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Satz von Poynting Der auch Poynting Theorem genannt beschreibt die Energiebilanz in der Elektrodynamik Damit wird der En

Satz von Poynting

Der Satz von Poynting (auch Poynting-Theorem genannt) beschreibt die Energiebilanz in der Elektrodynamik. Damit wird der Energieerhaltungssatz auf elektromagnetische Felder verallgemeinert. Seine Formulierung wird dem britischen Physiker John Henry Poynting zugeschrieben. Stark vereinfacht trägt er in sich die Aussage, dass ein elektromagnetisches Feld Arbeit verrichten kann, wenn es dabei „schwächer“ wird. Mathematisch kann er, wie auch die Maxwellschen Gleichungen, sowohl in einer differenziellen als auch in einer integralen Schreibweise angegeben werden.

Formulierung Bearbeiten

In der differentiellen Form lautet der Satz von Poynting

Dabei bezeichnen:

In der integralen Form lautet er, nachdem die Volumentintegration über die Divergenz des Poynting-Vektors mithilfe des Satzes von Gauß in ein Oberflächenintegral überführt wurde:

Herleitung Bearbeiten

Ausgangspunkt ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes

Im Folgenden sei ein lineares und isotropes Medium angenommen, sodass die Zusammenhänge und gelten. Dann vereinfacht sich die Energiedichte zu

wobei die Lichtgeschwindigkeit im Medium ist. Die zeitliche Änderung der Energiedichte ist somit

Nach den Maxwell-Gleichungen gilt (Durchflutungsgesetz) und (Induktionsgesetz). In die obige Gleichung eingesetzt ergibt sich

und mithilfe der Vektoridentität folgt

Durch und der Definition des Poynting-Vektors folgt der Satz von Poynting.

Interpretation Bearbeiten

Der Satz von Poynting besagt, dass die Änderung der Energie in elektromagnetischen Feldern in einem Volumen , , auf zwei Arten geschehen kann: zum einen durch einen Energiestrom über die Grenzen dieses Volumens hinweg, was durch den Divergenz- beziehungsweise Flächenintegral-Term ausgedrückt wird; zum anderen durch das Verrichten von Arbeit, ausgedrückt durch den Term . Letzterer Beitrag wird auch Joulesche Wärme genannt. Dieser Term kann mithilfe des Leistungssatzes wie folgt umformuliert werden:

Hierbei wurde die Stromdichte als Produkt der Ladungsdichte und der Geschwindigkeit ausgedrückt, die Ladungsdichte zur Gesamtladung aufintegriert, das Coulombsche Gesetz angewandt, um die Kraft auf eine Ladung zu bestimmen, und schließlich der Leistungssatz angewandt, der Kraft und Geschwindigkeit mit der Leistung verknüpft.

Eindeutigkeit des Poynting-Vektors Bearbeiten

Da nur die Divergenz von relevant ist, könnte prinzipiell auch die Rotation einer beliebigen Funktion zu ihm hinzugefügt werden, da sie unter der Einwirkung der Divergenz verschwindet. Es gibt also formal unendlich viele vektorwertige Funktionen , die den Satz von Poynting erfüllen, aber nur lässt sich aus den Maxwell-Gleichungen gewinnen und ist damit physikalisch sinnvoll. Eine physikalische Interpretation eines so modifizierten als Leistungsfluss ist dann allerdings nicht mehr möglich.

Beispiel: Ohmscher Widerstand Bearbeiten

Betrachtet man einen zylindrischen Leiter mit Radius und Länge , der vom zeitlich konstanten Strom durchflossen wird, wobei über die Länge des Leiters die Spannung proportional zur Länge abfällt. Der Leiter ist also ein Ohmscher Widerstand. Die Oberfläche, auf der der Poynting-Vektor, also die elektrische und magnetische Feldstärke betrachtet wird, ist die Mantelfläche des Zylinders.

Für den Betrag der elektrischen Feldstärke kann näherungsweise wie bei einem Plattenkondensator verwendet werden.

Die magnetische Feldstärke auf der Mantelfläche ist die eines stromdurchflossenen Leiters, .

Die Orientierung der elektrischen Feldstärke folgt der Länge des Zylinders, die magnetische Feldstärke dem Umfang. Sie stehen also immer senkrecht aufeinander und liegen in der betrachteten Fläche.

Der Betrag des Poynting-Vektors lautet

Die Richtung des Vektors zeigt in den Leiter hinein.

Integriert man den Poynting-Vektor über die Mantelfläche, erhält man die umgesetzte Leistung:

Das negative Vorzeichen trägt der Orientierung einer geschlossenen Fläche Rechnung, die immer nach außen ist.

Die gleichen Betrachtungen kann man anhand einer Batterie durchführen, mit einem Ergebnis, das sich nur im Vorzeichen der Leistung unterscheidet. Hieran kann man also den Energiestrom für einen einfachen Stromkreis aus Widerstand und Batterie erklären. Die Batterie gibt die in ihr gespeicherte chemische Energie in alle Raumrichtungen in die entstehenden elektrischen und magnetischen Felder ab (nur nicht in die stromführenden Leitungen) und der Widerstand nimmt sie gleichsam aus allen Richtungen auf und setzt diese dann z. B. in thermische Energie um. Eine Batterie ist also eine Quelle elektrischer Energie (die in den Feldern gespeichert ist), der Widerstand eine Senke.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 4., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4
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Der Satz von Poynting auch Poynting Theorem genannt beschreibt die Energiebilanz in der Elektrodynamik Damit wird der Energieerhaltungssatz auf elektromagnetische Felder verallgemeinert Seine Formulierung wird dem britischen Physiker John Henry Poynting zugeschrieben Stark vereinfacht tragt er in sich die Aussage dass ein elektromagnetisches Feld Arbeit verrichten kann wenn es dabei schwacher wird Mathematisch kann er wie auch die Maxwellschen Gleichungen sowohl in einer differenziellen als auch in einer integralen Schreibweise angegeben werden Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Herleitung 3 Interpretation 4 Eindeutigkeit des Poynting Vektors 5 Beispiel Ohmscher Widerstand 6 Siehe auch 7 LiteraturFormulierung BearbeitenIn der differentiellen Form lautet der Satz von Poynting u t S j E displaystyle frac partial u partial t vec nabla cdot vec S vec j cdot vec E nbsp Dabei bezeichnen u 1 2 E D B H displaystyle u tfrac 1 2 vec E cdot vec D vec B cdot vec H nbsp die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes S E H displaystyle vec S vec E times vec H nbsp den Poynting Vektor j displaystyle vec j nbsp die elektrische Stromdichte E H displaystyle vec E vec H nbsp die elektrische beziehungsweise magnetische Feldstarke und D B displaystyle vec D vec B nbsp die elektrische beziehungsweise magnetische Flussdichte In der integralen Form lautet er nachdem die Volumentintegration uber die Divergenz des Poynting Vektors mithilfe des Satzes von Gauss in ein Oberflachenintegral uberfuhrt wurde t d V u d A S d V j E displaystyle frac partial partial t int mathrm d V u int mathrm d vec A cdot vec S int mathrm d V vec j cdot vec E nbsp Herleitung BearbeitenAusgangspunkt ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes u 1 2 B H D E displaystyle u frac 1 2 vec B cdot vec H vec D cdot vec E nbsp Im Folgenden sei ein lineares und isotropes Medium angenommen sodass die Zusammenhange B m H displaystyle vec B mu vec H nbsp und D e E displaystyle vec D varepsilon vec E nbsp gelten Dann vereinfacht sich die Energiedichte zu u 1 2 m B 2 c 2 E 2 displaystyle u frac 1 2 mu vec B 2 c 2 vec E 2 nbsp wobei c 1 m e displaystyle c 1 sqrt mu varepsilon nbsp die Lichtgeschwindigkeit im Medium ist Die zeitliche Anderung der Energiedichte ist somit u t 1 m B B t c 2 E E t displaystyle frac partial u partial t frac 1 mu left vec B cdot frac partial vec B partial t c 2 vec E cdot frac partial E partial t right nbsp Nach den Maxwell Gleichungen gilt E t c 2 B m c 2 j displaystyle textstyle frac partial vec E partial t c 2 vec nabla times vec B mu c 2 vec j nbsp Durchflutungsgesetz und B t E displaystyle textstyle frac partial vec B partial t vec nabla times vec E nbsp Induktionsgesetz In die obige Gleichung eingesetzt ergibt sich u t 1 m B E E B j E displaystyle frac partial u partial t frac 1 mu left vec B cdot vec nabla times vec E vec E cdot vec nabla times vec B right vec j cdot vec E nbsp und mithilfe der Vektoridentitat E B B E E B displaystyle vec nabla cdot vec E times vec B vec B cdot vec nabla times vec E vec E cdot vec nabla times vec B nbsp folgt u t 1 m E B j E displaystyle frac partial u partial t frac 1 mu vec nabla vec E times vec B vec j cdot vec E nbsp Durch B m H displaystyle vec B mu vec H nbsp und der Definition des Poynting Vektors S E H displaystyle vec S vec E times vec H nbsp folgt der Satz von Poynting Interpretation BearbeitenDer Satz von Poynting besagt dass die Anderung der Energie in elektromagnetischen Feldern in einem Volumen V displaystyle V nbsp t d V u displaystyle textstyle frac partial partial t int mathrm d V u nbsp auf zwei Arten geschehen kann zum einen durch einen Energiestrom uber die Grenzen dieses Volumens hinweg was durch den Divergenz beziehungsweise Flachenintegral Term d A S displaystyle textstyle int mathrm d vec A cdot vec S nbsp ausgedruckt wird zum anderen durch das Verrichten von Arbeit ausgedruckt durch den Term d V j E displaystyle textstyle int mathrm d V vec j cdot vec E nbsp Letzterer Beitrag wird auch Joulesche Warme genannt Dieser Term kann mithilfe des Leistungssatzes wie folgt umformuliert werden d V j E d V v r E v Q E v F P displaystyle int mathrm d V vec j cdot vec E int mathrm d V vec v cdot rho vec E vec v cdot Q vec E vec v cdot vec F P nbsp Hierbei wurde die Stromdichte als Produkt der Ladungsdichte r displaystyle rho nbsp und der Geschwindigkeit v displaystyle vec v nbsp ausgedruckt die Ladungsdichte zur Gesamtladung Q displaystyle Q nbsp aufintegriert das Coulombsche Gesetz angewandt um die Kraft F displaystyle vec F nbsp auf eine Ladung zu bestimmen und schliesslich der Leistungssatz angewandt der Kraft und Geschwindigkeit mit der Leistung P displaystyle P nbsp verknupft Eindeutigkeit des Poynting Vektors BearbeitenDa nur die Divergenz von S displaystyle vec S nbsp relevant ist konnte prinzipiell auch die Rotation f displaystyle vec nabla times vec f nbsp einer beliebigen Funktion f displaystyle vec f nbsp zu ihm hinzugefugt werden da sie unter der Einwirkung der Divergenz verschwindet Es gibt also formal unendlich viele vektorwertige Funktionen S S f displaystyle vec S vec S vec nabla times vec f nbsp die den Satz von Poynting erfullen aber nur S E H displaystyle vec S vec E times vec H nbsp lasst sich aus den Maxwell Gleichungen gewinnen und ist damit physikalisch sinnvoll Eine physikalische Interpretation eines so modifizierten S displaystyle vec S nbsp als Leistungsfluss ist dann allerdings nicht mehr moglich Beispiel Ohmscher Widerstand BearbeitenBetrachtet man einen zylindrischen Leiter mit Radius R displaystyle R nbsp und Lange l displaystyle l nbsp der vom zeitlich konstanten Strom I displaystyle I nbsp durchflossen wird wobei uber die Lange des Leiters die Spannung U displaystyle U nbsp proportional zur Lange abfallt Der Leiter ist also ein Ohmscher Widerstand Die Oberflache auf der der Poynting Vektor also die elektrische und magnetische Feldstarke betrachtet wird ist die Mantelflache M displaystyle M nbsp des Zylinders Fur den Betrag der elektrischen Feldstarke kann naherungsweise E U l displaystyle left vec E right frac U l nbsp wie bei einem Plattenkondensator verwendet werden Die magnetische Feldstarke auf der Mantelflache ist die eines stromdurchflossenen Leiters H I 2 p R displaystyle left vec H right frac I 2 pi R nbsp Die Orientierung der elektrischen Feldstarke folgt der Lange des Zylinders die magnetische Feldstarke dem Umfang Sie stehen also immer senkrecht aufeinander und liegen in der betrachteten Flache Der Betrag des Poynting Vektors lautet S E H U I 2 p R l displaystyle left vec S right left vec E times vec H right frac U cdot I 2 pi Rl nbsp Die Richtung des Vektors zeigt in den Leiter hinein Integriert man den Poynting Vektor uber die Mantelflache erhalt man die umgesetzte Leistung P M S d A U I 2 p R l 2 p R l U I displaystyle P oint M vec S cdot mathrm d vec A frac U cdot I 2 pi Rl cdot 2 pi Rl U cdot I nbsp Das negative Vorzeichen tragt der Orientierung einer geschlossenen Flache Rechnung die immer nach aussen ist Die gleichen Betrachtungen kann man anhand einer Batterie durchfuhren mit einem Ergebnis das sich nur im Vorzeichen der Leistung unterscheidet Hieran kann man also den Energiestrom fur einen einfachen Stromkreis aus Widerstand und Batterie erklaren Die Batterie gibt die in ihr gespeicherte chemische Energie in alle Raumrichtungen in die entstehenden elektrischen und magnetischen Felder ab nur nicht in die stromfuhrenden Leitungen und der Widerstand nimmt sie gleichsam aus allen Richtungen auf und setzt diese dann z B in thermische Energie um Eine Batterie ist also eine Quelle elektrischer Energie die in den Feldern gespeichert ist der Widerstand eine Senke Siehe auch BearbeitenPoynting VektorLiteratur BearbeitenJohn David Jackson Klassische Elektrodynamik 4 uberarbeitete Auflage de Gruyter Berlin 2006 ISBN 3 11 018970 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Poynting amp oldid 235372684