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Assoziator Mathematik In der abstrakten Algebra wird der Ausdruck Assoziator in unterschiedlicher Weise als ein Maß für

Assoziator (Mathematik)

In der abstrakten Algebra wird der Ausdruck Assoziator in unterschiedlicher Weise als ein Maß für die Abweichung einer algebraischen Struktur bzw. einer dort definierten zweistelligen Verknüpfung vom Assoziativgesetz verwendet.

Ringtheorie Bearbeiten

In einem nichtassoziativen Ring oder Algebra ist der Assoziator die multilineare Abbildung

wobei auch die Schreibweisen oder gebräuchlich sind. Für einen (assoziativen) Ring ist er immer gleich Null.

Für den Assoziator gilt die Identität

Er alterniert genau dann, wenn alternativ ist.

Er ist symmetrisch in seinen am weitesten rechts stehenden Argumenten, wenn eine Prä-Lie-Algebra ist.

Quasigruppentheorie Bearbeiten

Auch der Assoziator in Quasigruppen misst die Abweichung der dort definierten Verknüpfung vom Assoziativgesetz, seine Definition unterscheidet sich aber ansonsten grundlegend von der in der Ringtheorie.

Eine Quasigruppe Q ist eine Menge mit der zweistelligen Verknüpfung , für die die Gleichungen und die eindeutigen Lösungen haben. In einer Quasigruppe Q ist der Assoziator durch

definiert.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Richard D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Dover, 1995, ISBN 0-486-68813-5 (englisch, Gutenberg.org [abgerufen am 9. Januar 2023] E-Book-Nr. 25156).
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In der abstrakten Algebra wird der Ausdruck Assoziator in unterschiedlicher Weise als ein Mass fur die Abweichung einer algebraischen Struktur bzw einer dort definierten zweistelligen Verknupfung vom Assoziativgesetz verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Ringtheorie 2 Quasigruppentheorie 3 Siehe auch 4 LiteraturRingtheorie BearbeitenIn einem nichtassoziativen Ring oder Algebra R displaystyle R circ nbsp ist der Assoziator die multilineare Abbildung R R R R x y z x y z x y z displaystyle cdot cdot cdot R times R times R to R x y z x circ y circ z x circ y circ z nbsp wobei auch die Schreibweisen x y z displaystyle x y z nbsp oder A x y z displaystyle A x y z nbsp gebrauchlich sind Fur einen assoziativen Ring ist er immer gleich Null Fur den Assoziator gilt die Identitat w x y z w x y z wx y z w xy z w x yz displaystyle w x y z w x y z wx y z w xy z w x yz nbsp Er alterniert genau dann wenn R displaystyle R nbsp alternativ ist Er ist symmetrisch in seinen am weitesten rechts stehenden Argumenten wenn R displaystyle R nbsp eine Pra Lie Algebra ist Quasigruppentheorie BearbeitenAuch der Assoziator in Quasigruppen misst die Abweichung der dort definierten Verknupfung vom Assoziativgesetz seine Definition unterscheidet sich aber ansonsten grundlegend von der in der Ringtheorie Eine Quasigruppe Q ist eine Menge mit der zweistelligen Verknupfung Q Q Q displaystyle cdot Q times Q to Q nbsp fur die a b Q displaystyle forall a b in Q nbsp die Gleichungen a x b displaystyle a cdot x b nbsp und y a b displaystyle y cdot a b nbsp die eindeutigen Losungen x y Q displaystyle x y in Q nbsp haben In einer Quasigruppe Q ist der Assoziator durch a b c a b c a b c a b c Q displaystyle a cdot b cdot c a cdot b cdot c cdot a b c forall a b c in Q nbsp definiert Siehe auch BearbeitenKommutatorLiteratur BearbeitenRichard D Schafer An Introduction to Nonassociative Algebras Dover 1995 ISBN 0 486 68813 5 englisch Gutenberg org abgerufen am 9 Januar 2023 E Book Nr 25156 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Assoziator Mathematik amp oldid 243210417