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Kanonische Vertauschungsrelation Die in der Quantenmechanik QM gebräuchlichen kanonischen Vertauschungsrelationen lauten

Kanonische Vertauschungsrelation

Die in der Quantenmechanik (QM) gebräuchlichen kanonischen Vertauschungsrelationen lauten:

Hierbei bezeichnen

Die Orts- und Impulsoperatoren unterschiedlicher Richtungen und „vertauschen“ paarweise untereinander, d. h. ihr Kommutator ist gleich Null (erste und zweite Gleichung oben). Dies heißt in der Praxis, dass diese Messgrößen (in der QM auch Observablen genannt) gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können, sie sind kommensurabel.

Verschwindet der Kommutator nicht, ist er also ungleich Null, so „vertauschen“ die zugehörigen Operatoren nicht (dritte Gleichung). Die Operatoren für Ort und Impuls stellen also ein Beispiel für nicht vertauschbare bzw. inkommensurable Operatoren dar. Sie beschreiben Größen im selben Quantensystem, die nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können, ihre gleichzeitige Messung ist also mit einer gewissen Unschärfe behaftet. Dies führt direkt auf die Unschärferelation von Werner Heisenberg. Da der Kommutator von Orts- und Impulsoperator nicht nur ungleich Null ist, sondern als Spezialfall auch noch genau den Wert aufweist, handelt es sich um komplementäre Observablen.

Herleitung und Begründung Bearbeiten

Da das Produkt (d. h. die Hintereinanderausführung) zweier linearer Operatoren im Allgemeinen nicht kommutativ ist (d. h. die Reihenfolge der Hintereinanderausführung nicht einfach vertauscht werden kann), wird der Kommutator (oder auch Vertauschungsrelation) zweier linearen Operatoren und wie folgt definiert:

Setzen wir die Operatoren für Ort und Impuls einfach in obige Gleichung ein und lassen diese auf eine Wellenfunktion wirken, so folgt:

Die obige Rechnung für die Raumkomponenten und führen zum gleichen Ergebnis. Interessant hierbei ist, dass z. B.

vertauscht. Der Beweis, dass Orts- und Impulskomponenten untereinander vertauschen, ist einfach. Insgesamt ergeben sich dann die oben benannten kanonischen Vertauschungsrelationen.

Literatur Bearbeiten

  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik. Band 5/1: Quantenmechanik Grundlagen. Springer Verlag, 2009.
  • G. Blatter: Quantenmechanik I. Script zur Vorlesung, ETH-Zürich, 2005.
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Die in der Quantenmechanik QM gebrauchlichen kanonischen Vertauschungsrelationen lauten X i X j 0 i j 1 3 P i P j 0 X i P j i ℏ d i j displaystyle begin aligned left X i X j right amp 0 quad i j in 1 ldots 3 left P i P j right amp 0 left X i P j right amp mathrm i hbar delta ij end aligned Hierbei bezeichnen die X displaystyle X die hermiteschen Ortsoperatoren Anmerkung im Allgemeinen werden die Operatoren in der QM mit einem Hutchen versehen dies wird hier aus Grunden der Lesbarkeit weggelassen es gilt also z B fur den Ortsoperator x x displaystyle hat x x die P displaystyle P die hermiteschen Impulsoperatoren aus der QM die Klammern um die Operatoren z B X i X j displaystyle X i X j den Kommutator i displaystyle mathrm i die Imaginare Einheit ℏ displaystyle hbar das reduzierte plancksche Wirkungsquantum Die Orts und Impulsoperatoren unterschiedlicher Richtungen i displaystyle i und j displaystyle j vertauschen paarweise untereinander d h ihr Kommutator ist gleich Null erste und zweite Gleichung oben Dies heisst in der Praxis dass diese Messgrossen in der QM auch Observablen genannt gleichzeitig beliebig genau gemessen werden konnen sie sind kommensurabel Verschwindet der Kommutator nicht ist er also ungleich Null so vertauschen die zugehorigen Operatoren nicht dritte Gleichung Die Operatoren fur Ort und Impuls stellen also ein Beispiel fur nicht vertauschbare bzw inkommensurable Operatoren dar Sie beschreiben Grossen im selben Quantensystem die nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden konnen ihre gleichzeitige Messung ist also mit einer gewissen Unscharfe behaftet Dies fuhrt direkt auf die Unscharferelation von Werner Heisenberg Da der Kommutator von Orts und Impulsoperator nicht nur ungleich Null ist sondern als Spezialfall auch noch genau den Wert i ℏ displaystyle i hslash aufweist handelt es sich um komplementare Observablen Herleitung und Begrundung BearbeitenDa das Produkt d h die Hintereinanderausfuhrung zweier linearer Operatoren im Allgemeinen nicht kommutativ ist d h die Reihenfolge der Hintereinanderausfuhrung nicht einfach vertauscht werden kann wird der Kommutator oder auch Vertauschungsrelation zweier linearen Operatoren A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp wie folgt definiert A B A B B A displaystyle A B AB BA nbsp Setzen wir die Operatoren fur Ort und Impuls einfach in obige Gleichung ein und lassen diese auf eine Wellenfunktion ps x displaystyle psi vec x nbsp wirken so folgt x p x ps x x i ℏ x ps x i ℏ x x ps x i ℏ x x i ℏ 1 x x ps x i ℏ ps x displaystyle begin aligned left x p x right psi vec x amp left x Big mathrm i hbar frac partial partial x Big right psi vec x left Big mathrm i hbar frac partial partial x Big x right psi vec x amp left mathrm i hbar x frac partial partial x mathrm i hbar Big 1 x frac partial partial x Big right psi vec x amp mathrm i hbar psi vec x end aligned nbsp Die obige Rechnung fur die Raumkomponenten y p y displaystyle y p y nbsp und z p z displaystyle z p z nbsp fuhren zum gleichen Ergebnis Interessant hierbei ist dass z B x p y ps x x i ℏ y ps x i ℏ y x ps x i ℏ x y ps x i ℏ y x ps x i ℏ x y i ℏ x y ps x 0 displaystyle begin aligned left x p y right psi vec x amp left x Big mathrm i hbar frac partial partial y Big right psi vec x left Big mathrm i hbar frac partial partial y Big x right psi vec x amp Big mathrm i hbar x frac partial partial y Big psi vec x Big mathrm i hbar frac partial partial y Big Big x psi vec x Big amp Big mathrm i hbar x frac partial partial y mathrm i hbar x frac partial partial y Big psi vec x amp 0 end aligned nbsp vertauscht Der Beweis dass Orts und Impulskomponenten untereinander vertauschen ist einfach Insgesamt ergeben sich dann die oben benannten kanonischen Vertauschungsrelationen Literatur BearbeitenWolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik Band 5 1 Quantenmechanik Grundlagen Springer Verlag 2009 G Blatter Quantenmechanik I Script zur Vorlesung ETH Zurich 2005 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kanonische Vertauschungsrelation amp oldid 238501226