Die Poisson Klammer benannt nach Simeon Denis Poisson ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen hamiltonschen Mechanik Sie ist ein Beispiel fur eine Lie Klammer also fur eine Multiplikation in einer Lie Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Fundamentale Poisson Klammern 3 Anwendung 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Poisson Klammer ist definiert als f g k 1 s f q k g p k f p k g q k displaystyle left f g right sum k 1 s left frac partial f partial q k frac partial g partial p k frac partial f partial p k frac partial g partial q k right nbsp mit f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp Funktionen der generalisierten Koordinaten q k displaystyle q k nbsp und der kanonisch konjugierten Impulse p k displaystyle p k nbsp s displaystyle s nbsp Anzahl der Freiheitsgrade Allgemein kann die Poisson Klammer auch fur Funktionen F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp definiert werden die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhangen Zur Verdeutlichung auf welche Variablen sich die Poisson Klammer beziehen soll werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben F G a b k 1 s F a k G b k F b k G a k displaystyle F G ab sum k 1 s left frac partial F partial a k frac partial G partial b k frac partial F partial b k frac partial G partial a k right nbsp Eigenschaften BearbeitenBilinearitat c 1 f 1 c 2 f 2 g c 1 f 1 g c 2 f 2 g displaystyle c 1 f 1 c 2 f 2 g c 1 f 1 g c 2 f 2 g nbsp Antisymmetrie f g g f displaystyle f g g f nbsp insbesondere f f 0 displaystyle f f 0 nbsp Produktregel f g h f g h g f h displaystyle f gh f g h g f h nbsp Jacobi Identitat f g h h f g g h f 0 displaystyle f g h h f g g h f 0 nbsp InvarianzPhysikalisch liegt es nahe anzunehmen dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhangen sollte damit sollten auch die Poisson Klammern unabhangig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein Seien q p displaystyle mathbf q mathbf p nbsp und Q P displaystyle mathbf Q mathbf P nbsp zwei verschiedene Satze von Koordinaten die durch kanonische Transformationen transformiert werden so gilt f g q p f g Q P f g displaystyle f g mathbf qp f g mathbf QP f g nbsp dd Der Beweis ist langlich sodass wir ihn hier auslassen Fundamentale Poisson Klammern Bearbeiten Fur die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson Klammern q k q l 0 displaystyle left q k q l right 0 nbsp p k p l 0 displaystyle left p k p l right 0 nbsp q k p l d k l displaystyle left q k p l right delta kl nbsp Kronecker Delta Sie folgen aus den trivialen Beziehungen q k q l d k l p k q l 0 q k p l 0 p k p l d k l displaystyle begin alignedat 2 amp frac partial q k partial q l delta kl quad amp amp frac partial p k partial q l 0 amp frac partial q k partial p l 0 quad amp amp frac partial p k partial p l delta kl end alignedat nbsp Anwendung BearbeitenMithilfe der Poisson Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen f q k p k t displaystyle f q k p k t nbsp eines Hamiltonschen Systems H q k p k displaystyle H q k p k nbsp ausgedruckt werden Hamiltonsche Bewegungsgleichungen d f d t f H f t displaystyle frac mathrm d f mathrm d t f H frac partial f partial t nbsp dd Dual zur Bewegungsgleichung der Observablen ist die Liouville Gleichung die die Dynamik der Verteilungsdichte in der statistischen Mechanik beschreibt r H r displaystyle dot rho H rho nbsp dd In der Quantenmechanik wird im Rahmen der kanonischen Quantisierung die Poisson Klammer ersetzt durch i ℏ displaystyle textstyle left frac rm i hbar right nbsp mal den Kommutator 1 H f i ℏ H f displaystyle H f rightarrow frac i hbar hat H hat f nbsp dd Ausserdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt Die oben angefuhrte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen fuhrt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator H displaystyle hat H nbsp im Heisenberg Bild Diese Bewegungsgleichung heisst Heisenbergsche Bewegungsgleichung Die Liouville Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von Neumann schen Bewegungsgleichung Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie Algebra Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit symplektischer Form die in lokalen Koordinaten gegeben ist durch w i j w i j d x i d x j displaystyle textstyle omega sum ij omega ij mathrm d x i wedge mathrm d x j nbsp die Poisson Klammer der Funktionen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp durch f g i j w i j i f j g displaystyle f g sum ij omega ij partial i f partial j g nbsp Koordinatenunabhangig lasst sich die Poisson Klammer wie folgt darstellen es sei J T M T M displaystyle J T M rightarrow TM nbsp der durch J 1 v w w v w displaystyle J 1 v w omega v w nbsp beschriebene Isomorphismus Weiter sei fur eine Funktion f displaystyle f nbsp das Vektorfeld X f displaystyle X f nbsp definiert als J d f displaystyle J mathrm d f nbsp Damit gilt dann f g w X f X g displaystyle f g omega X f X g nbsp Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Poisson Bracket In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Hong Tao Zhang A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software arxiv quant ph 0204081 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Poisson Klammer amp oldid 220689034
