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Schnittkurve Unter einer versteht man in der Geometrie im einfachsten Fall die Schnittgerade zweier nicht paralleler Ebe

Schnittkurve

Unter einer Schnittkurve versteht man in der Geometrie im einfachsten Fall die Schnittgerade zweier nicht paralleler Ebenen des Anschauungsraumes. Im Allgemeinen besteht die Schnittkurve zweier Flächen aus den gemeinsamen Punkten, in denen sich die Flächen transversal schneiden. Transversal bedeutet, dass in jedem gemeinsamen Punkt die Flächennormalen nicht auf einer Gerade liegen. Mit dieser Einschränkung schließt man aus, dass die Flächen sich berühren oder sogar ganze Flächenstücke gemeinsam haben.

Schnitt zweier Ebenen

Die Bestimmung der Schnittkurve zweier Flächen ist nur in einfachen Fällen analytisch möglich. Zum Beispiel: a) Schnittgerade zweier Ebenen, b) Schnitt einer Ebene mit einer Quadrik (Kugel, Kegel, Hyperboloid, …), c) Schnitt zweier Quadriken in besonderen Lagen (z. B. Rotationsquadriken mit derselben Rotationsachse). Für allgemeinere Fälle werden in der Literatur Algorithmen bereitgestellt, mit denen man Polygone mit Punkten auf der Schnittkurve zweier Flächen berechnen kann. Die darstellende Geometrie bietet für in der Technik häufig vorkommende Fälle (Schnitt Zylinder-Kugel, Zylinder-Kegel, …) Methoden, mit denen man einzelne Punkte einer Schnittkurve (Durchdringungskurve) zeichnerisch bestimmen kann. Siehe: Hilfsebenenverfahren, Pendelebenenverfahren, Mantellinienverfahren und Hilfskugelverfahren.

Schnittgerade zweier Ebenen Bearbeiten

Gegeben: Zwei Ebenen linear unabhängig, d. h., die Ebenen sind nicht parallel.

Gesucht: Eine Parameterdarstellung der Schnittgerade.

Die Richtung der Schnittgerade ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Normalenvektoren: . Einen Punkt der Schnittgerade erhält man, indem man die Ebenen mit der zu und senkrechten Ebene schneidet. und findet man durch Einsetzen in die Gleichungen der Ebenen und .

Beispiel:

Die Normalenvektoren sind und der Richtungsvektor der Schnittgerade . Für den Punkt ergibt sich nach obiger Formel Also ist

eine Parameterdarstellung der Schnittgerade beider Ebenen.

Bemerkung:

  1. Man kann bei konkret vorgegebenen Ebenengleichungen auch den Gauß-Algorithmus zur Bestimmung einer Parameterdarstellung der Schnittgerade verwenden. Der obige Weg ist als programmierbare Formel für den allgemeinen Fall geeigneter.
  2. Falls eine Ebene (oder beide) in Parameterdarstellung gegeben ist, so erhält man durch einen Normalenvektor und die Gleichung der Ebene: .

Schnittkurve einer Ebene mit einer Quadrik Bearbeiten

Die Schnittkurve einer Ebene mit einer Quadrik (Kugel, Kegel, Zylinder, …) ist immer ein Kegelschnitt. Für die analytische Bestimmung der ebenen Schnitte eines senkrechten Kreiskegels: siehe Kegelschnitt. Die ebenen Schnitte anderer Quadriken z. B. die ebenen Schnitte einer Kugel, eines Zylinders, eines Paraboloids, eines Hyperboloids findet man hier: .

Eine wichtige Anwendung finden ebene Schnitte von Quadriken bei der Bestimmung von Umrisskurven. Denn sowohl bei Parallelprojektion als auch bei Zentralprojektion sind die Umrisse von Quadriken ebene Schnitte. Bei allgemeineren Flächen sind Umrisskurven meistens keine ebene Schnitte mehr. Siehe hierzu: Umrisskonstruktion.

Schnittkurve eines Zylinders/Kegels mit einer Quadrik Bearbeiten

Da die Bestimmung des Schnittpunktes einer Gerade mit einer Quadrik in impliziter Form (z. B. Kugel ) nur das Lösen einer quadratischen Gleichung erfordert, lassen sich beliebig viele Schnittpunkte der Schnittkurve eines Zylinders oder Kegels (beide werden von Geraden erzeugt) mit einer Quadrik berechnen und durch einen Polygonzug visualisieren (s. Bilder).

Die Bilder zeigen die Möglichkeiten, die beim Schnitt eines Zylinders mit einer Kugel auftreten können:

  1. Im ersten Bild gibt es eine zusammenhängende Schnittkurve.
  2. Im zweiten Bild zerfällt die Schnittkurve in zwei getrennte Kurven.
  3. Im dritten Bild berühren sich Zylinder und Kugel in einem Punkt (singulärer Punkt). Hier haben die Flächennormalen dieselbe Richtung. Die Schnittkurve durchdringt sich selbst im Berührpunkt.
  4. Haben Zylinder und Kugel denselben Radius und der Mittelpunkt der Kugel liegt auf der Zylinderachse, so berühren sich Kugel und Zylinder in einem Kreis. Der Schnitt der beiden besteht ausschließlich aus singulären Punkten.

Allgemeiner Fall: Verfolgungsalgorithmus Bearbeiten

Schnittkurve: Prinzip des Verfolgungsalgorithmus

Bei allgemeineren Flächen kann man keine Besonderheiten wie oben ausnutzen. Eine Möglichkeit, ein Polygon aus Punkten der gesuchten Schnittkurve zu erzeugen, bietet der Verfolgungsalgorithmus (s. Abschnitt Literatur). Er besteht aus zwei wesentlichen Teilen:

  1. Ein von der Darstellung der beteiligten Flächen abhängiger Kurvenpunkt-Algorithmus, der zu einem Punkt in der Nähe beider Flächen einen Punkt der Schnittkurve bestimmt. Für implizit gegebene Flächen gibt es einen relativ einfachen und schnellen Algorithmus, da die Funktionen der beiden Flächen auch in der Nähe der Flächen ausgewertet werden können und die Gradienten der Funktionen den Weg auf die beteiligten Flächen angeben. Für parametrisierte Flächen fehlen solche Informationen. Hier verwendet man u. a. Algorithmen, die Lotfußpunkte auf Flächen bestimmen.
  2. Der zweite Teil des Verfolgungsalgorithmus geht von einem bekannten Punkt der Schnittkurve aus und bestimmt mit Hilfe der Flächennormalen über deren Kreuzprodukt eine Tangente an die Schnittkurve. Vom ersten Punkt geht man dann um eine fest vorgegebene Schrittweite in Tangentenrichtung, um einen neuen Startpunkt für den Kurvenpunkt-Algorithmus zu erhalten. Der Kurvenpunkt-Algorithmus liefert den 2. Kurvenpunkt (s. Bild).

Zu Details des Verfolgungsalgorithmus: siehe.

Der Verfolgungsalgorithmus läuft immer entlang einer zusammenhängenden Schnittkurve. Falls mehrere Schnittkurven existieren, muss der Algorithmus mehrmals mit geeigneten Startpunkten durchlaufen werden. Der Algorithmus zeigt sich in der Praxis relativ robust. Selbst über einzelne Singularitäten läuft er ohne große Probleme, da es sehr unwahrscheinlich ist, dass man zufällig einen singulären Punkt erwischt (siehe Bild mit Zylinder und Fläche ).

Anwendung: Umrisskurve Bearbeiten

Ein Punkt des Umrisses einer impliziten Fläche mit der Gleichung muss bei einer Parallelprojektion in Richtung der Bedingung genügen. D. h. ein Umrisspunkt ist ein Punkt der Schnittkurve der beiden impliziten Flächen

Bei Quadriken ist immer eine lineare Funktion und damit die Umrisskurve ein ebener Schnitt.

Der Umriss der Fläche (s. Bild) wurde mit dem Verfolgungsalgorithmus bestimmt und gezeichnet.

Bemerkung: Die Bestimmung eines Umrisspolygons einer parametrisierten Fläche erfordert ein Polygon auf einer impliziten Kurve in der Parameterebene zu bestimmen( siehe) :

Schnittkurven zwischen Polyedern Bearbeiten

Schnittkurven zwischen Polyedern: 3 Häuser
Schnittkurven zwischen Polyedern: 2 Tori

Die Schnittkurve zwischen zwei Polyedern ist ein Polygon (s. Schnitt dreier Häuser). Da insbesondere parametrisierte Flächen oft durch 4-Eck-Netze dargestellt werden und die 4-Ecke in der Regel fast eben sind, ergibt sich die Schnittkurve als Schnittpolygon der einzelnen Facetten der Flächen. Einen geeigneten Algorithmus zur Bestimmung des Schnittpolygons zweier Polyeder findet man hier: .

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 149
  2. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 87–124
  3. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 153, 158
  4. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 158
  5. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 179

Literatur Bearbeiten

  • C:L: Bajaj, C.M. Hoffmann, R.E. Lynch: Tracing surface intersections, Comp. Aided Geom. Design 5 (1988), S. 285–307.
  • R.E. Barnhill, S.N. Kersey: AMarching method for parametric surface/surface intersection, Comp. Aided Geom. Design 7 (1990), S. 257–280.
  • R. Barnhill, G. Farin, M. Jordan, B. Piper: Surface/Surface intersection, Computer Aided Geometric Design 4 (1987), S. 3–16.
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Veröffentlichungsdatum:
Unter einer Schnittkurve versteht man in der Geometrie im einfachsten Fall die Schnittgerade zweier nicht paralleler Ebenen des Anschauungsraumes Im Allgemeinen besteht die Schnittkurve zweier Flachen aus den gemeinsamen Punkten in denen sich die Flachen transversal schneiden Transversal bedeutet dass in jedem gemeinsamen Punkt die Flachennormalen nicht auf einer Gerade liegen Mit dieser Einschrankung schliesst man aus dass die Flachen sich beruhren oder sogar ganze Flachenstucke gemeinsam haben Schnitt zweier EbenenDie Bestimmung der Schnittkurve zweier Flachen ist nur in einfachen Fallen analytisch moglich Zum Beispiel a Schnittgerade zweier Ebenen b Schnitt einer Ebene mit einer Quadrik Kugel Kegel Hyperboloid c Schnitt zweier Quadriken in besonderen Lagen z B Rotationsquadriken mit derselben Rotationsachse Fur allgemeinere Falle werden in der Literatur Algorithmen bereitgestellt mit denen man Polygone mit Punkten auf der Schnittkurve zweier Flachen berechnen kann 1 Die darstellende Geometrie bietet fur in der Technik haufig vorkommende Falle Schnitt Zylinder Kugel Zylinder Kegel Methoden mit denen man einzelne Punkte einer Schnittkurve Durchdringungskurve zeichnerisch bestimmen kann Siehe Hilfsebenenverfahren Pendelebenenverfahren Mantellinienverfahren und Hilfskugelverfahren Inhaltsverzeichnis 1 Schnittgerade zweier Ebenen 2 Schnittkurve einer Ebene mit einer Quadrik 3 Schnittkurve eines Zylinders Kegels mit einer Quadrik 4 Allgemeiner Fall Verfolgungsalgorithmus 5 Anwendung Umrisskurve 6 Schnittkurven zwischen Polyedern 7 Siehe auch 8 Einzelnachweise 9 LiteraturSchnittgerade zweier Ebenen BearbeitenGegeben Zwei Ebenen e i n i x d i i 1 2 n 1 n 2 displaystyle varepsilon i quad vec n i cdot vec x d i quad i 1 2 quad vec n 1 vec n 2 nbsp linear unabhangig d h die Ebenen sind nicht parallel Gesucht Eine Parameterdarstellung x p t r displaystyle vec x vec p t vec r nbsp der Schnittgerade Die Richtung der Schnittgerade ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Normalenvektoren r n 1 n 2 displaystyle vec r vec n 1 times vec n 2 nbsp Einen Punkt P p displaystyle P vec p nbsp der Schnittgerade erhalt man indem man die Ebenen e 1 e 2 displaystyle varepsilon 1 varepsilon 2 nbsp mit der zu e 1 displaystyle varepsilon 1 nbsp und e 2 displaystyle varepsilon 2 nbsp senkrechten Ebene e 3 x s 1 n 1 s 2 n 2 displaystyle varepsilon 3 vec x s 1 vec n 1 s 2 vec n 2 nbsp schneidet s 1 displaystyle s 1 nbsp und s 2 displaystyle s 2 nbsp findet man durch Einsetzen in die Gleichungen der Ebenen e 1 displaystyle varepsilon 1 nbsp und e 2 displaystyle varepsilon 2 nbsp P p d 1 n 2 2 d 2 n 1 n 2 n 1 2 n 2 2 n 1 n 2 2 n 1 d 2 n 1 2 d 1 n 1 n 2 n 1 2 n 2 2 n 1 n 2 2 n 2 displaystyle P vec p frac d 1 vec n 2 2 d 2 vec n 1 cdot vec n 2 vec n 1 2 vec n 2 2 vec n 1 cdot vec n 2 2 vec n 1 frac d 2 vec n 1 2 d 1 vec n 1 cdot vec n 2 vec n 1 2 vec n 2 2 vec n 1 cdot vec n 2 2 vec n 2 nbsp Beispiel e 1 x 2 y z 1 e 2 2 x 3 y 2 z 2 displaystyle varepsilon 1 x 2y z 1 quad varepsilon 2 2x 3y 2z 2 nbsp Die Normalenvektoren sind n 1 1 2 1 n 2 2 3 2 displaystyle vec n 1 1 2 1 top vec n 2 2 3 2 top nbsp und der Richtungsvektor der Schnittgerade r n 1 n 2 7 0 7 displaystyle vec r vec n 1 times vec n 2 7 0 7 top nbsp Fur den Punkt P p displaystyle P vec p nbsp ergibt sich nach obiger Formel p 1 2 1 0 1 displaystyle vec p tfrac 1 2 1 0 1 top nbsp Also ist x 1 2 1 0 1 t 7 0 7 displaystyle vec x tfrac 1 2 1 0 1 top t 7 0 7 top nbsp eine Parameterdarstellung der Schnittgerade beider Ebenen Bemerkung Man kann bei konkret vorgegebenen Ebenengleichungen auch den Gauss Algorithmus zur Bestimmung einer Parameterdarstellung der Schnittgerade verwenden Der obige Weg ist als programmierbare Formel fur den allgemeinen Fall geeigneter Falls eine Ebene oder beide in Parameterdarstellung x p s v t w displaystyle vec x vec p s vec v t vec w nbsp gegeben ist so erhalt man durch n v w displaystyle vec n vec v times vec w nbsp einen Normalenvektor und die Gleichung der Ebene n x n p displaystyle vec n cdot vec x vec n cdot vec p nbsp Schnittkurve einer Ebene mit einer Quadrik BearbeitenDie Schnittkurve einer Ebene mit einer Quadrik Kugel Kegel Zylinder ist immer ein Kegelschnitt Fur die analytische Bestimmung der ebenen Schnitte eines senkrechten Kreiskegels siehe Kegelschnitt Die ebenen Schnitte anderer Quadriken z B die ebenen Schnitte einer Kugel eines Zylinders eines Paraboloids eines Hyperboloids findet man hier 2 Eine wichtige Anwendung finden ebene Schnitte von Quadriken bei der Bestimmung von Umrisskurven Denn sowohl bei Parallelprojektion als auch bei Zentralprojektion sind die Umrisse von Quadriken ebene Schnitte Bei allgemeineren Flachen sind Umrisskurven meistens keine ebene Schnitte mehr Siehe hierzu Umrisskonstruktion Schnittkurve eines Zylinders Kegels mit einer Quadrik BearbeitenDa die Bestimmung des Schnittpunktes einer Gerade mit einer Quadrik in impliziter Form z B Kugel x 2 y 2 z 2 1 displaystyle x 2 y 2 z 2 1 nbsp nur das Losen einer quadratischen Gleichung erfordert lassen sich beliebig viele Schnittpunkte der Schnittkurve eines Zylinders oder Kegels beide werden von Geraden erzeugt mit einer Quadrik berechnen und durch einen Polygonzug visualisieren s Bilder Die Bilder zeigen die Moglichkeiten die beim Schnitt eines Zylinders mit einer Kugel auftreten konnen Im ersten Bild gibt es eine zusammenhangende Schnittkurve Im zweiten Bild zerfallt die Schnittkurve in zwei getrennte Kurven Im dritten Bild beruhren sich Zylinder und Kugel in einem Punkt singularer Punkt Hier haben die Flachennormalen dieselbe Richtung Die Schnittkurve durchdringt sich selbst im Beruhrpunkt Haben Zylinder und Kugel denselben Radius und der Mittelpunkt der Kugel liegt auf der Zylinderachse so beruhren sich Kugel und Zylinder in einem Kreis Der Schnitt der beiden besteht ausschliesslich aus singularen Punkten nbsp Schnittkurve Kugel mit einem Zylinder 1 teilig nbsp Schnittkurve Kugel mit einem Zylinder 2 teilig nbsp Schnittkurve einer Kugel mit einem Zylinder Kurve mit 1 Singularitat nbsp Schnittkurve Kugel mit einem Zylinder beruhrendAllgemeiner Fall Verfolgungsalgorithmus Bearbeiten nbsp Schnittkurve Prinzip des VerfolgungsalgorithmusBei allgemeineren Flachen kann man keine Besonderheiten wie oben ausnutzen Eine Moglichkeit ein Polygon aus Punkten der gesuchten Schnittkurve zu erzeugen bietet der Verfolgungsalgorithmus s Abschnitt Literatur Er besteht aus zwei wesentlichen Teilen Ein von der Darstellung der beteiligten Flachen abhangiger Kurvenpunkt Algorithmus der zu einem Punkt in der Nahe beider Flachen einen Punkt der Schnittkurve bestimmt Fur implizit gegebene Flachen gibt es einen relativ einfachen und schnellen Algorithmus da die Funktionen der beiden Flachen auch in der Nahe der Flachen ausgewertet werden konnen und die Gradienten der Funktionen den Weg auf die beteiligten Flachen angeben Fur parametrisierte Flachen fehlen solche Informationen Hier verwendet man u a Algorithmen die Lotfusspunkte auf Flachen bestimmen Der zweite Teil des Verfolgungsalgorithmus geht von einem bekannten Punkt der Schnittkurve aus und bestimmt mit Hilfe der Flachennormalen uber deren Kreuzprodukt eine Tangente an die Schnittkurve Vom ersten Punkt geht man dann um eine fest vorgegebene Schrittweite in Tangentenrichtung um einen neuen Startpunkt fur den Kurvenpunkt Algorithmus zu erhalten Der Kurvenpunkt Algorithmus liefert den 2 Kurvenpunkt s Bild Zu Details des Verfolgungsalgorithmus siehe 3 Der Verfolgungsalgorithmus lauft immer entlang einer zusammenhangenden Schnittkurve Falls mehrere Schnittkurven existieren muss der Algorithmus mehrmals mit geeigneten Startpunkten durchlaufen werden Der Algorithmus zeigt sich in der Praxis relativ robust Selbst uber einzelne Singularitaten lauft er ohne grosse Probleme da es sehr unwahrscheinlich ist dass man zufallig einen singularen Punkt erwischt siehe Bild mit Zylinder und Flache x 4 y 4 z 4 1 displaystyle x 4 y 4 z 4 1 nbsp nbsp Schnittkurve der Flache x 4 y 4 z 4 1 displaystyle x 4 y 4 z 4 1 nbsp mit Zylinder zweiteilig nbsp Schnittkurve der Flache x 4 y 4 z 4 1 displaystyle x 4 y 4 z 4 1 nbsp mit Zylinder einteilig nbsp Schnittkurve der Flache x 4 y 4 z 4 1 displaystyle x 4 y 4 z 4 1 nbsp mit Zylinder einteilig mit sing PunktAnwendung Umrisskurve BearbeitenEin Punkt x y z displaystyle x y z nbsp des Umrisses einer impliziten Flache mit der Gleichung f x y z 0 displaystyle f x y z 0 nbsp muss bei einer Parallelprojektion in Richtung v displaystyle vec v nbsp der Bedingung g x y z f x y z v 0 displaystyle g x y z nabla f x y z cdot vec v 0 nbsp genugen D h ein Umrisspunkt ist ein Punkt der Schnittkurve der beiden impliziten Flachen f x y z 0 g x y z 0 displaystyle f x y z 0 g x y z 0 nbsp Bei Quadriken ist g displaystyle g nbsp immer eine lineare Funktion und damit die Umrisskurve ein ebener Schnitt Der Umriss der Flache f x y z x 4 y 4 z 4 1 0 displaystyle f x y z x 4 y 4 z 4 1 0 nbsp s Bild wurde mit dem Verfolgungsalgorithmus bestimmt und gezeichnet Bemerkung Die Bestimmung eines Umrisspolygons einer parametrisierten Flache x x s t displaystyle vec x vec x s t nbsp erfordert ein Polygon auf einer impliziten Kurve in der Parameterebene zu bestimmen siehe 4 Umrissbedingung g s t x s s t x t s t v 0 displaystyle g s t vec x s s t times vec x t s t cdot vec v 0 nbsp Schnittkurven zwischen Polyedern Bearbeiten nbsp Schnittkurven zwischen Polyedern 3 Hauser nbsp Schnittkurven zwischen Polyedern 2 ToriDie Schnittkurve zwischen zwei Polyedern ist ein Polygon s Schnitt dreier Hauser Da insbesondere parametrisierte Flachen oft durch 4 Eck Netze dargestellt werden und die 4 Ecke in der Regel fast eben sind ergibt sich die Schnittkurve als Schnittpolygon der einzelnen Facetten der Flachen Einen geeigneten Algorithmus zur Bestimmung des Schnittpolygons zweier Polyeder findet man hier 5 Siehe auch BearbeitenSchnittpunkt LagebeziehungEinzelnachweise Bearbeiten CDKG Computerunterstutzte Darstellende und Konstruktive Geometrie TU Darmstadt PDF 3 4 MB S 149 CDKG Computerunterstutzte Darstellende und Konstruktive Geometrie TU Darmstadt PDF 3 4 MB S 87 124 CDKG Computerunterstutzte Darstellende und Konstruktive Geometrie TU Darmstadt PDF 3 4 MB S 153 158 CDKG Computerunterstutzte Darstellende und Konstruktive Geometrie TU Darmstadt PDF 3 4 MB S 158 CDKG Computerunterstutzte Darstellende und Konstruktive Geometrie TU Darmstadt PDF 3 4 MB S 179Literatur BearbeitenC L Bajaj C M Hoffmann R E Lynch Tracing surface intersections Comp Aided Geom Design 5 1988 S 285 307 R E Barnhill S N Kersey AMarching method for parametric surface surface intersection Comp Aided Geom Design 7 1990 S 257 280 R Barnhill G Farin M Jordan B Piper Surface Surface intersection Computer Aided Geometric Design 4 1987 S 3 16 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schnittkurve amp oldid 232725399