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Sekantenverfahren Bei dem handelt es sich um ein schon seit dem Mittelalter bekanntes numerisches Verfahren zur näherung

Sekantenverfahren

Bei dem Sekantenverfahren handelt es sich um ein schon seit dem Mittelalter bekanntes numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung einer Gleichung des Typs . Es entspricht einer Vereinfachung des Newton-Verfahrens, da nicht die Ableitung der Funktion berechnet werden muss.

Verfahren Bearbeiten

Zwischen zwei Punkten und der Funktion wird eine Sekante gelegt. Der Schnittpunkt der Sekante mit der -Achse wird als verbesserter Startwert für die Iteration verwendet. Mithilfe von wird der neue Funktionswert berechnet. Mit und dem alten Wert wird dieser Schritt wiederholt und erneut eine Sekante angelegt. Man wiederholt diesen Schritt so lange, bis eine ausreichende Näherung der gesuchten Nullstelle erreicht wurde.

Konstruktion am Graphen Bearbeiten

Die folgende Animation zeigt, wie mit den Startwerten und weitere Punkte konstruiert werden.

Animation zeigt mehrere Iterationsschritte des Sekantenverfahrens

Das Verfahren verwendet folgende Iterationsvorschrift:

Dabei wird mit zwei Näherungswerten begonnen.

Im Gegensatz zum Regula-falsi-Verfahren kann es beim Sekantenverfahren auftreten, dass die Nullstelle für einige Iterationsschritte nicht mehr zwischen und liegt.

Zusammenhang mit dem Newton-Verfahren Bearbeiten

Das Verfahren lässt sich als Modifikation des Newtonschen Näherungsverfahrens mit der Iterationsvorschrift

auffassen, indem man die Ableitung durch den Differenzenquotienten

ersetzt.

Konvergenz Bearbeiten

Aufgrund der Verwandtschaft mit dem Newtonschen Verfahren gelten für die Konvergenz des Sekantenverfahrens ähnliche Bedingungen:

  • Das Sekantenverfahren konvergiert superlinear mit der Konvergenzordnung (dies entspricht dem Verhältnis des goldenen Schnittes), d. h. die Zahl der korrekten Stellen des Näherungswertes erhöht sich pro Durchgang ungefähr um den Faktor . Dies hängt damit zusammen, dass der Differenzenquotient nur eine Näherung für die Ableitung ist; entsprechend geringer ist die Konvergenzgeschwindigkeit im Vergleich zum quadratisch konvergenten Newton-Verfahren.
  • Es genügt, dass die Funktion im Definitionsbereich stetig ist und genau eine Nullstelle besitzt.
  • Das Verfahren verliert an Genauigkeit und Konvergenzgeschwindigkeit, wenn die Ableitung an der Nullstelle 0 wird, da sich in der Berechnung ein Ausdruck der Form ergibt. Speziell bei Polynomen entspricht dies einer mehrfachen Nullstelle.

Vorteile des Verfahrens Bearbeiten

Gegenüber dem Newtonschen Verfahren ergeben sich mehrere Vorteile:

  • Es müssen nur die Funktionswerte berechnet werden. Im Gegensatz zur Newton-Iteration können damit die Nullstellen jeder beliebigen, hinreichend glatten Funktion auch ohne Kenntnis oder Berechnung der Ableitungen berechnet werden.
  • Je Iterationsschritt muss nur der Funktionswert einmal berechnet werden. Beim Newtonverfahren muss zusätzlich auch noch der Funktionswert der Ableitung bestimmt werden.
  • Durch die Vorgabe von zwei Startwerten lässt sich das Verfahren besser auf ein bestimmtes Intervall fokussieren, da die Richtung der Sekante durch die beiden Startwerte vorgegeben wird. Die Konvergenz kann dadurch allerdings nicht erzwungen werden.

Das Sekantenverfahren im Mehrdimensionalen Bearbeiten

Analog zum mehrdimensionalen Newton-Verfahren kann man auch ein mehrdimensionales Sekantenverfahren definieren, um Nullstellen von Funktionen zu bestimmen.

Wurde im Eindimensionalen die Ableitung durch den Differenzenquotient approximiert, so wird im Mehrdimensionalen die Jacobi-Matrix approximiert:

wobei zu einer gegebenen Schrittweitenmatrix definiert ist durch:

Nun ergibt sich analog zum Newtonverfahren folgende Iterationsvorschrift:

Da das Lösen von

über die Berechnung der Inversen einer Matrix und anschließender Multiplikation mit aufwändiger und numerisch ungünstiger ist, wird stattdessen das lineare Gleichungssystem

gelöst. Danach erhält man aus:

Literatur Bearbeiten

  • Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens. 1. Auflage. Teubner, Stuttgart 2002, ISBN 3-519-00356-2, Kapitel 18.2.
  • Martin Hermann: Numerische Mathematik, Band 1: Algebraische Probleme. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2020. ISBN 978-3-11-065665-7.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Bei dem Sekantenverfahren handelt es sich um ein schon seit dem Mittelalter bekanntes numerisches Verfahren zur naherungsweisen Losung einer Gleichung des Typs f x 0 displaystyle f x 0 Es entspricht einer Vereinfachung des Newton Verfahrens da nicht die Ableitung der Funktion berechnet werden muss Inhaltsverzeichnis 1 Verfahren 1 1 Konstruktion am Graphen 1 2 Zusammenhang mit dem Newton Verfahren 1 3 Konvergenz 1 4 Vorteile des Verfahrens 2 Das Sekantenverfahren im Mehrdimensionalen 3 Literatur 4 WeblinksVerfahren BearbeitenZwischen zwei Punkten P x 1 f x 1 displaystyle P x 1 f x 1 nbsp und Q x 2 f x 2 displaystyle Q x 2 f x 2 nbsp der Funktion f displaystyle f nbsp wird eine Sekante gelegt Der Schnittpunkt der Sekante mit der x displaystyle x nbsp Achse wird als verbesserter Startwert x 3 displaystyle x 3 nbsp fur die Iteration verwendet Mithilfe von x 3 displaystyle x 3 nbsp wird der neue Funktionswert f x 3 displaystyle f x 3 nbsp berechnet Mit f x 3 displaystyle f x 3 nbsp und dem alten Wert f x 2 displaystyle f x 2 nbsp wird dieser Schritt wiederholt und erneut eine Sekante angelegt Man wiederholt diesen Schritt so lange bis eine ausreichende Naherung der gesuchten Nullstelle erreicht wurde Konstruktion am Graphen Bearbeiten Die folgende Animation zeigt wie mit den Startwerten x 1 displaystyle x 1 nbsp und x 2 displaystyle x 2 nbsp weitere Punkte konstruiert werden nbsp Animation zeigt mehrere Iterationsschritte des SekantenverfahrensDas Verfahren verwendet folgende Iterationsvorschrift x n 1 x n x n x n 1 f x n f x n 1 f x n displaystyle x n 1 x n frac x n x n 1 f x n f x n 1 cdot f x n nbsp Dabei wird mit zwei Naherungswerten x 0 x 1 displaystyle x 0 x 1 nbsp begonnen Im Gegensatz zum Regula falsi Verfahren kann es beim Sekantenverfahren auftreten dass die Nullstelle fur einige Iterationsschritte nicht mehr zwischen x n displaystyle x n nbsp und x n 1 displaystyle x n 1 nbsp liegt Zusammenhang mit dem Newton Verfahren Bearbeiten Das Verfahren lasst sich als Modifikation des Newtonschen Naherungsverfahrens mit der Iterationsvorschrift x n 1 x n f x n f x n displaystyle x n 1 x n frac f x n f x n nbsp auffassen indem man die Ableitung f x n displaystyle f x n nbsp durch den Differenzenquotienten f x n f x n f x n 1 x n x n 1 displaystyle f x n approx frac f x n f x n 1 x n x n 1 nbsp ersetzt Konvergenz Bearbeiten Aufgrund der Verwandtschaft mit dem Newtonschen Verfahren gelten fur die Konvergenz des Sekantenverfahrens ahnliche Bedingungen Das Sekantenverfahren konvergiert superlinear mit der Konvergenzordnung F 1 5 2 1 618 displaystyle Phi tfrac 1 sqrt 5 2 approx 1 618 nbsp dies entspricht dem Verhaltnis des goldenen Schnittes d h die Zahl der korrekten Stellen des Naherungswertes erhoht sich pro Durchgang ungefahr um den Faktor F displaystyle Phi nbsp Dies hangt damit zusammen dass der Differenzenquotient nur eine Naherung fur die Ableitung ist entsprechend geringer ist die Konvergenzgeschwindigkeit im Vergleich zum quadratisch konvergenten Newton Verfahren Es genugt dass die Funktion f displaystyle f nbsp im Definitionsbereich stetig ist und genau eine Nullstelle besitzt Das Verfahren verliert an Genauigkeit und Konvergenzgeschwindigkeit wenn die Ableitung f x displaystyle f x nbsp an der Nullstelle 0 wird da sich in der Berechnung ein Ausdruck der Form x n 1 x n 0 0 f x n displaystyle x n 1 x n tfrac 0 0 cdot f x n nbsp ergibt Speziell bei Polynomen entspricht dies einer mehrfachen Nullstelle Bei der numerischen Berechnung stellt sich das Problem dass der Differenzenquotientf x n f x n 1 x n x n 1 displaystyle frac f x n f x n 1 x n x n 1 nbsp mit zunehmender Annaherung an die Nullstelle durch Ausloschung der Ziffern in die Form 0 0 ubergeht Wahrend das Verfahren selbst die Abschatzung fur die Nullstelle immer weiter verbessern konnte wird in der tatsachlichen Berechnung dieser Gewinn in der Nahe der Nullstelle durch zunehmende Rundungsfehler uberkompensiert Dadurch lasst sich auf Rechnern mit endlicher Stellenzahl prinzipiell mit dem Sekantenverfahren nicht die Genauigkeit des Newtonschen Verfahrens erreichen Vorteile des Verfahrens Bearbeiten Gegenuber dem Newtonschen Verfahren ergeben sich mehrere Vorteile Es mussen nur die Funktionswerte berechnet werden Im Gegensatz zur Newton Iteration konnen damit die Nullstellen jeder beliebigen hinreichend glatten Funktion auch ohne Kenntnis oder Berechnung der Ableitungen berechnet werden Je Iterationsschritt muss nur der Funktionswert f x displaystyle f x nbsp einmal berechnet werden Beim Newtonverfahren muss zusatzlich auch noch der Funktionswert der Ableitung f x displaystyle f x nbsp bestimmt werden Durch die Vorgabe von zwei Startwerten lasst sich das Verfahren besser auf ein bestimmtes Intervall fokussieren da die Richtung der Sekante durch die beiden Startwerte vorgegeben wird Die Konvergenz kann dadurch allerdings nicht erzwungen werden Das Sekantenverfahren im Mehrdimensionalen BearbeitenAnalog zum mehrdimensionalen Newton Verfahren kann man auch ein mehrdimensionales Sekantenverfahren definieren um Nullstellen von Funktionen f D R n R n displaystyle f colon D subset mathbb R n to mathbb R n nbsp zu bestimmen Wurde im Eindimensionalen die Ableitung durch den Differenzenquotient approximiert so wird im Mehrdimensionalen die Jacobi Matrix approximiert J x f i x j f 1 x 1 f 1 x 2 f 1 x n f 2 x 1 f 2 x 2 f 2 x n f n x 1 f n x 2 f n x n J x h F x h j k j k 1 n displaystyle J x frac partial f i partial x j begin pmatrix frac partial f 1 partial x 1 amp frac partial f 1 partial x 2 amp ldots amp frac partial f 1 partial x n frac partial f 2 partial x 1 amp frac partial f 2 partial x 2 amp ldots amp frac partial f 2 partial x n vdots amp vdots amp ddots amp vdots frac partial f n partial x 1 amp frac partial f n partial x 2 amp ldots amp frac partial f n partial x n end pmatrix approx tilde J x h F x h jk j k in 1 dotsc n nbsp wobei F x h j k displaystyle F x h jk nbsp zu einer gegebenen Schrittweitenmatrix h R n n displaystyle h in mathbb R n times n nbsp definiert ist durch F x h j k f j x k x falls h j k 0 f j x h j k e k f j x h j k sonst displaystyle F x h jk begin cases frac partial f j partial x k x amp text falls h jk 0 frac f j x h jk e k f j x h jk amp text sonst end cases nbsp sofern x x h j k e k D displaystyle x x h jk e k in D nbsp ist Nun ergibt sich analog zum Newtonverfahren folgende Iterationsvorschrift x n 1 x n J x n h 1 f x n displaystyle x n 1 x n tilde J x n h 1 cdot f x n nbsp Da das Losen von D x n J x n h 1 f x n displaystyle Delta x n tilde J x n h 1 f x n nbsp uber die Berechnung der Inversen einer Matrix und anschliessender Multiplikation mit f x n displaystyle f x n nbsp aufwandiger und numerisch ungunstiger ist wird stattdessen das lineare Gleichungssystem J x n h D x n f x n displaystyle tilde J x n h Delta x n f x n nbsp gelost Danach erhalt man x n 1 displaystyle x n 1 nbsp aus x n 1 x n D x n displaystyle x n 1 x n Delta x n nbsp Literatur BearbeitenMartin Hanke Bourgeois Grundlagen der numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens 1 Auflage Teubner Stuttgart 2002 ISBN 3 519 00356 2 Kapitel 18 2 Martin Hermann Numerische Mathematik Band 1 Algebraische Probleme 4 uberarbeitete und erweiterte Auflage Walter de Gruyter Verlag Berlin und Boston 2020 ISBN 978 3 11 065665 7 Weblinks BearbeitenErlauterung vom Mathe Nexus Kurzdarstellung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sekantenverfahren amp oldid 212738712