Lagebeziehung ist ein Begriff aus der Schulmathematik der die Beziehung zwischen Paaren der geometrischen Objekte Punkt Gerade und Ebene anspricht Eine typische Aufgabe aus diesem Bereich ist Welche Beziehung besteht zwischen einer konkret vorgegebenen Gerade und einer Ebene im 3 dimensionalen Raum Mogliche Antworten sind Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt oder die Gerade meidet die Ebene oder die Gerade ist in der Ebene enthalten Der Weg zur Antwort hangt allerdings sehr von der Beschreibung der beteiligten Geraden bzw Ebenen ab s unten Bei der Losung der einzelnen Lageprobleme mussen immer wieder lineare Gleichungssysteme gelost werden Die linearen Gleichungssysteme entstehen meistens durch Gleichsetzen von Linearkombinationen von Vektoren 1 Komponente links 1 Komponente rechts Inhaltsverzeichnis 1 Lagebeziehungen in der reellen Ebene 1 1 Punkt und Gerade 1 2 Gerade und Gerade 2 Lagebeziehungen im Raum 2 1 Punkt und Gerade Ebene 2 2 Zwei Geraden 2 3 Gerade und Ebene 2 4 Zwei Ebenen 3 Verallgemeinerungen 4 Siehe auch 5 Literatur 6 WeblinksLagebeziehungen in der reellen Ebene Bearbeiten nbsp Lagebeziehung Gerade Gerade schneiden parallel identisch windschiefIn der Ebene wird ein Punkt durch seine Koordinaten beschrieben x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 nbsp eine Gerade durch eine Koordinatengleichung y m x b displaystyle y mx b nbsp oder durch eine Parameterdarstellung x p t r displaystyle vec x vec p t vec r nbsp beschrieben s Geradengleichung Punkt und Gerade Bearbeiten Ein Punkt x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 nbsp liegt auf der Gerade y m x b displaystyle y mx b nbsp fallsy 0 m x 0 b displaystyle y 0 mx 0 b nbsp dd gilt Im andern Fall liegt der Punkt nicht auf der Gerade Ein Punkt x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 nbsp liegt auf der Gerade x y p 1 p 2 t r 1 r 2 displaystyle binom x y binom p 1 p 2 t binom r 1 r 2 nbsp falls das uberbestimmte lineare Gleichungssystemx 0 p 1 t r 1 displaystyle x 0 p 1 tr 1 nbsp y 0 p 2 t r 2 displaystyle y 0 p 2 tr 2 nbsp dd fur t displaystyle t nbsp eine Losung besitzt Im andern Fall liegt der Punkt nicht auf der Gerade Gerade und Gerade Bearbeiten Zwei Geraden y m 1 x d 1 y m 2 x d 2 displaystyle y m 1 x d 1 y m 2 x d 2 nbsp haben einen Schnittpunkt Losung des linearen Gleichungssystems falls m 1 m 2 displaystyle m 1 neq m 2 nbsp ist Falls m 1 m 2 d 1 d 2 displaystyle m 1 m 2 d 1 d 2 nbsp gilt sind die Geraden identisch und falls m 1 m 2 d 1 d 2 displaystyle m 1 m 2 d 1 neq d 2 nbsp gilt sind die Geraden verschieden und parallel Zwei Geraden y m x d x y p 1 p 2 t r 1 r 2 displaystyle y mx d binom x y binom p 1 p 2 t binom r 1 r 2 nbsp haben einen Schnittpunkt falls die Gleichungp 2 t r 2 m p 1 t r 1 d displaystyle p 2 tr 2 m p 1 tr 1 d nbsp dd fur t displaystyle t nbsp genau eine Losung t 0 displaystyle t 0 nbsp besitzt Der Schnittpunkt hat die Koordinaten p 1 t 0 r 1 p 2 t 0 r 2 displaystyle p 1 t 0 r 1 p 2 t 0 r 2 nbsp Falls die Gleichung keine Losung besitzt sind die Geraden verschieden und parallel Falls die Gleichung fur alle t R displaystyle t in mathbb R nbsp erfullt ist sind die Geraden identisch Zwei Geraden x y p 1 p 2 t a 1 a 2 x y q 1 q 2 t b 1 b 2 displaystyle binom x y binom p 1 p 2 t binom a 1 a 2 binom x y binom q 1 q 2 t binom b 1 b 2 nbsp haben einen Schnittpunkt falls das lineare Gleichungssystemp 1 t a 1 q 1 s b 1 displaystyle p 1 ta 1 q 1 sb 1 nbsp p 2 t a 2 q 2 s b 2 displaystyle p 2 ta 2 q 2 sb 2 nbsp dd fur s t displaystyle s t nbsp genau eine Losung s 0 t 0 displaystyle s 0 t 0 nbsp besitzt Der Schnittpunkt ist p 1 t 0 a 1 p 2 t 0 a 2 displaystyle p 1 t 0 a 1 p 2 t 0 a 2 nbsp Falls das Gleichungssystem keine Losung besitzt sind die Geraden verschieden und parallel Falls das Gleichungssystem unendlich viele Losungen besitzt sind die beiden Geraden identisch Lagebeziehungen im Raum BearbeitenIm 3 dimensionalen Raum wird ein Punkt durch seine Koordinaten x 0 y 0 z 0 displaystyle x 0 y 0 z 0 nbsp eine Gerade durch eine Parameterdarstellung x p t r displaystyle vec x vec p t vec r nbsp und eine Ebene durch eine Koordinatengleichung a x b y c z d displaystyle ax by cz d nbsp oder durch eine Parameterdarstellung x p u e v f displaystyle vec x vec p u vec e v vec f nbsp beschrieben s Ebenengleichung Fur die folgenden Untersuchungen der Lagebeziehungen mit Ebenen lohnt es sich zu einer parametrisiert gegebenen Ebene x p u e v f displaystyle vec x vec p u vec e v vec f nbsp mit Hilfe des Vektorprodukts zunachst eine Koordinatengleichung aufzustellen e f x p 0 displaystyle vec e times vec f cdot vec x vec p 0 nbsp Punkt und Gerade Ebene Bearbeiten Ob ein Punkt x 0 y 0 z 0 displaystyle x 0 y 0 z 0 nbsp auf einer Gerade oder einer durch eine Koordinatengleichung gegebenen Ebene liegt pruft man wie die ebenen Falle Punkt Gerade nach Falls die Ebene durch eine Parameterdarstellung gegeben ist wird zuerst eine Koordinatengleichung dazu aufgestellt s o Zwei Geraden Bearbeiten Zwei Geraden x p s a x q t b displaystyle vec x vec p s vec a vec x vec q t vec b nbsp haben einen Schnittpunkt wenn das uberbestimmte lineare Gleichungssystemp s a q t b displaystyle vec p s vec a vec q t vec b nbsp dd fur s t displaystyle s t nbsp genau eine Losung s 0 t 0 displaystyle s 0 t 0 nbsp besitzt Der Schnittpunkt ist dann p s 0 a displaystyle vec p s 0 vec a nbsp Falls keine Losung existiert sind die beiden Geraden verschieden und parallel a b displaystyle vec a vec b nbsp sind linear abhangig oder windschief Falls unendlich viele Losungen existieren sind die Geraden identisch Die Parallelitat der Geraden lasst sich daran erkennen dass die beiden Richtungsvektoren a b displaystyle vec a vec b nbsp Vielfache voneinander sind Windschief erkennt man daran dass die Determinante det p q a b 0 displaystyle det vec p vec q vec a vec b neq 0 nbsp ist nbsp Lagebeziehung Gerade Ebene schneiden parallel enthalten nbsp Lagebeziehung Ebene Ebene schneiden parallel identischGerade und Ebene Bearbeiten Falls die Ebene parametrisiert gegeben ist bestimmt man zunachst eine Koordinatengleichung Eine Gerade x p t r displaystyle vec x vec p t vec r nbsp hat mit der Ebene a x b y c z d displaystyle ax by cz d nbsp einen Schnittpunkt falls die Gleichunga p 1 t r 1 b p 2 t r 2 c p 3 t r 3 d displaystyle a p 1 tr 1 b p 2 tr 2 c p 3 tr 3 d nbsp dd fur t displaystyle t nbsp genau eine Losung t 0 displaystyle t 0 nbsp besitzt Der Schnittpunkt ist dann p t 0 r displaystyle vec p t 0 vec r nbsp Falls die Gleichung keine bzw unendlich viele Losung en besitzt ist die Gerade zur Ebene parallel Diesen Fall kann man daran erkennen dass der Richtungsvektor der Gerade zum Normalenvektor a b c T displaystyle a b c T nbsp der Ebene senkrecht steht d h ihr Skalarprodukt ist 0 Zwei Ebenen Bearbeiten Zwei Ebenen a 1 x b 1 y c 1 z d 1 a 2 x b 2 y c 2 z d 2 displaystyle a 1 x b 1 y c 1 z d 1 a 2 x b 2 y c 2 z d 2 nbsp besitzen genau eine gemeinsame Gerade Schnittgerade falls die beiden Normalenvektoren a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 displaystyle a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 nbsp keine Vielfache voneinander d h linear unabhangig sind Die Schnittgerade ergibt sich als Losung des linearen Gleichungssystems Falls die Normalenvektoren linear abhangig sind sind die Ebenen parallel und zwar identisch falls die beiden Gleichungen Vielfache voneinander sind Zwei Ebenen a x b y c z d x p u e v f displaystyle ax by cz d vec x vec p u vec e v vec f nbsp besitzen genau eine gemeinsame Gerade Schnittgerade falls die lineare Gleichunga p 1 u e 1 v f 1 b p 2 u e 2 v f 2 c p 3 u e 3 v f 3 d displaystyle a p 1 ue 1 vf 1 b p 2 ue 2 vf 2 c p 3 ue 3 vf 3 d nbsp dd in u v displaystyle u v nbsp nach u displaystyle u nbsp oder v displaystyle v nbsp auflosbar ist Ist die Gleichung nach u displaystyle u nbsp auflosbar und u u v displaystyle u u v nbsp so ist v displaystyle v nbsp frei wahlbar und x p u v e v f displaystyle vec x vec p u v vec e v vec f nbsp eine Parameterdarstellung der Schnittgerade Ist die Gleichung weder nach u displaystyle u nbsp noch nach v displaystyle v nbsp auflosbar sind beide Parameter nicht in der Gleichung enthalten In diesem Fall sind die Ebenen parallel und zwar verschieden wenn die Gleichung einen Widerspruch enthalt Diesen Fall kann man daran erkennen dass der Normalenvektor a b c T displaystyle a b c T nbsp der ersten Ebene zu beiden Richtungsvektoren e f displaystyle vec e vec f nbsp der zweiten Ebene senkrecht steht d h die entsprechenden Skalarprodukte sind 0 Falls beide Ebenen parametrisiert gegeben sind berechnet man zu einer der beiden Ebenen eine Koordinatengleichung und wendet das vorstehende Verfahren an Verallgemeinerungen BearbeitenDa bei den Lageuntersuchungen nur multipliziert und addiert wird lassen sich die obigen Uberlegungen auch auf Ebenen Raume uber beliebigen Zahlkorpern rationale Zahlen komplexe Zahlen ubertragen In manchen Buchern werden zu den Objekten Punkt Gerade Ebene noch Kreis und Kugel hinzugenommen In diesem Fall muss man dann allerdings auch quadratische Gleichungen losen Man kann auch Lagebeziehungen in hoher dimensionalen Raumen fur Punkte Geraden Ebenen Unterraume untersuchen Siehe auch BearbeitenSchnittpunkt Schnittgerade Schnittkurve Schnittwinkel Geometrie Literatur BearbeitenMathematik 2 2 Gymnasiale Oberstufe Hessen Cornelsen Verlag 2010 ISBN 978 3 464 57455 3 S 118Weblinks Bearbeitenhttp de serlo org entity view 2037 http de serlo org entity view 2041 http de serlo org entity view 1939 https www mathematik de ger fragenantworten erstehilfe analytische geometrie 15lagebeziehungendreidim html Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lagebeziehung amp oldid 225314114
