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Kommensurabilität Quantenmechanik In der Quantenmechanik heißen zwei Observablen kommensurabel wenn sie gleichzeitig bel

Kommensurabilität (Quantenmechanik)

In der Quantenmechanik heißen zwei Observablen kommensurabel, wenn sie gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können. Observablen, die nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können, heißen inkommensurabel. Zwei Observablen sind genau dann kommensurabel, wenn der Kommutator der zugehörigen Operatoren verschwindet.

Inkommensurable Observablen, deren Kommutator den Wert annimmt, heißen zueinander komplementäre Observablen.

Beweis Bearbeiten

Nach der (verallgemeinerten) Heisenbergschen Unschärferelation gilt für zwei Operatoren und einen Zustand für deren Messunsicherheiten beziehungsweise im Zustand :

Aus für jeden beliebigen Zustand folgt .

Andererseits folgt aus , dass ein Satz gemeinsamer Eigenzustände zu den Operatoren und existiert. Durch Messung einer der beiden Größen kollabiert der Zustand auf den entsprechenden Eigenzustand und befindet sich bereits in einem Eigenzustand des zweiten Operators, sodass eine Messung der anderen Größe das System nicht erneut verändert.

Beispiele Bearbeiten

  • Ort und Impuls eines Teilchens in derselben Raumrichtung sind inkommensurabel und komplementär, denn es gilt:
  • Verschiedene Komponenten des Drehimpulses sind inkommensurabel, aber nicht komplementär, denn es gilt:
  • Energie und Impuls sind kommensurabel, denn es gilt:

Literatur Bearbeiten

  • Torsten Fließbach: Quantenmechanik. 4. Auflage. Spektrum, München 2005, ISBN 3-8274-1589-6, S. 115.
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In der Quantenmechanik heissen zwei Observablen kommensurabel wenn sie gleichzeitig beliebig genau gemessen werden konnen Observablen die nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden konnen heissen inkommensurabel Zwei Observablen sind genau dann kommensurabel wenn der Kommutator der zugehorigen Operatoren verschwindet Inkommensurable Observablen deren Kommutator den Wert i ℏ displaystyle mathrm i hbar annimmt heissen zueinander komplementare Observablen Beweis BearbeitenNach der verallgemeinerten Heisenbergschen Unscharferelation gilt fur zwei Operatoren A B displaystyle A B nbsp und einen Zustand ps displaystyle psi rangle nbsp fur deren Messunsicherheiten s A displaystyle sigma A nbsp beziehungsweise s B displaystyle sigma B nbsp im Zustand ps displaystyle psi rangle nbsp s A s B 1 2 ps A B ps displaystyle sigma A sigma B geq frac 1 2 Big langle psi A B psi rangle Big nbsp Aus s A s B 0 displaystyle sigma A sigma B 0 nbsp fur jeden beliebigen Zustand folgt A B 0 displaystyle A B 0 nbsp Andererseits folgt aus A B 0 displaystyle A B 0 nbsp dass ein Satz gemeinsamer Eigenzustande zu den Operatoren A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp existiert Durch Messung einer der beiden Grossen kollabiert der Zustand auf den entsprechenden Eigenzustand und befindet sich bereits in einem Eigenzustand des zweiten Operators sodass eine Messung der anderen Grosse das System nicht erneut verandert Beispiele BearbeitenOrt und Impuls eines Teilchens in derselben Raumrichtung sind inkommensurabel und komplementar denn es gilt x i p j i ℏ d i j displaystyle x i p j mathrm i hbar delta ij nbsp Verschiedene Komponenten des Drehimpulses sind inkommensurabel aber nicht komplementar denn es gilt L i L j i ℏ e i j k L k displaystyle L i L j mathrm i hbar varepsilon ijk L k nbsp Energie und Impuls sind kommensurabel denn es gilt H p i 0 displaystyle H p i 0 nbsp Literatur BearbeitenTorsten Fliessbach Quantenmechanik 4 Auflage Spektrum Munchen 2005 ISBN 3 8274 1589 6 S 115 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kommensurabilitat Quantenmechanik amp oldid 184281227