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Poynting Vektor Der S displaystyle vec S benannt nach dem britischen Physiker John Henry Poynting kennzeichnet in der El

Poynting-Vektor

Der Poynting-Vektor (benannt nach dem britischen Physiker John Henry Poynting) kennzeichnet in der Elektrodynamik (einem Teilgebiet der Physik) die Intensität und die Richtung des Energietransports durch elektromagnetische Felder. Er gibt an jedem Punkt die Flussdichte der Energie in Abhängigkeit von der dort herrschenden elektrischen Feldstärke und magnetischen Feldstärke an. Der Poynting-Vektor ist daher gleichwertig zur Flächenleistungsdichte.

Für den Poynting-Vektor gilt der Satz von Poynting, der den Energieerhaltungssatz für die Elektrodynamik ausdrückt.

Mathematische Beschreibung Bearbeiten

Der Poynting-Vektor ist ein dreikomponentiger Vektor, der in die Raumrichtung des Energieflusses zeigt. Er berechnet sich als das Kreuzprodukt aus elektrischer Feldstärke und magnetischer Feldstärke :

Im Vakuum gilt

mit der magnetischen Feldkonstanten und der magnetischen Flussdichte .

Sein Betrag entspricht

  • einerseits der Leistungsdichte (oder Intensität) des Felds (der Energie, die pro Zeitspanne durch eine Einheitsfläche senkrecht zum Poynting-Vektor hindurchtritt):
  • andererseits der Impulsdichte des Felds (der Impuls, der pro Einheitsvolumen im elektromagnetischen Feld gespeichert ist), multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit :

Der Poynting-Vektor beschreibt drei der zehn unabhängigen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors des elektromagnetischen Feldes in der Relativitätstheorie.

Betrag des Poynting-Vektors Bearbeiten

Der Betrag des Poynting-Vektors wird Leistungsdichte, Leistungsflussdichte oder Strahlungsdichte genannt und mit dem Formelzeichen bezeichnet. Ebenso bezeichnen im Folgenden die Beträge der entsprechenden vektoriellen Größen.

Hochfrequenz-Messgeräte für elektromagnetische Wellen (meist im MHz- oder GHz-Bereich), die in der Prüfung der elektromagnetischen Umweltverträglichkeit und der EMV-Messtechnik ihre Anwendung finden, messen diesen Betrag von oft in den Einheiten Mikrowatt pro Quadratmeter [µW/m²] oder Milliwatt pro Quadratzentimeter [mW/cm²].

Die nachfolgenden Betrachtungen gelten nur im sogenannten Fernfeld einer Hochfrequenz-Strahlungsquelle (Sendeantenne), denn nur im Fernfeld sind die Größen und ineinander umrechenbar. Ein Fernfeld liegt im Allgemeinen vor, wenn sich das HF-Messgerät möglichst weit (idealerweise unendlich weit) von der Sendeantenne/Strahlungsquelle befindet, mindestens aber das Vierfache der Wellenlänge . Hier ist die Lichtgeschwindigkeit. Im Nahfeld sind die drei Größen zwar mit Messgeräten, die geeignete Sensoren haben, einzeln messbar, können aber nicht ineinander umgerechnet werden.

Die Leistungsflussdichte ist im Fernfeld proportional zum Quadrat von und , die der Theorie nach fest miteinander verkoppelt sind: mit .

In der Gleichstromtechnik wird dazu die Formel zur Berechnung der Wirkleistung (Gleichstromleistung)

durch Substitution der elektrischen Spannung gegen die elektrische Feldstärke umgeformt. Der elektrische Strom wird gegen die magnetische Feldstärke ausgetauscht, der (Gleichstrom-)Widerstand wird durch den konstanten Wechselstrom-Wellenwiderstand des Vakuums ausgetauscht, der das Verhältnis von Spannung zu Strom (genauer von elektrischer Feldstärke zu magnetischer Feldstärke : ) im Feld der elektromagnetischen Welle abbildet. Man erhält nun:

Elektrische Größe (elektrische Feldstärke ) und magnetische Größe (entweder magnetische Feldstärke oder magnetische Flussdichte ) einer elektromagnetischen Welle, z. B. in einer Transversalwelle, stehen in isotropen Materialien im 90°-Winkel aufeinander. In nicht ferromagnetischen Materialien sind magnetische Flussdichte und magnetische Feldstärke proportional zueinander

Hierin sind:

Substituiert man die magnetische Feldstärke durch die magnetische Flussdichte und die absolute Permeabilität in Formel 2) mittels Formel 3) sowie und erhält man zusätzlich die folgenden Varianten dieser Gleichung:

Für das Vakuum ist , was praktisch auch für Luft unter Normalbedingungen (0 °C, 1013,25 hPa) gültig ist. Ferromagnetische Metalle oder Legierungen haben große bis sehr große Permeabilitätszahlen. Nichtmagnetische Metalle (z. B. Aluminium, Kupfer, Messing, Quecksilber) und Substanzen, also paramagnetische oder diamagnetische, haben fast immer relative Permeabilitätszahlen, die unwesentlich geringer als 1 sind.

Die Dielektrizitätszahl von Luft unter Normalbedingungen beträgt etwa , ihre Permeabilitätszahl ist nur geringfügig größer als 1. Der Wellenwiderstand der Atmosphäre ist mit ungefähr gegenüber dem Wellenwiderstand des Vakuums um gut reduziert.

Sinusquadrat-Leistungsflussdichte S(t) Bearbeiten

Gleichung 4) gilt für sinusförmige Verläufe der Größen und , entweder für die aktuellen Zeitwerte dieser Größen (in der Elektrotechnik üblicherweise als Kleinschreibung der Formelzeichen), für deren quadratische Mittelwerte (Effektivwerte) oder für deren Spitzenwerte.

Wegen der Quadrierung einer der drei Größen muss der Betrag der Leistungsflussdichte bei sinusförmigem Verlauf von und letztlich einer Sinusquadratfunktion entsprechen, wie sie auch bei der Wechselstrom-Wirkleistung eines Sinustromes oder einer Sinusspannung an konstantem Verbraucherwiderstand R auftritt. Daher sind im Falle sinusförmiger Verläufe Spitzenwert und Mittelwert der Leistungsflussdichte um den Faktor 2 verschieden: (Produkt zweier Scheitelfaktoren für Sinuskurven ist 2) und somit:

.

Bei sinusförmigem Verlauf von und verläuft also nach einer Sinusquadratfunktion, daher ist der Spitzenwert von das Zweifache des Mittelwerts. Der Spitzenwert von und ist jedoch nur das -fache des quadratischen Mittelwerts dieser drei Größen. Außerdem zeigt der zeitliche Verlauf von nur positive Werte, da die negativen Werte von und durch Quadrierung der Sinusfunktion als Sinusquadratkurve positiv werden. Dadurch hat die Sinusquadratfunktion der Leistungsflussdichte bei sinusförmigem Verlauf von und jeweils die doppelte Frequenz dieser Größen. Es gibt also keine negativen Werte der Leistungsflussdichtenfunktion , wie es auch keine negative Leistung gibt.

Da die mittlere Wirkleistung einer Sinus-Wechselspannung an konstantem Lastwiderstand das Produkt der Effektivwerte von Spannung und Strom ist, gilt dies übertragen auch für die mittlere Leistungsflussdichte , die aus dem Produkt der quadratischen Mittelwerte von elektrischer Feldstärke und magnetischer Feldstärke berechnet wird.

Beispiele Bearbeiten

TEM-Wellen Bearbeiten

Bei transversalelektromagnetischen Wellen (TEM-Wellen) ist die Leistungsdichte gegeben durch

wobei der Wellenwiderstand des Vakuums ist.

In obigen Gleichungen sind die Feldgrößen zeitabhängig gemeint.

Für den zeitlichen Mittelwert der Leistungsdichte über eine Periodendauer gilt

wobei der Effektivwert durch die Amplitude der sinusförmigen elektrischen Feldstärke gegeben ist.

Hinweis: Bei sinusförmigem Verlauf von verläuft nach einer Sinusquadrat-Funktion, daher ist der Spitzenwert von das Zweifache von dessen Mittelwert. Für , das sinusförmig verläuft, ist dessen Spitzenwert aber nur das = 1,414213562…-Fache vom quadratischen Mittelwert (Effektivwert).

In isotropen optischen Medien ist der Poynting-Vektor parallel zum Wellenvektor. In anisotropen optischen Medien, z. B. doppelbrechenden Kristallen, gilt dies im Allgemeinen nicht.

Energieausbreitung im Koaxialkabel Bearbeiten

Feldlinienbild im Koaxialkabel bei der TEM-Grundmode

Der typische Betrieb eines Koaxialleiters erfolgt bei Wellenlängen, die größer sind als der Durchmesser des Koaxialleiters. In diesem Frequenzbereich, der sich typischerweise von Gleichstrom bis in den einstelligen GHz-Bereich erstreckt, breitet sich die Energie in der Koaxialleitung als TEM-Grundmode aus. Das zugehörige Feldlinienbild sieht dann aus wie im nebenstehenden Bild.

Bei ideal leitendem Material nimmt der Poyntingvektor ausschließlich im Bereich zwischen Außen- und Innenleiter einen von null verschiedenen Wert an. Innerhalb des Innenleiters verschwindet er, weil die elektrische Feldstärke gleich null ist, außerhalb des Außenleiters verschwindet er, weil der magnetische Feldvektor gleich null ist. Denn die magnetischen Wirkungen der entgegengesetzt gleichen elektrischen Ströme in Innen- und Außenleiter heben einander auf.

Im Raum zwischen Innen- und Außenleiter stehen E- und H-Felder überall senkrecht aufeinander und der Poyntingvektor zeigt in Längsrichtung des Koaxialleiters. Das bedeutet, der Energiefluss im Koaxialleiter findet ausschließlich in diesem Zwischenraum statt, der auch ein Dielektrikum enthalten kann. Diese Aussage gilt auch für die Übertragung von elektrischer Leistung mit Gleichspannungen und -strömen.

Auch das Verhalten eines widerstandsbehafteten Leiters lässt sich im Feldmodell erklären. Die folgende Darstellung erfolgt anhand des im Bild dargestellten Koaxialleiters: Hat der Leiter einen von null verschiedenen endlichen Widerstand, so gehört zum Stromfluss entsprechend dem ohmschen Gesetz ein elektrisches Feld im Leiter. Dieses Feld zeigt im Innenleiter in Längsrichtung (x) des Leiters und ist im Mantelleiter in die entgegengesetzte Richtung (o) gerichtet. Die veränderte Feldverteilung bewirkt, dass auch im Dielektrikum das elektrische Feld eine Komponente in Längsrichtung erhält. Der zu E und H orthogonale Poyntingvektor  weist infolgedessen eine radiale Feldkomponente auf. Diese beschreibt den Übergang der Energie vom Dielektrikum ins Metall.

Poyntingvektor bei statischen Feldern Bearbeiten

Poyntingvektor in einem statischen Feld. Das elektrische Feld E zeigt radial nach innen, das Magnetfeld H senkrecht in die Zeichenebene. Der Poynting-Vektor S zeigt an jedem Punkt im Sinne einer Rotation im Uhrzeigersinn.

Statische E- und H-Felder, die nicht parallel oder antiparallel zueinander stehen, bewirken einen Energiefluss . Ein alltägliches Anwendungsbeispiel ist die Energieübertragung von der Quelle zum Verbraucher durch ein Netzwerk, das mit Gleichstrom (oder Wechselstrom genügend niedriger Frequenz) betrieben wird (siehe Absatz zum Ohmschen Widerstand im Artikel Satz von Poynting).

Der Energiefluss in statischen Feldern kann auch durch seine mechanischen Wirkungen nachgewiesen werden. Zur Veranschaulichung (siehe nebenstehendes Bild) wird ein geladener Zylinderkondensator betrachtet, der sich in einem H-Feld befindet, das z. B. das von einem Permanentmagneten erzeugt wird. Wird der Kondensator durch einen radialen Draht entladen, wirkt auf die bewegten Ladungsträger im Draht die Lorentzkraft , die im Sinne des roten Pfeils wirkt und den Zylinderkondensator (bei geeigneter Aufhängung) in Rotation versetzt. Das ist deshalb keine Verletzung des Drehimpulserhaltungssatzes, weil ein gleich großer Drehimpuls vor der Entladung im Energiefluss des statischen E- und H-Felds gespeichert war. Die Berechnung des Poyntingvektors ergibt hier einen geschlossenen kreisförmigen Fluss elektromagnetischer Energie. Der Energieflussdichte entspricht eine Impulsflussdichte , die aufgrund ihrer Kreisform auch einen Drehimpuls besitzt ( ist die Lichtgeschwindigkeit). (Anderes statisches Beispiel: s. Feynman)

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Martin H. Virnich: Baubiologische EMF-Messtechnik, Grundlagen der Feldtheorie, Praxis der Feldmesstechnik, Hüthig & Pflaum-Verlag, München/Heidelberg, 2012, ISBN 978-3-8101-0328-4, S. 66 Nr. 1
  2. Virnich, Fernfeld S. 65 u. S. 107–108
  3. Virnich, Wellenwiderstand auf S. 66
  4. Virnich, S. 66 Nr. 1
  5. Brockhaus abc Physik Band 2 Ma-Z, VEB Brockhaus-Verlag Leipzig, 1989, DDR, ISBN 3-325-00192-0, Eintrag: "Wellenwiderstand", S. 1095
  6. Virnich, S. 108
  7. Virnich, S. 107
  8. Martin H. Virnich: Baubiologische EMF-Messtechnik, Grundlagen der Feldtheorie, Praxis der Feldmesstechnik, Hüthig & Pflaum-Verlag, München/Heidelberg, 2012, ISBN 978-3-8101-0328-4, S. 95
  9. Erwin Böhmer, Dietmar Ehrhardt, Wolfgang Oberschelp: Elemente der angewandten Elektronik, Vieweg Verlag Wiesbaden, 15. Auflage 2007, Kapitel Multipliziererbaustein AD534 (Entstehung einer Sinusquadrat-Spannungskurve am Analogmultiplizierer aus einer angelegten Eingangs-Sinusspannung, Formeln und Beschreibung), S. 198
  10. K. Simonyi: Theoretische Elektrotechnik. 5. Auflage, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973, Kapitel 4.28.
  11. Richard Feynman: Vorlesungen über Physik. 2. 3. Auflage, Oldenbourg Verlag, München 2001, Kapitel 27-3 | oder englische Online-Ausgabe, Abschnitt 27-5
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Der Poynting Vektor S displaystyle vec S benannt nach dem britischen Physiker John Henry Poynting kennzeichnet in der Elektrodynamik einem Teilgebiet der Physik die Intensitat und die Richtung des Energietransports durch elektromagnetische Felder Er gibt an jedem Punkt die Flussdichte der Energie in Abhangigkeit von der dort herrschenden elektrischen Feldstarke E displaystyle vec E und magnetischen Feldstarke H displaystyle vec H an Der Poynting Vektor ist daher gleichwertig zur Flachenleistungsdichte Fur den Poynting Vektor gilt der Satz von Poynting der den Energieerhaltungssatz fur die Elektrodynamik ausdruckt Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Beschreibung 2 Betrag des Poynting Vektors 2 1 Sinusquadrat Leistungsflussdichte S t 3 Beispiele 3 1 TEM Wellen 3 2 Energieausbreitung im Koaxialkabel 3 3 Poyntingvektor bei statischen Feldern 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseMathematische Beschreibung BearbeitenDer Poynting Vektor ist ein dreikomponentiger Vektor der in die Raumrichtung des Energieflusses zeigt Er berechnet sich als das Kreuzprodukt aus elektrischer Feldstarke E displaystyle vec E nbsp und magnetischer Feldstarke H displaystyle vec H nbsp S E H displaystyle vec S vec E times vec H nbsp Im Vakuum gilt S 1 m 0 E B displaystyle vec S frac 1 mu 0 vec E times vec B nbsp mit der magnetischen Feldkonstanten m 0 displaystyle mu 0 nbsp und der magnetischen Flussdichte B displaystyle vec B nbsp Sein Betrag entspricht einerseits der Leistungsdichte oder Intensitat des Felds der Energie die pro Zeitspanne durch eine Einheitsflache senkrecht zum Poynting Vektor hindurchtritt E n e r g i e F l a c h e Z e i t L e i s t u n g F l a c h e displaystyle mathrm frac Energie Fl ddot a che cdot mathrm Zeit frac Leistung Fl ddot a che nbsp SI Einheit J m 2 s W m 2 N m s displaystyle mathrm frac J m 2 cdot s frac W m 2 frac N m cdot s nbsp dd andererseits der Impulsdichte des Felds der Impuls der pro Einheitsvolumen im elektromagnetischen Feld gespeichert ist multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit c displaystyle c nbsp I m p u l s G e s c h w i n d i g k e i t 2 V o l u m e n displaystyle mathrm frac Impuls cdot Geschwindigkeit 2 Volumen nbsp SI Einheit N s m 3 m 2 s 2 N m s displaystyle mathrm frac N cdot s m 3 cdot frac m 2 s 2 frac N m cdot s nbsp dd Der Poynting Vektor beschreibt drei der zehn unabhangigen Komponenten des Energie Impuls Tensors des elektromagnetischen Feldes in der Relativitatstheorie Betrag des Poynting Vektors BearbeitenDer Betrag S displaystyle left vec S right nbsp des Poynting Vektors S displaystyle vec S nbsp wird Leistungsdichte Leistungsflussdichte oder Strahlungsdichte 1 genannt und mit dem Formelzeichen S displaystyle S nbsp bezeichnet Ebenso bezeichnen im Folgenden E B H displaystyle E B H nbsp die Betrage der entsprechenden vektoriellen Grossen Hochfrequenz Messgerate fur elektromagnetische Wellen meist im MHz oder GHz Bereich die in der Prufung der elektromagnetischen Umweltvertraglichkeit und der EMV Messtechnik ihre Anwendung finden messen diesen Betrag von S displaystyle vec S nbsp oft in den Einheiten Mikrowatt pro Quadratmeter µW m oder Milliwatt pro Quadratzentimeter mW cm Die nachfolgenden Betrachtungen gelten nur im sogenannten Fernfeld einer Hochfrequenz Strahlungsquelle Sendeantenne 2 denn nur im Fernfeld sind die Grossen E B displaystyle vec E vec B nbsp und H displaystyle vec H nbsp ineinander umrechenbar Ein Fernfeld liegt im Allgemeinen vor wenn sich das HF Messgerat moglichst weit idealerweise unendlich weit von der Sendeantenne Strahlungsquelle befindet mindestens aber das Vierfache der Wellenlange l c f displaystyle lambda frac c f nbsp Hier ist c displaystyle c nbsp die Lichtgeschwindigkeit Im Nahfeld sind die drei Grossen zwar mit Messgeraten die geeignete Sensoren haben einzeln messbar konnen aber nicht ineinander umgerechnet werden Die Leistungsflussdichte ist im Fernfeld proportional zum Quadrat von E H displaystyle E H nbsp und B displaystyle B nbsp die der Theorie nach fest miteinander verkoppelt sind 3 Z 0 E H displaystyle Z 0 frac E H nbsp mit H B m 0 m r displaystyle H frac B mu 0 cdot mu r nbsp In der Gleichstromtechnik wird dazu die Formel zur Berechnung der Wirkleistung P displaystyle P nbsp Gleichstromleistung 1 P U I U 2 R I 2 R displaystyle P U cdot I frac U 2 R I 2 cdot R nbsp durch Substitution der elektrischen Spannung U displaystyle U nbsp gegen die elektrische Feldstarke E displaystyle E nbsp umgeformt Der elektrische Strom I displaystyle I nbsp wird gegen die magnetische Feldstarke H displaystyle H nbsp ausgetauscht der Gleichstrom Widerstand R displaystyle R nbsp wird durch den konstanten Wechselstrom Wellenwiderstand des Vakuums Z 0 displaystyle Z 0 nbsp ausgetauscht 4 der das Verhaltnis von Spannung zu Strom Z 0 U I displaystyle Z 0 frac U I nbsp 5 genauer von elektrischer Feldstarke E displaystyle E nbsp zu magnetischer Feldstarke H displaystyle H nbsp 6 Z 0 E H displaystyle Z 0 frac E H nbsp im Feld der elektromagnetischen Welle abbildet Man erhalt nun 7 2 S E H E 2 Z 0 H 2 Z 0 displaystyle S E cdot H frac E 2 Z 0 H 2 cdot Z 0 nbsp Elektrische Grosse elektrische Feldstarke E displaystyle vec E nbsp und magnetische Grosse entweder magnetische Feldstarke H displaystyle vec H nbsp oder magnetische Flussdichte B displaystyle vec B nbsp einer elektromagnetischen Welle z B in einer Transversalwelle stehen in isotropen Materialien im 90 Winkel aufeinander In nicht ferromagnetischen Materialien sind magnetische Flussdichte und magnetische Feldstarke proportional zueinander 3 H B m B m 0 m r displaystyle vec H frac vec B mu frac vec B mu 0 cdot mu r nbsp mit m m 0 m r displaystyle mu mu 0 cdot mu r nbsp Hierin sind m displaystyle mu nbsp die absolute Permeabilitat des Mediums m 0 4 p 10 7 V s A m displaystyle mu 0 approx 4 pi cdot 10 7 mathrm frac Vs Am nbsp die magnetische Feldkonstante eine Naturkonstante m r displaystyle mu r nbsp die relative Permeabilitatszahl des Mediums sie ist einheitslos Sie beschreibt die magnetische Leitfahigkeit eines Stoffes also dessen Fahigkeit Magnetfelder als magnetischen Fluss F displaystyle Phi nbsp bzw magnetische Flussdichte B displaystyle B nbsp zu leiten m r displaystyle mu r nbsp ist keine Konstante sondern eine komplizierte Funktion der magnetischen Feldstarke und der Vorgeschichte Vormagnetisierung des Materials vor Veranderung der aktuellen magnetischen Feldstarke H displaystyle vec H nbsp Substituiert man die magnetische Feldstarke H displaystyle H nbsp durch die magnetische Flussdichte B displaystyle B nbsp und die absolute Permeabilitat m displaystyle mu nbsp in Formel 2 mittels Formel 3 sowie Z 0 m 0 m r e 0 e r displaystyle Z 0 sqrt frac mu 0 cdot mu r varepsilon 0 cdot varepsilon r nbsp und c 1 e 0 e r m 0 m r displaystyle c frac 1 sqrt varepsilon 0 varepsilon r cdot mu 0 mu r nbsp erhalt man zusatzlich die folgenden Varianten dieser Gleichung 4 S E H E 2 Z 0 H 2 Z 0 E B m 0 m r B 2 m 0 m r 2 Z 0 B 2 m 0 m r 2 m 0 m r e 0 e r c m 0 m r B 2 c m B 2 displaystyle S E cdot H frac E 2 Z 0 H 2 cdot Z 0 frac E cdot B mu 0 cdot mu r frac B 2 mu 0 cdot mu r 2 cdot Z 0 frac B 2 mu 0 cdot mu r 2 cdot sqrt frac mu 0 cdot mu r varepsilon 0 cdot varepsilon r frac c mu 0 cdot mu r cdot B 2 frac c mu cdot B 2 nbsp Fur das Vakuum ist m r 1 displaystyle mu r 1 nbsp was praktisch auch fur Luft unter Normalbedingungen 0 C 1013 25 hPa gultig ist 8 Ferromagnetische Metalle oder Legierungen haben grosse bis sehr grosse Permeabilitatszahlen Nichtmagnetische Metalle z B Aluminium Kupfer Messing Quecksilber und Substanzen also paramagnetische oder diamagnetische haben fast immer relative Permeabilitatszahlen die unwesentlich geringer als 1 sind Die Dielektrizitatszahl e r displaystyle varepsilon mathrm r nbsp von Luft unter Normalbedingungen betragt etwa e r 1 000 59 displaystyle varepsilon mathrm r approx 1 00059 nbsp ihre Permeabilitatszahl m r displaystyle mu mathrm r nbsp ist nur geringfugig grosser als 1 Der Wellenwiderstand der Atmosphare ist mit ungefahr 376 62 W displaystyle 376 62 Omega nbsp gegenuber dem Wellenwiderstand des Vakuums um gut 0 1 W displaystyle 0 1 Omega nbsp reduziert Sinusquadrat Leistungsflussdichte S t Bearbeiten Gleichung 4 gilt fur sinusformige Verlaufe der Grossen E B displaystyle E B nbsp und H displaystyle H nbsp entweder fur die aktuellen Zeitwerte dieser Grossen in der Elektrotechnik ublicherweise als Kleinschreibung der Formelzeichen fur deren quadratische Mittelwerte Effektivwerte oder fur deren Spitzenwerte Wegen der Quadrierung einer der drei Grossen muss der Betrag der Leistungsflussdichte S displaystyle S nbsp bei sinusformigem Verlauf von E H displaystyle E H nbsp und B displaystyle B nbsp letztlich einer Sinusquadratfunktion entsprechen wie sie auch bei der Wechselstrom Wirkleistung eines Sinustromes oder einer Sinusspannung an konstantem Verbraucherwiderstand R auftritt Daher sind im Falle sinusformiger Verlaufe Spitzenwert und Mittelwert der Leistungsflussdichte S displaystyle S nbsp um den Faktor 2 verschieden 2 2 2 displaystyle sqrt 2 cdot sqrt 2 2 nbsp Produkt zweier Scheitelfaktoren fur Sinuskurven ist 2 und somit S 2 S e f f displaystyle hat S 2 cdot S mathrm eff nbsp Bei sinusformigem Verlauf von E H displaystyle E H nbsp und B displaystyle B nbsp verlauft also S displaystyle S nbsp nach einer Sinusquadratfunktion daher ist der Spitzenwert von S displaystyle S nbsp das Zweifache des Mittelwerts Der Spitzenwert von E H displaystyle E H nbsp und B displaystyle B nbsp ist jedoch nur das 2 displaystyle sqrt 2 nbsp fache des quadratischen Mittelwerts dieser drei Grossen Ausserdem zeigt der zeitliche Verlauf von S displaystyle S nbsp nur positive Werte da die negativen Werte von E H displaystyle E H nbsp und B displaystyle B nbsp durch Quadrierung der Sinusfunktion als Sinusquadratkurve positiv werden Dadurch hat die Sinusquadratfunktion der Leistungsflussdichte S displaystyle S nbsp bei sinusformigem Verlauf von E H displaystyle E H nbsp und B displaystyle B nbsp jeweils die doppelte Frequenz dieser Grossen Es gibt also keine negativen Werte der Leistungsflussdichtenfunktion S t displaystyle S t nbsp wie es auch keine negative Leistung gibt 9 Da die mittlere Wirkleistung P displaystyle P nbsp einer Sinus Wechselspannung an konstantem Lastwiderstand das Produkt der Effektivwerte von Spannung U displaystyle U nbsp und Strom I displaystyle I nbsp ist gilt dies ubertragen auch fur die mittlere Leistungsflussdichte S displaystyle S nbsp die aus dem Produkt der quadratischen Mittelwerte von elektrischer Feldstarke E displaystyle E nbsp und magnetischer Feldstarke H displaystyle H nbsp berechnet wird Beispiele BearbeitenTEM Wellen Bearbeiten Bei transversalelektromagnetischen Wellen TEM Wellen ist die Leistungsdichte gegeben durch S E 2 Z 0 displaystyle S frac E 2 Z 0 nbsp wobei Z 0 displaystyle Z 0 nbsp der Wellenwiderstand des Vakuums Z 0 m 0 e 0 m 0 c 0 376 73 W textstyle left Z 0 sqrt frac mu 0 varepsilon 0 mu 0 c 0 approx 376 73 Omega right nbsp ist In obigen Gleichungen sind die Feldgrossen zeitabhangig gemeint Fur den zeitlichen Mittelwert S displaystyle overline S nbsp der Leistungsdichte uber eine Periodendauer T displaystyle textstyle T nbsp gilt S E eff 2 Z 0 E 2 2 Z 0 displaystyle overline left vec S right frac E text eff 2 Z 0 frac hat E 2 2 cdot Z 0 nbsp wobei der Effektivwert E eff E 2 textstyle E text eff frac hat E sqrt 2 nbsp durch die Amplitude E displaystyle hat E nbsp der sinusformigen elektrischen Feldstarke gegeben ist Hinweis Bei sinusformigem Verlauf von E displaystyle E nbsp verlauft S displaystyle S nbsp nach einer Sinusquadrat Funktion daher ist der Spitzenwert von S displaystyle S nbsp das Zweifache von dessen Mittelwert Fur E displaystyle E nbsp das sinusformig verlauft ist dessen Spitzenwert aber nur das 2 displaystyle sqrt 2 nbsp 1 414213562 Fache vom quadratischen Mittelwert Effektivwert In isotropen optischen Medien ist der Poynting Vektor parallel zum Wellenvektor In anisotropen optischen Medien z B doppelbrechenden Kristallen gilt dies im Allgemeinen nicht Energieausbreitung im Koaxialkabel Bearbeiten nbsp Feldlinienbild im Koaxialkabel bei der TEM GrundmodeDer typische Betrieb eines Koaxialleiters erfolgt bei Wellenlangen die grosser sind als der Durchmesser des Koaxialleiters 10 In diesem Frequenzbereich der sich typischerweise von Gleichstrom bis in den einstelligen GHz Bereich erstreckt breitet sich die Energie in der Koaxialleitung als TEM Grundmode aus Das zugehorige Feldlinienbild sieht dann aus wie im nebenstehenden Bild Bei ideal leitendem Material nimmt der Poyntingvektor ausschliesslich im Bereich zwischen Aussen und Innenleiter einen von null verschiedenen Wert an Innerhalb des Innenleiters verschwindet er weil die elektrische Feldstarke gleich null ist ausserhalb des Aussenleiters verschwindet er weil der magnetische Feldvektor gleich null ist Denn die magnetischen Wirkungen der entgegengesetzt gleichen elektrischen Strome in Innen und Aussenleiter heben einander auf Im Raum zwischen Innen und Aussenleiter stehen E und H Felder uberall senkrecht aufeinander und der Poyntingvektor zeigt in Langsrichtung des Koaxialleiters Das bedeutet der Energiefluss im Koaxialleiter findet ausschliesslich in diesem Zwischenraum statt der auch ein Dielektrikum enthalten kann Diese Aussage gilt auch fur die Ubertragung von elektrischer Leistung mit Gleichspannungen und stromen Auch das Verhalten eines widerstandsbehafteten Leiters lasst sich im Feldmodell erklaren Die folgende Darstellung erfolgt anhand des im Bild dargestellten Koaxialleiters Hat der Leiter einen von null verschiedenen endlichen Widerstand so gehort zum Stromfluss entsprechend dem ohmschen Gesetz ein elektrisches Feld im Leiter Dieses Feld zeigt im Innenleiter in Langsrichtung x des Leiters und ist im Mantelleiter in die entgegengesetzte Richtung o gerichtet Die veranderte Feldverteilung bewirkt dass auch im Dielektrikum das elektrische Feld eine Komponente in Langsrichtung erhalt Der zu E und H orthogonale Poyntingvektor S displaystyle S nbsp weist infolgedessen eine radiale Feldkomponente auf Diese beschreibt den Ubergang der Energie vom Dielektrikum ins Metall Poyntingvektor bei statischen Feldern Bearbeiten nbsp Poyntingvektor in einem statischen Feld Das elektrische Feld E zeigt radial nach innen das Magnetfeld H senkrecht in die Zeichenebene Der Poynting Vektor S zeigt an jedem Punkt im Sinne einer Rotation im Uhrzeigersinn Statische E und H Felder die nicht parallel oder antiparallel zueinander stehen bewirken einen Energiefluss S E H displaystyle vec S vec E times vec H nbsp Ein alltagliches Anwendungsbeispiel ist die Energieubertragung von der Quelle zum Verbraucher durch ein Netzwerk das mit Gleichstrom oder Wechselstrom genugend niedriger Frequenz betrieben wird siehe Absatz zum Ohmschen Widerstand im Artikel Satz von Poynting Der Energiefluss in statischen Feldern kann auch durch seine mechanischen Wirkungen nachgewiesen werden Zur Veranschaulichung siehe nebenstehendes Bild wird ein geladener Zylinderkondensator betrachtet der sich in einem H Feld befindet das z B das von einem Permanentmagneten erzeugt wird Wird der Kondensator durch einen radialen Draht entladen wirkt auf die bewegten Ladungstrager im Draht die Lorentzkraft q v B displaystyle q cdot vec v times vec B nbsp die im Sinne des roten Pfeils wirkt und den Zylinderkondensator bei geeigneter Aufhangung in Rotation versetzt Das ist deshalb keine Verletzung des Drehimpulserhaltungssatzes weil ein gleich grosser Drehimpuls vor der Entladung im Energiefluss des statischen E und H Felds gespeichert war Die Berechnung des Poyntingvektors ergibt hier einen geschlossenen kreisformigen Fluss elektromagnetischer Energie Der Energieflussdichte S displaystyle S nbsp entspricht eine Impulsflussdichte S c displaystyle S c nbsp die aufgrund ihrer Kreisform auch einen Drehimpuls besitzt c displaystyle c nbsp ist die Lichtgeschwindigkeit Anderes statisches Beispiel s Feynman 11 Siehe auch BearbeitenBestrahlungsstarkeEinzelnachweise Bearbeiten Martin H Virnich Baubiologische EMF Messtechnik Grundlagen der Feldtheorie Praxis der Feldmesstechnik Huthig amp Pflaum Verlag Munchen Heidelberg 2012 ISBN 978 3 8101 0328 4 S 66 Nr 1 Virnich Fernfeld S 65 u S 107 108 Virnich Wellenwiderstand Z 0 displaystyle Z 0 nbsp auf S 66 Virnich S 66 Nr 1 Brockhaus abc Physik Band 2 Ma Z VEB Brockhaus Verlag Leipzig 1989 DDR ISBN 3 325 00192 0 Eintrag Wellenwiderstand S 1095 Virnich S 108 Virnich S 107 Martin H Virnich Baubiologische EMF Messtechnik Grundlagen der Feldtheorie Praxis der Feldmesstechnik Huthig amp Pflaum Verlag Munchen Heidelberg 2012 ISBN 978 3 8101 0328 4 S 95 Erwin Bohmer Dietmar Ehrhardt Wolfgang Oberschelp Elemente der angewandten Elektronik Vieweg Verlag Wiesbaden 15 Auflage 2007 Kapitel Multipliziererbaustein AD534 Entstehung einer Sinusquadrat Spannungskurve am Analogmultiplizierer aus einer angelegten Eingangs Sinusspannung Formeln und Beschreibung S 198 K Simonyi Theoretische Elektrotechnik 5 Auflage VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1973 Kapitel 4 28 Richard Feynman Vorlesungen uber Physik 2 3 Auflage Oldenbourg Verlag Munchen 2001 Kapitel 27 3 oder englische Online Ausgabe Abschnitt 27 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Poynting Vektor amp oldid 231757615