Der Ortsoperator gehort in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen Der physikalische Zustand PS displaystyle Psi eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehorigen Vektor eines Hilbertraumes H Dieser Zustand wird folglich in der Bra Ket Notation durch den Vektor PS displaystyle Psi rangle beschrieben Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen x x 1 x 2 x 3 displaystyle hat mathbf x hat x 1 hat x 2 hat x 3 so dass E x j x j PS PS H j 1 2 3 displaystyle E hat x j langle hat x j Psi Psi rangle mathrm H quad j 1 2 3 der Mittelwert Erwartungswert der Messergebnisse der j ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand PS displaystyle Psi ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition und Eigenschaften 1 1 Ortsdarstellung 1 1 1 Eigenfunktionen 1 2 Impulsdarstellung 2 LiteraturDefinition und Eigenschaften BearbeitenDie drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren x j displaystyle hat x j nbsp die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren p k displaystyle hat p k nbsp die folgenden kanonischen Vertauschungsrelationen erfullen x j p k i ℏ d j k x j x k 0 p j p k j k 1 2 3 displaystyle hat x j hat p k mathrm i hbar delta jk quad hat x j hat x k 0 hat p j hat p k quad j k in 1 2 3 nbsp dd Daraus folgt dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum Bereich der moglichen Messwerte aus dem gesamten Raum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp besteht Die moglichen Orte sind also nicht quantisiert sondern kontinuierlich Ortsdarstellung Bearbeiten Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert Der Hilbertraum H L 2 R 3 C displaystyle H L 2 mathbb R 3 mathbb C nbsp ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp jeder Zustand PS displaystyle Psi nbsp ist durch eine Ortswellenfunktion ps x displaystyle psi mathbf x nbsp gegeben Die Ortsoperatoren x x 1 x 2 x 3 displaystyle hat mathbf x hat x 1 hat x 2 hat x 3 nbsp sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen d h der Ortsoperator x j displaystyle hat x j nbsp wirkt auf Ortswellenfunktionen ps x displaystyle psi mathbf x nbsp durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion x j displaystyle x j nbsp x j ps x x j ps x displaystyle hat x j psi mathbf x x j cdot psi mathbf x nbsp dd Dieser Operator x j displaystyle hat x j nbsp ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen Er ist auf dem Unterraum D ps H x ps H displaystyle D psi in H x cdot psi in H nbsp definiert der in H dicht liegt Der Erwartungswert ist E x j x j PS PS L 2 R 3 x j ps x ps x d x R 3 x j ps x 2 d x displaystyle E hat x j langle hat x j Psi Psi rangle L 2 int mathbb R 3 x j psi mathbf x overline psi mathbf x mathrm d x int mathbb R 3 x j psi mathbf x 2 mathrm d x nbsp dd Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen bei geeigneter Wahl der Phasen als Differentialoperator p k ps x i ℏ x k ps x displaystyle bigl hat p k psi bigr mathbf x mathrm i hbar frac partial partial x k psi mathbf x nbsp dd Eigenfunktionen Bearbeiten Die Eigenfunktionen des Ortsoperators mussen die Eigenwertgleichung x ps x 0 x x 0 ps x 0 x displaystyle hat x psi mathbf x 0 mathbf x mathbf x 0 cdot psi mathbf x 0 mathbf x nbsp dd erfullen wobei ps x 0 x displaystyle psi mathbf x 0 mathbf x nbsp die Eigenfunktion des Ortsoperators zum Eigenwert x 0 displaystyle mathbf x 0 nbsp darstellt Die Eigenfunktionen ps x 0 displaystyle psi mathbf x 0 nbsp zum Ortsoperator entsprechen Delta Distributionen x d x x 0 x 0 d x x 0 displaystyle hat mathbf x delta mathbf x mathbf x 0 mathbf x 0 delta mathbf x mathbf x 0 nbsp mit der Identitat f x d x x 0 f x 0 d x x 0 displaystyle f x delta x x 0 f x 0 delta x x 0 nbsp Impulsdarstellung Bearbeiten In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen ps p displaystyle tilde psi mathbf p nbsp p k ps p p k ps p displaystyle hat p k tilde psi mathbf p p k cdot tilde psi mathbf p nbsp dd und der Ortsoperator als Differentialoperator x j ps p i ℏ p j ps p displaystyle hat x j tilde psi mathbf p mathrm i hbar frac partial partial p j tilde psi mathbf p nbsp dd Literatur BearbeitenSiehe auch Quantenmechanik und Mathematische Formulierung der Quantenmechanik Jochen Pade Quantenmechanik zu Fuss 1 Springer Berlin Heidelberg 2012 ISBN 978 3 642 25226 6 doi 10 1007 978 3 642 25227 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ortsoperator amp oldid 232469429
