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Liouville Gleichung Die nach Joseph Liouville ist eine Differentialgleichung für die zeitliche Entwicklung von Ensembles

Liouville-Gleichung

Die Liouville-Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Differentialgleichung für die zeitliche Entwicklung von Ensembles physikalischer Systeme. Die Gleichung gehört in den Bereich der klassischen statistischen Mechanik, es gibt aber auch ein Analogon in der Quantenmechanik. Die Gleichung der Quantenmechanik ist die Von-Neumann-Gleichung.

Die Liouville-Gleichung der klassischen statistischen Mechanik ist eng verwandt mit dem Satz von Liouville und daraus herleitbar.

Liouville-Gleichung der klassischen statistischen Mechanik Bearbeiten

In der statistischen Physik beschreibt man ein Ensemble von Instanzen eines physikalischen Systems durch die Wahrscheinlichkeitsdichte der Systempunkte der System-Instanzen im Phasenraum (Phasenraumdichte). Hierbei steht für die Zeit, und und sind die kanonischen Koordinaten und Impulse des Systems. Die Liouville-Gleichung

liefert die Änderung der Wahrscheinlichkeitsdichte an einer gegebenen Stelle im Phasenraum als Funktion der Zeit. Da der Fluss der Systempunkte im Phasenraum entsprechend den hamiltonschen Bewegungsgleichungen durch das Vektorfeld gegeben ist, schreibt man die Liouville-Gleichung gewöhnlich in der Form

Die geschweifte Klammer ist dabei eine Poisson-Klammer, ist die Hamilton-Funktion des Systems.

Bei Einführung des Liouvilleoperators

ergibt sich eine dritte Schreibweise

Herleitung aus dem Satz von Liouville Bearbeiten

Der Satz von Liouville besagt, dass das Volumen einer beliebigen Phasenraumzelle im Verlauf der Zeit konstant ist, d. h. der Fluss durch den Phasenraum ist volumen- und sogar orientierungserhaltend. Die Liouville-Gleichung gilt genau dann, wenn die totale Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte nach der Zeit verschwindet,

d. h. wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte entlang einer Phasenraumtrajektorie konstant ist. Es ist aber die Zahl der Systempunkte, welche im Phasenraum eine sich bewegende Zelle definieren, konstant. Die totale Ableitung verschwindet daher genau dann, wenn auch das Volumen der Zelle konstant ist.

Quantenmechanische Gleichung Bearbeiten

Die quantenmechanische Form der Liouville-Gleichung wird auch Von-Neumann-Gleichung genannt:

Hier bezeichnet

Wie im Fall der klassischen Mechanik kann man formal einen Liouville-Operator einführen, definiert durch seine Wirkung auf einen Operator :

Damit schreibt sich die Von-Neumann-Gleichung:

Mit Hilfe des Wigner-Bildes kann im semiklassischen Grenzfall eine direkte Beziehung zwischen dem Hamilton-Operator und der klassischen Poisson-Klammer hergeleitet werden:

Literatur Bearbeiten

  • Franz Schwabl: Statistische Mechanik. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20360-5.
  • Harald J.W. Müller-Kirsten: Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral. 2. Auflage. World Scientific, Singapur 2012, ISBN 978-981-4397-73-5, S. 29–40.
  • Harald J.W. Müller-Kirsten: Basics of Statistical Physics. 2. Auflage. World Scientific, Singapur 2013, ISBN 978-981-4449-53-3, Kapitel 3.
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Die Liouville Gleichung nach Joseph Liouville ist eine Differentialgleichung fur die zeitliche Entwicklung von Ensembles physikalischer Systeme Die Gleichung gehort in den Bereich der klassischen statistischen Mechanik es gibt aber auch ein Analogon in der Quantenmechanik Die Gleichung der Quantenmechanik ist die Von Neumann Gleichung Die Liouville Gleichung der klassischen statistischen Mechanik ist eng verwandt mit dem Satz von Liouville und daraus herleitbar Inhaltsverzeichnis 1 Liouville Gleichung der klassischen statistischen Mechanik 1 1 Herleitung aus dem Satz von Liouville 2 Quantenmechanische Gleichung 3 LiteraturLiouville Gleichung der klassischen statistischen Mechanik BearbeitenIn der statistischen Physik beschreibt man ein Ensemble von Instanzen eines physikalischen Systems durch die Wahrscheinlichkeitsdichte r q i p i t displaystyle rho left q i p i t right nbsp der Systempunkte der System Instanzen im Phasenraum Phasenraumdichte Hierbei steht t displaystyle t nbsp fur die Zeit und q i displaystyle q i nbsp und p i displaystyle p i nbsp sind die N displaystyle N nbsp kanonischen Koordinaten und Impulse des Systems Die Liouville Gleichung r t i 1 N r q i q i r p i p i displaystyle frac partial rho partial t sum i 1 N left frac partial rho partial q i dot q i frac partial rho partial p i dot p i right nbsp liefert die Anderung der Wahrscheinlichkeitsdichte an einer gegebenen Stelle im Phasenraum als Funktion der Zeit Da der Fluss der Systempunkte im Phasenraum entsprechend den hamiltonschen Bewegungsgleichungen durch das Vektorfeld q i p i H p i H q i displaystyle left dot q i dot p i right left partial H partial p i partial H partial q i right nbsp gegeben ist schreibt man die Liouville Gleichung gewohnlich in der Form r t i 1 N r q i H p i r p i H q i H r displaystyle frac partial rho partial t sum i 1 N left frac partial rho partial q i frac partial H partial p i frac partial rho partial p i frac partial H partial q i right left H rho right nbsp Die geschweifte Klammer displaystyle nbsp ist dabei eine Poisson Klammer H displaystyle H nbsp ist die Hamilton Funktion des Systems Bei Einfuhrung des Liouvilleoperators L i 1 n H p i q i H q i p i H displaystyle L sum i 1 n left frac partial H partial p i frac partial partial q i frac partial H partial q i frac partial partial p i right cdot H nbsp ergibt sich eine dritte Schreibweise r t L r displaystyle frac partial rho partial t L rho nbsp Herleitung aus dem Satz von Liouville Bearbeiten Der Satz von Liouville besagt dass das Volumen einer beliebigen Phasenraumzelle im Verlauf der Zeit konstant ist d h der Fluss durch den Phasenraum ist volumen und sogar orientierungserhaltend Die Liouville Gleichung gilt genau dann wenn die totale Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte nach der Zeit verschwindet d r d t r t i 1 N r q i q i r p i p i 0 displaystyle frac d rho dt frac partial rho partial t sum i 1 N left frac partial rho partial q i dot q i frac partial rho partial p i dot p i right 0 nbsp d h wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte r displaystyle rho nbsp entlang einer Phasenraumtrajektorie konstant ist Es ist aber die Zahl der Systempunkte welche im Phasenraum eine sich bewegende Zelle definieren konstant Die totale Ableitung d r d t displaystyle d rho dt nbsp verschwindet daher genau dann wenn auch das Volumen der Zelle konstant ist Quantenmechanische Gleichung BearbeitenDie quantenmechanische Form der Liouville Gleichung wird auch Von Neumann Gleichung genannt r t i ℏ r H displaystyle frac partial rho partial t frac i hbar rho H nbsp Hier bezeichnet i displaystyle i nbsp die imaginare Einheit ℏ displaystyle hbar nbsp das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum r displaystyle rho nbsp die Dichtematrix H displaystyle H nbsp den Hamilton Operator die eckigen Klammern den Kommutator Wie im Fall der klassischen Mechanik kann man formal einen Liouville Operator L displaystyle L nbsp einfuhren definiert durch seine Wirkung auf einen Operator A displaystyle A nbsp L A i ℏ A H displaystyle LA frac i hbar A H nbsp Damit schreibt sich die Von Neumann Gleichung r t L r displaystyle frac partial rho partial t L rho nbsp Mit Hilfe des Wigner Bildes kann im semiklassischen Grenzfall eine direkte Beziehung zwischen dem Hamilton Operator und der klassischen Poisson Klammer hergeleitet werden lim ℏ 0 i ℏ A B A w B w displaystyle lim limits hbar rightarrow 0 frac i hbar hat A hat B A w B w nbsp Literatur BearbeitenFranz Schwabl Statistische Mechanik Springer Berlin u a 2004 ISBN 3 540 20360 5 Harald J W Muller Kirsten Introduction to Quantum Mechanics Schrodinger Equation and Path Integral 2 Auflage World Scientific Singapur 2012 ISBN 978 981 4397 73 5 S 29 40 Harald J W Muller Kirsten Basics of Statistical Physics 2 Auflage World Scientific Singapur 2013 ISBN 978 981 4449 53 3 Kapitel 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Liouville Gleichung amp oldid 238770949