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Kommutator Mathematik In der Mathematik misst der Kommutator lateinisch commutare vertauschen wie sehr zwei Elemente ein

Kommutator (Mathematik)

In der Mathematik misst der Kommutator (lateinisch commutare ‚vertauschen‘), wie sehr zwei Elemente einer Gruppe oder einer assoziativen Algebra das Kommutativgesetz verletzen.

Kommutatoren in Gruppen

Der Kommutator zweier Elemente und einer Gruppe ist das Element

Manchmal wird der Kommutator auch als das Element

definiert. Insbesondere ist der Kommutator zweier invertierbarer Matrizen die Matrix .

Genau dann, wenn gilt, ist der Kommutator das neutrale Element der Gruppe. Die von allen Kommutatoren erzeugte Untergruppe wird Kommutatorgruppe genannt. Kommutatoren werden beispielsweise bei der Definition von nilpotenten und auflösbaren Gruppen verwendet.

Kommutatoren in Algebren

Kommutatoren werden auch für Ringe und assoziative Algebren definiert. Hier ist der Kommutator zweier Elemente und definiert als

Er ist genau dann gleich 0, wenn und „kommutieren“ (vertauschen), also wenn gilt:

Seien , und Elemente einer assoziativen Algebra und , Skalare (Elemente des Grundkörpers). Dann gilt:

  1. Der Kommutator ist alternierend (antisymmetrisch):
  2. Der Kommutator ist bilinear:
  3. Der Kommutator genügt der Jacobi-Identität:
  4. Der Kommutator genügt der Produktregel:

Aufgrund der Eigenschaften 1, 2 und 3 wird jede assoziative Algebra mit dem Kommutator als Lie-Klammer zu einer Lie-Algebra.

Weil der Kommutator linear ist und der Produktregel genügt, ist die zu jedem Element adjungierte Selbstabbildung der Algebra

eine Ableitung oder Derivation.

Antikommutator

Der Antikommutator oder zweier Elemente und ist die Summe ihrer Produkte in beiden Reihenfolgen:

Er ist genau dann gleich 0, wenn und „antikommutieren“, also wenn gilt:

Der Antikommutator ist symmetrisch:

Es folgt der Zusammenhang mit dem Kommutator:

Die definierenden Relationen einer Clifford-Algebra oder Dirac-Algebra betreffen Antikommutatoren.

Anwendung in der Physik

In der Quantenmechanik gehört zu jedem Messapparat ein hermitescher Operator. Seine Eigenwerte sind die möglichen Messwerte, seine Eigenvektoren entsprechen denjenigen physikalischen Zuständen des zu vermessenden Systems, bei denen der zugehörige Messwert mit Sicherheit auftritt.

Kommutieren zwei dieser Operatoren, so gibt es einen vollständigen Satz gemeinsamer Eigenvektoren, genauer zwei miteinander kommutierende spektrale Zerlegungen. Physikalisch bedeutet dies, dass man beide Messungen gemeinsam vornehmen und Zustände präparieren kann, bei denen beide Messungen sichere Ergebnisse haben. Man spricht dann von kommutierenden, kompatiblen oder verträglichen Observablen.

Gegeben sei: ein Zustand in der Dirac-Notation und die Observablen (Operatoren) und . Dann gilt für die Bedingung simultaner Eigenzustände:

mit den im Allgemeinen komplexen Eigenwerten und . Daraus folgt

Ist die Bedingung erfüllt, so sind die beiden Observablen und kommutierend und haben simultane Eigenzustände.

Bei kanonischer Quantisierung eines physikalischen Systems treten an die Stelle der Phasenraumkoordinaten Ort und Impuls, die den Zustand des klassischen Systems charakterisieren, der Ortsoperator und der Impulsoperator , für die die fundamentale kanonische Kommutatorrelation gilt (komplementäre Observablen):

wobei bzw. die Komponenten der Vektor-Operatoren bezeichnen.

In der Heisenbergschen Bewegungsgleichung ersetzt der Kommutator die Poisson-Klammer im Formelbild der entsprechenden, klassischen Bewegungsgleichung der hamiltonschen Mechanik (siehe Anwendungen der Poisson-Klammer).

Gemäß der Heisenbergschen Unschärferelation gibt der Erwartungswert des Kommutators zweier Operatoren eine untere Schranke an das Produkt der Unschärfen der entsprechenden Observablen.

Mit dem Kommutator werden die algebraischen Eigenschaften derjenigen Operatoren angegeben, die in quantenmechanischen Mehrteilchenzuständen Bosonen erzeugen oder vernichten. Da die Erzeugungsoperatoren untereinander kommutieren, sind in Mehrteilchenzuständen die einzelnen Teilchen ununterscheidbar in dem Sinn, dass eine Vertauschung zweier Teilchen keinen anderen, sondern denselben Zustand mit gleicher Phase ergibt.

Mit dem Antikommutator werden in der Quantenmechanik die algebraischen Eigenschaften derjenigen Operatoren angegeben, die in Mehrteilchenzuständen Fermionen erzeugen oder vernichten. Da die Erzeugungsoperatoren untereinander antikommutieren, sind in Mehrteilchenzuständen die einzelnen Teilchen ununterscheidbar in dem Sinn, dass eine Vertauschung zweier Teilchen keinen anderen, sondern denselben Zustand mit entgegengesetzter Phase ergibt.

Siehe auch

Literatur

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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik misst der Kommutator lateinisch commutare vertauschen wie sehr zwei Elemente einer Gruppe oder einer assoziativen Algebra das Kommutativgesetz verletzen Inhaltsverzeichnis 1 Kommutatoren in Gruppen 2 Kommutatoren in Algebren 2 1 Antikommutator 3 Anwendung in der Physik 4 Siehe auch 5 LiteraturKommutatoren in Gruppen BearbeitenDer Kommutator g h displaystyle g h zweier Elemente g displaystyle g und h displaystyle h einer Gruppe ist das Element g h g 1 h 1 g h h g 1 g h displaystyle g h g 1 h 1 gh hg 1 gh Manchmal wird der Kommutator auch als das Element g h g h g 1 h 1 displaystyle g h ghg 1 h 1 definiert Insbesondere ist der Kommutator zweier invertierbarer Matrizen A B G L n R displaystyle A B in GL n mathbb R die Matrix A B A 1 B 1 displaystyle ABA 1 B 1 Genau dann wenn g h h g displaystyle gh hg gilt ist der Kommutator g h displaystyle g h das neutrale Element der Gruppe Die von allen Kommutatoren erzeugte Untergruppe wird Kommutatorgruppe genannt Kommutatoren werden beispielsweise bei der Definition von nilpotenten und auflosbaren Gruppen verwendet Kommutatoren in Algebren BearbeitenKommutatoren werden auch fur Ringe und assoziative Algebren definiert Hier ist der Kommutator a b displaystyle a b zweier Elemente a displaystyle a und b displaystyle b definiert als a b a b b a displaystyle a b ab ba Er ist genau dann gleich 0 wenn a displaystyle a und b displaystyle b kommutieren vertauschen also wenn a b b a displaystyle ab ba gilt a b 0 a b b a displaystyle a b 0 Leftrightarrow ab ba Seien a displaystyle a b displaystyle b und c displaystyle c Elemente einer assoziativen Algebra und l displaystyle lambda m displaystyle mu Skalare Elemente des Grundkorpers Dann gilt Der Kommutator ist alternierend antisymmetrisch a b b a displaystyle a b b a Der Kommutator ist bilinear l a m b c l a c m b c displaystyle lambda a mu b c lambda a c mu b c a l b m c l a b m a c displaystyle a lambda b mu c lambda a b mu a c Der Kommutator genugt der Jacobi Identitat a b c b c a c a b 0 displaystyle a b c b c a c a b 0 Der Kommutator genugt der Produktregel a b c a b c b a c displaystyle a bc a b c b a c a b c a b c a c b displaystyle ab c a b c a c b Aufgrund der Eigenschaften 1 2 und 3 wird jede assoziative Algebra A displaystyle A mit dem Kommutator als Lie Klammer zu einer Lie Algebra Weil der Kommutator linear ist und der Produktregel genugt ist die zu jedem Element a displaystyle a adjungierte Selbstabbildung der Algebra a adjungiert b a b displaystyle a text adjungiert colon b mapsto a b eine Ableitung oder Derivation Antikommutator Bearbeiten Der Antikommutator a b displaystyle a b oder a b displaystyle a b zweier Elemente a displaystyle a und b displaystyle b ist die Summe ihrer Produkte in beiden Reihenfolgen a b a b b a displaystyle a b ab ba Er ist genau dann gleich 0 wenn a displaystyle a und b displaystyle b antikommutieren also wenn a b b a displaystyle ab ba gilt a b 0 a b b a displaystyle a b 0 Leftrightarrow ab ba Der Antikommutator ist symmetrisch a b b a displaystyle a b b a Es folgt der Zusammenhang mit dem Kommutator a b c a b c b a c displaystyle Rightarrow a bc a b c b a c Die definierenden Relationen einer Clifford Algebra oder Dirac Algebra betreffen Antikommutatoren Anwendung in der Physik BearbeitenIn der Quantenmechanik gehort zu jedem Messapparat ein hermitescher Operator Seine Eigenwerte sind die moglichen Messwerte seine Eigenvektoren entsprechen denjenigen physikalischen Zustanden des zu vermessenden Systems bei denen der zugehorige Messwert mit Sicherheit auftritt Kommutieren zwei dieser Operatoren so gibt es einen vollstandigen Satz gemeinsamer Eigenvektoren genauer zwei miteinander kommutierende spektrale Zerlegungen Physikalisch bedeutet dies dass man beide Messungen gemeinsam vornehmen und Zustande praparieren kann bei denen beide Messungen sichere Ergebnisse haben Man spricht dann von kommutierenden kompatiblen oder vertraglichen Observablen Gegeben sei ein Zustand A displaystyle A rangle in der Dirac Notation und die Observablen Operatoren z displaystyle zeta und h displaystyle eta Dann gilt fur die Bedingung simultaner Eigenzustande z A z A displaystyle zeta A rangle zeta A rangle h A h A displaystyle eta A rangle eta A rangle mit den im Allgemeinen komplexen Eigenwerten z displaystyle zeta und h displaystyle eta Daraus folgt z h A z h A z h A h z A h z A displaystyle zeta eta A rangle zeta eta A rangle zeta eta A rangle eta zeta A rangle eta zeta A rangle z h A z h h z A 0 displaystyle zeta eta A rangle equiv zeta eta eta zeta A rangle 0 Ist die Bedingung z h 0 displaystyle zeta eta 0 erfullt so sind die beiden Observablen z displaystyle zeta und h displaystyle eta kommutierend und haben simultane Eigenzustande Bei kanonischer Quantisierung eines physikalischen Systems treten an die Stelle der Phasenraumkoordinaten Ort und Impuls die den Zustand des klassischen Systems charakterisieren der Ortsoperator x displaystyle x und der Impulsoperator p displaystyle p fur die die fundamentale kanonische Kommutatorrelation gilt komplementare Observablen x j p k i ℏ d j k displaystyle x j p k mathrm i hbar delta j k wobei j displaystyle j bzw k displaystyle k die Komponenten der Vektor Operatoren bezeichnen In der Heisenbergschen Bewegungsgleichung ersetzt der Kommutator die Poisson Klammer im Formelbild der entsprechenden klassischen Bewegungsgleichung der hamiltonschen Mechanik siehe Anwendungen der Poisson Klammer Gemass der Heisenbergschen Unscharferelation gibt der Erwartungswert des Kommutators zweier Operatoren eine untere Schranke an das Produkt der Unscharfen der entsprechenden Observablen Mit dem Kommutator werden die algebraischen Eigenschaften derjenigen Operatoren angegeben die in quantenmechanischen Mehrteilchenzustanden Bosonen erzeugen oder vernichten Da die Erzeugungsoperatoren untereinander kommutieren sind in Mehrteilchenzustanden die einzelnen Teilchen ununterscheidbar in dem Sinn dass eine Vertauschung zweier Teilchen keinen anderen sondern denselben Zustand mit gleicher Phase ergibt Mit dem Antikommutator werden in der Quantenmechanik die algebraischen Eigenschaften derjenigen Operatoren angegeben die in Mehrteilchenzustanden Fermionen erzeugen oder vernichten Da die Erzeugungsoperatoren untereinander antikommutieren sind in Mehrteilchenzustanden die einzelnen Teilchen ununterscheidbar in dem Sinn dass eine Vertauschung zweier Teilchen keinen anderen sondern denselben Zustand mit entgegengesetzter Phase ergibt Siehe auch BearbeitenLie Klammer AssoziatorLiteratur BearbeitenSiegfried Bosch Algebra 5 Auflage Springer Berlin 2003 ISBN 3 540 40388 4 S 255 f doi 10 1007 978 3 540 92812 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kommutator Mathematik amp oldid 233046637