In der Mathematik erfullt eine bilineare Abbildung F V V V displaystyle F colon V times V rightarrow V auf dem Vektorraum V displaystyle V die Jacobi Identitat nach Carl Jacobi falls gilt F F x y z F F y z x F F z x y 0 displaystyle F F x y z F F y z x F F z x y 0 fur alle x y z V displaystyle x y z in V Ist die bilineare Abbildung zusatzlich antisymmetrisch so handelt es sich um eine Lie Klammer Wichtige Beispiele sind der Kommutator linearer Abbildungen das Vektorprodukt und die Poisson Klammer Andere Schreibweisen BearbeitenEs sei im Folgenden V V V x y x y displaystyle cdot cdot colon V times V to V quad x y mapsto x y nbsp dd eine alternierende bilineare Abbildung Die Jacobi Identitat ist dann aquivalent dazu dass diese Abbildung die Struktur einer Lie Algebra auf V displaystyle V nbsp definiert Dann kann die Jacobi Identitat auf folgende Arten umgeschrieben werden x a b x a b a x b displaystyle x a b x a b a x b nbsp Anders gesagt die Abbildunga x a displaystyle a mapsto x a nbsp dd ist eine Derivation bezuglich des Produktes displaystyle cdot cdot nbsp a b x a b x b a x displaystyle a b x a b x b a x nbsp Anders gesagt Mit der Notationad a V V x ad a x a x displaystyle operatorname ad a colon V to V quad x mapsto operatorname ad a x a x nbsp dd giltad a b ad a ad b displaystyle operatorname ad a b operatorname ad a operatorname ad b nbsp dd dabei ist die Klammer auf der rechten Seite der Kommutator in der Endomorphismenalgebra von V displaystyle V nbsp Anders gesagt Die Abbildungad V g l V End V a ad a displaystyle operatorname ad colon V to mathfrak gl V operatorname End V quad a mapsto operatorname ad a nbsp dd ist eine Darstellung der Lie Algebra V displaystyle V nbsp auf sich selbst Sie heisst die adjungierte Darstellung Quellen BearbeitenJacobi Identitat In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 978 3 8274 0439 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Jacobi Identitat amp oldid 212438337
