nbsp Einsetzen der Parameterform in die Normalenform fuhrt zu n p r n u s n v d displaystyle vec n cdot vec p r vec n cdot vec u s vec n cdot vec v d nbsp Ist n u 0 displaystyle vec n cdot vec u neq 0 nbsp dann ergibt ein Auflosen der Gleichung nach dem Parameter s displaystyle s nbsp und nachfolgendes Einsetzen in die Parameterform g x p d n p n u u t v n v n u u displaystyle g colon vec x left vec p frac d vec n cdot vec p vec n cdot vec u vec u right t left vec v frac vec n cdot vec v vec n cdot vec u vec u right nbsp Ist n u 0 displaystyle vec n cdot vec u 0 nbsp werden die Rollen von u displaystyle vec u nbsp und v displaystyle vec v nbsp vertauscht Beispiel Bearbeiten Die beiden Ebenen seien durch e 1 1 2 1 T x 1 displaystyle varepsilon 1 colon 1 2 1 T cdot vec x 1 nbsp und e 2 x 1 1 1 T r 2 1 3 T s 1 1 0 T displaystyle varepsilon 2 colon vec x 1 1 1 T r 2 1 3 T s 1 1 0 T nbsp gegeben Fur die Schnittgerade ergibt sich dann die Parameterdarstellung g x 5 2 10 T t 3 0 3 T displaystyle g colon vec x 5 2 10 T t 3 0 3 T nbsp Schnitt zweier Ebenen in Parameterform BearbeitenBerechnung Bearbeiten Falls beide Ebenengleichungen in Parameterform vorliegen berechnet man zunachst fur eine der beiden Ebenen die Normalenform und wendet dann das Verfahren aus dem vorigen Abschnitt an Fur eine Ebene mit dem Stutzvektor p displaystyle vec p nbsp und den Richtungsvektoren u displaystyle vec u nbsp und v displaystyle vec v nbsp erhalt man durch das Kreuzprodukt n u v displaystyle vec n vec u times vec v nbsp einen Normalenvektor und die Ebenengleichung ist dann e n x n p displaystyle varepsilon colon vec n cdot vec x vec n cdot vec p nbsp Um die Parallelitat zweier Ebenen in Parameterform zu untersuchen bestimmt man zunachst mit Hilfe des Kreuzproduktes fur eine der Ebenen einen Normalenvektor Sind die Skalarprodukte dieses Normalenvektors mit den Richtungsvektoren der anderen Ebene jeweils gleich null so sind die beiden Ebenen parallel Beispiel Bearbeiten Die beiden Ebenen seien durch e 1 x 1 1 1 T r 1 2 1 1 T s 1 1 1 0 T displaystyle varepsilon 1 colon vec x 1 1 1 T r 1 2 1 1 T s 1 1 1 0 T nbsp und e 2 x 1 1 1 T r 2 2 2 1 T s 2 1 0 1 T displaystyle varepsilon 2 colon vec x 1 1 1 T r 2 2 2 1 T s 2 1 0 1 T nbsp gegeben Als Normalenvektor fur e 1 displaystyle varepsilon 1 nbsp ergibt sich n 2 1 1 T 1 1 0 T 1 1 3 T displaystyle vec n 2 1 1 T times 1 1 0 T 1 1 3 T nbsp und damit die Normalenform e 1 x 1 1 3 T x 3 displaystyle varepsilon 1 colon vec x 1 1 3 T cdot vec x 3 nbsp Fur die Schnittgerade erhalt man dann die Parameterdarstellung g x 3 3 3 T t 7 8 5 T displaystyle g colon vec x 3 3 3 T t 7 8 5 T nbsp Schnitt zweier Ebenen in Normalenform BearbeitenBerechnung Bearbeiten Gegeben seien nun zwei Ebenen e 1 n 1 x d 1 displaystyle varepsilon 1 colon vec n 1 cdot vec x d 1 nbsp und e 2 n 2 x d 2 displaystyle varepsilon 2 colon vec n 2 cdot vec x d 2 nbsp Damit die Ebenen nicht parallel sind mussen die beiden Normalenvektoren n 1 n 2 displaystyle vec n 1 vec n 2 nbsp linear unabhangig sein das heisst n 1 displaystyle vec n 1 nbsp darf nicht Vielfaches von n 2 displaystyle vec n 2 nbsp sein Gesucht ist wieder eine Parameterdarstellung der Schnittgerade g x q t w displaystyle g colon vec x vec q t vec w nbsp Der Richtungsvektor der Schnittgerade ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Normalenvektoren w n 1 n 2 displaystyle vec w vec n 1 times vec n 2 nbsp Einen Stutzvektor q displaystyle vec q nbsp der Schnittgerade erhalt man indem man die Ebenen e 1 displaystyle varepsilon 1 nbsp und e 2 displaystyle varepsilon 2 nbsp mit der zu ihnen senkrechten Ebene e 3 x s 1 n 1 s 2 n 2 displaystyle varepsilon 3 colon vec x s 1 vec n 1 s 2 vec n 2 nbsp schneidet Die Parameter s 1 displaystyle s 1 nbsp und s 2 displaystyle s 2 nbsp findet man durch Einsetzen in die Gleichungen der Ebenen e 1 displaystyle varepsilon 1 nbsp und e 2 displaystyle varepsilon 2 nbsp und erhalt so q d 1 n 2 2 d 2 n 1 n 2 n 1 2 n 2 2 n 1 n 2 2 n 1 d 2 n 1 2 d 1 n 1 n 2 n 1 2 n 2 2 n 1 n 2 2 n 2 displaystyle vec q frac d 1 vec n 2 2 d 2 vec n 1 cdot vec n 2 vec n 1 2 vec n 2 2 vec n 1 cdot vec n 2 2 vec n 1 frac d 2 vec n 1 2 d 1 vec n 1 cdot vec n 2 vec n 1 2 vec n 2 2 vec n 1 cdot vec n 2 2 vec n 2 nbsp Falls beide Normalenvektoren normiert sind Betrag 1 so sind die Skalarprodukte der Normalenvektoren mit sich selbst 1 und die Formel vereinfacht sich wie folgt q d 1 d 2 n 1 n 2 1 n 1 n 2 2 n 1 d 2 d 1 n 1 n 2 1 n 1 n 2 2 n 2 displaystyle vec q frac d 1 d 2 vec n 1 cdot vec n 2 1 vec n 1 cdot vec n 2 2 vec n 1 frac d 2 d 1 vec n 1 cdot vec n 2 1 vec n 1 cdot vec n 2 2 vec n 2 nbsp Beispiel Bearbeiten Die beiden Ebenen seien durch e 1 1 2 1 T x 1 displaystyle varepsilon 1 colon 1 2 1 T cdot vec x 1 nbsp und e 2 2 3 2 T x 2 displaystyle varepsilon 2 colon 2 3 2 T cdot vec x 2 nbsp gegeben Hieraus ergibt sich der Richtungsvektor der Schnittgerade als w n 1 n 2 7 0 7 T displaystyle vec w vec n 1 times vec n 2 7 0 7 T nbsp Fur den Stutzvektor p displaystyle vec p nbsp folgt aus n 1 2 6 n 2 2 17 n 1 n 2 2 displaystyle vec n 1 2 6 vec n 2 2 17 vec n 1 cdot vec n 2 2 nbsp und aus obiger Formel q 1 2 1 0 1 T displaystyle vec q tfrac 1 2 1 0 1 T nbsp Also ist g x 1 2 1 0 1 T t 7 0 7 T displaystyle g colon vec x tfrac 1 2 1 0 1 T t 7 0 7 T nbsp eine Parameterdarstellung der Schnittgerade beider Ebenen Anmerkung Bearbeiten Die obige Formel liefert zwar eine Parameterdarstellung der Schnittgerade ohne jegliche Fallunterscheidungen sie ist allerdings rechenaufwandig Bei konkret vorgegebenen Ebenengleichungen kann es besser sein den Gauss Algorithmus zur Bestimmung einer Parameterdarstellung der Schnittgerade zu verwenden Fur obiges Beispiel ist das lineare Gleichungssystem x 2 y z 1 displaystyle x 2y z 1 nbsp dd 2 x 3 y 2 z 2 displaystyle 2x 3y 2z 2 nbsp zu losen 2 mal die erste Gleichung minus 1 mal die zweite Gleichung ergibt das Gleichungssystem in Zeilenstufenform x 2 y z 1 7 y 0 displaystyle begin array rrrcl x amp 2y amp z amp amp 1 amp 7y amp amp amp 0 end array nbsp Die Unbekannte z displaystyle z nbsp kann frei gewahlt werden z t displaystyle z t nbsp Nachdem y 0 displaystyle y 0 nbsp ist liefert ein Einsetzen in die erste Gleichung x 1 t displaystyle x 1 t nbsp Damit erhalt man die etwas andere Parameterdarstellung der Schnittgerade x 1 0 0 T t 1 0 1 T displaystyle vec x 1 0 0 T t 1 0 1 T nbsp Siehe auch BearbeitenSchnittkurve Schnittpunkt Schnittwinkel Geometrie Lagebeziehung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schnittgerade amp oldid 212789166
