Die Dirac Matrizen nach dem britischen Physiker Paul Dirac auch Gamma Matrizen genannt sind vier Matrizen die der Dirac Algebra genugen Sie treten in der Dirac Gleichung auf Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Die g5 Matrix 2 Eigenschaften 3 Dirac Gleichung 4 Zusammenhang zu Lorentz Transformationen 4 1 Chiralitat 4 2 Paritat 5 Feynman Slash Notation 6 Dirac Darstellung 7 Weyl Darstellung 8 Majorana Darstellung 9 LiteraturDefinition BearbeitenDie Dirac Matrizen g 0 g 1 g 2 displaystyle gamma 0 gamma 1 gamma 2 nbsp und g 3 displaystyle gamma 3 nbsp erfullen definitionsgemass die Dirac Algebra das heisst die algebraischen Bedingungen g 0 g 0 I g 1 g 1 I g 2 g 2 I g 3 g 3 I g 0 g 1 g 1 g 0 g 0 g 2 g 2 g 0 g 0 g 3 g 3 g 0 g 1 g 2 g 2 g 1 g 1 g 3 g 3 g 1 g 2 g 3 g 3 g 2 displaystyle begin aligned gamma 0 gamma 0 amp I amp gamma 1 gamma 1 amp I amp gamma 2 gamma 2 amp I amp gamma 3 gamma 3 amp I gamma 0 gamma 1 amp gamma 1 gamma 0 amp gamma 0 gamma 2 amp gamma 2 gamma 0 amp gamma 0 gamma 3 amp gamma 3 gamma 0 amp amp gamma 1 gamma 2 amp gamma 2 gamma 1 amp gamma 1 gamma 3 amp gamma 3 gamma 1 amp gamma 2 gamma 3 amp gamma 3 gamma 2 amp amp end aligned nbsp mit der Einheitsmatrix I displaystyle I nbsp Diese Bedingungen betreffen Antikommutatoren also die Summe der Produkte zweier Matrizen in beiden Reihenfolgen A B A B B A displaystyle A B A B B A nbsp In Indexnotation in der m displaystyle mu nbsp und n displaystyle nu nbsp fur Zahlen aus 0 1 2 3 displaystyle 0 1 2 3 nbsp stehen schreiben sich die Bedingungen an die Dirac Matrizen zusammenfassend als g m g n g m g n g n g m 2 h m n I displaystyle gamma mu gamma nu gamma mu gamma nu gamma nu gamma mu 2 eta mu nu I nbsp Dabei sind h m n displaystyle eta mu nu nbsp die Komponenten der Minkowski Metrik mit Signatur 1 1 1 1 Die g5 Matrix Bearbeiten Zusatzlich zu den vier Gamma Matrizen definiert man noch die Matrix g 5 i g 0 g 1 g 2 g 3 displaystyle gamma 5 mathrm i gamma 0 gamma 1 gamma 2 gamma 3 nbsp Sie ist ihr eigenes Inverses g 5 g 5 I displaystyle gamma 5 gamma 5 I nbsp ist hermitesch antivertauscht mit den Gamma Matrizen g 5 g m g m g 5 displaystyle gamma 5 gamma mu gamma mu gamma 5 nbsp und demnach mit jedem Produkt von Gamma Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren Eigenschaften BearbeitenDie Gamma Matrizen erzeugen eine Clifford Algebra Jede irreduzible Darstellung dieser Algebra durch Matrizen besteht aus 4 4 displaystyle 4 times 4 nbsp Matrizen Die Elemente des Vektorraumes auf den sie wirken heissen Spinoren Verschiedene Darstellungen der Dirac Algebra sind einander aquivalent das heisst sie unterscheiden sich nur durch die gewahlte Basis Insbesondere sind die negativen transponierten Matrizen g m T displaystyle gamma mu text T nbsp und die hermitesch adjungierten Matrizen g m displaystyle gamma mu dagger nbsp den Matrizen g m displaystyle gamma mu nbsp aquivalent denn sie erfullen ebenfalls die Dirac Algebra Es gibt daher eine Matrix A displaystyle A nbsp und eine Matrix C displaystyle C nbsp so dass C g m C 1 g m T A g m A 1 g m displaystyle C gamma mu C 1 gamma mu text T quad A gamma mu A 1 gamma mu dagger nbsp Die Matrix A displaystyle A nbsp ist zur Konstruktion von Skalaren Vektoren und Tensoren aus Spinoren wichtig die Matrix C displaystyle C nbsp tritt bei der Ladungskonjugation auf Jedes Produkt mehrerer Dirac Matrizen lasst sich bis auf ein Vorzeichen als Produkt verschiedener Dirac Matrizen in lexographischer Ordnung schreiben denn das Produkt zweier verschiedener Gamma Matrizen kann auf Kosten eines Vorzeichens umgeordnet werden Zudem ist das Quadrat jeder Gamma Matrix 1 oder 1 Die Produkte verschiedener Gamma Matrizen bilden zusammen mit der Eins Matrix und den negativen Matrizen eine Gruppe mit den 32 Elementen 1 g m g m g n m lt n g l g m g n l lt m lt n g 0 g 1 g 2 g 3 wobei l m n 0 1 2 3 displaystyle pm 1 pm gamma mu pm gamma mu gamma nu mu lt nu pm gamma lambda gamma mu gamma nu lambda lt mu lt nu pm gamma 0 gamma 1 gamma 2 gamma 3 text wobei lambda mu nu in 0 1 2 3 nbsp Da jede Darstellung einer endlichen Gruppe bei geeigneter Basiswahl unitar ist ist auch jede Darstellung der Gamma Matrizen bei geeigneter Wahl der Basis unitar Zusammen mit der Dirac Algebra heisst dies dass g 0 displaystyle gamma 0 nbsp hermitesch und die drei anderen g displaystyle gamma nbsp Matrizen antihermitesch sind g 0 g 0 g 1 g 1 g 2 g 2 g 3 g 3 displaystyle gamma 0 dagger gamma 0 gamma 1 dagger gamma 1 gamma 2 dagger gamma 2 gamma 3 dagger gamma 3 nbsp In unitaren Darstellungen bewirkt A g 0 displaystyle A gamma 0 nbsp die Aquivalenztransformation zu den adjungierten Matrizen g 0 g m g 0 g m displaystyle gamma 0 gamma mu gamma 0 gamma mu dagger nbsp Mithilfe der Eigenschaften von g 5 displaystyle gamma 5 nbsp kann gezeigt werden dass die Spur jedes Produktes von Gamma Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren verschwindet Spur g m 1 g m 2 n 1 Spur g m 1 g m 2 n 1 g 5 g 5 Spur g 5 g m 1 g m 2 n 1 g 5 Spur g m 1 g m 2 n 1 g 5 g 5 Spur g m 1 g m 2 n 1 displaystyle begin aligned text Spur bigl gamma mu 1 dots gamma mu 2n 1 bigr amp text Spur bigl gamma mu 1 dots gamma mu 2n 1 gamma 5 gamma 5 bigr text Spur bigl gamma 5 gamma mu 1 dots gamma mu 2n 1 gamma 5 bigr amp text Spur bigl gamma mu 1 dots gamma mu 2n 1 gamma 5 gamma 5 bigr text Spur bigl gamma mu 1 dots gamma mu 2n 1 bigr end aligned nbsp Im vorletzten Schritt wurde dabei verwendet dass die Spur eines Produktes sich bei zyklischer Vertauschung der Faktoren nicht andert und demnach Spur g 5 B Spur B g 5 displaystyle text Spur gamma 5 B text Spur B gamma 5 nbsp gilt Fur die Spur eines Produktes von zwei Gamma Matrizen gilt weil die Spur zyklisch ist Spur g m g n 1 2 Spur g m g n g n g m 2 h m n 2 Spur 1 4 h m n displaystyle text Spur gamma mu gamma nu frac 1 2 text Spur gamma mu gamma nu gamma nu gamma mu frac 2 eta mu nu 2 text Spur 1 4 eta mu nu nbsp Die Spur von vier Gamma Matrizen reduziert man mit der Dirac Algebra auf die Spur von zwei 2 Spur g k g l g m g n Spur g k g l g m g n g l g m g n g k Spur g k g l g m g n g l g k g m g n g l g k g m g n g l g m g k g n g l g m g k g n g l g m g n g k 2 h k l Spur g m g n 2 h k m Spur g l g n 2 h k n Spur g l g m displaystyle begin array rcl 2 text Spur gamma kappa gamma lambda gamma mu gamma nu amp amp text Spur gamma kappa gamma lambda gamma mu gamma nu gamma lambda gamma mu gamma nu gamma kappa amp amp text Spur gamma kappa gamma lambda gamma mu gamma nu gamma lambda gamma kappa gamma mu gamma nu amp amp gamma lambda gamma kappa gamma mu gamma nu gamma lambda gamma mu gamma kappa gamma nu amp amp gamma lambda gamma mu gamma kappa gamma nu gamma lambda gamma mu gamma nu gamma kappa amp amp 2 eta kappa lambda text Spur gamma mu gamma nu 2 eta kappa mu text Spur gamma lambda gamma nu 2 eta kappa nu text Spur gamma lambda gamma mu end array nbsp Daher gilt Spur g k g l g m g n 4 h k l h m n h k m h l n h k n h l m displaystyle begin array rcl text Spur gamma kappa gamma lambda gamma mu gamma nu amp amp 4 eta kappa lambda eta mu nu eta kappa mu eta lambda nu eta kappa nu eta lambda mu end array nbsp Falls also verschiedene Dirac Matrizen in einem Produkt nicht paarweise auftauchen verschwindet die Spur des Produktes Daraus folgt unter anderem dass die sechzehn Matrizen die man als Produkt von Null bis vier verschiedenen Gamma Matrizen erhalt linear unabhangig sind Dirac Gleichung BearbeitenDirac fuhrte die Gamma Matrizen ein um die Klein Gordon Gleichung die eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist in eine Gleichung erster Ordnung umzuwandeln In naturlichen Einheiten kann die Dirac Gleichung wie folgt geschrieben werden i g m m m ps 0 displaystyle mathrm i gamma mu partial mu m psi 0 nbsp wobei ps displaystyle psi nbsp ein Dirac Spinor ist Multipliziert man beide Seiten mit i g n n m displaystyle mathrm i gamma nu partial nu m nbsp erhalt man h m n m n m 2 ps 2 m 2 ps 0 displaystyle eta mu nu partial mu partial nu m 2 psi partial 2 m 2 psi 0 nbsp also gerade die Klein Gordon Gleichung fur ein Teilchen der Masse m displaystyle m nbsp Zusammenhang zu Lorentz Transformationen BearbeitenDie sechs Matrizen S m n 1 4 g m g n g n g m displaystyle Sigma mu nu frac 1 4 bigl gamma mu gamma nu gamma nu gamma mu bigr nbsp bilden die Basis einer Lie Algebra die der Lie Algebra der Lorentztransformationen isomorph ist Sie erzeugen die zu Lorentztransformationen die stetig mit der 1 zusammenhangen gehorigen Transformationen der Spinoren ps displaystyle psi nbsp Chiralitat Bearbeiten Aus g 5 2 1 displaystyle gamma 5 2 1 nbsp und Spur g 5 0 displaystyle text Spur gamma 5 0 nbsp folgt dass die Matrizen P L 1 g 5 2 P R 1 g 5 2 displaystyle P L frac 1 gamma 5 2 quad P R frac 1 gamma 5 2 nbsp Projektoren sind P L 2 P L P R 2 P R displaystyle P L 2 P L P R 2 P R nbsp die auf zueinander komplementare zweidimensionale Unterraume projizieren P L P R 0 Spur P L Spur P R 2 P L P R 1 displaystyle P L P R 0 text Spur P L text Spur P R 2 quad P L P R 1 nbsp Diese Unterraume unterscheiden Teilchen verschiedener Chiralitat Weil g 5 displaystyle gamma 5 nbsp mit den Erzeugenden von Spinortransformationen vertauscht g 5 S m n S m n g 5 displaystyle gamma 5 Sigma mu nu Sigma mu nu gamma 5 nbsp sind die Unterraume auf die P L displaystyle P L nbsp und P R displaystyle P R nbsp projizieren invariant unter den von S m n displaystyle Sigma mu nu nbsp erzeugten Lorentztransformationen mit anderen Worten Die links und rechtshandigen Anteile ps L P L ps displaystyle psi L P L psi nbsp und ps R P R ps displaystyle psi R P R psi nbsp eines Spinors ps displaystyle psi nbsp transformieren getrennt voneinander Da P L displaystyle P L nbsp und P R displaystyle P R nbsp hermitesch sind weil g 5 displaystyle gamma 5 nbsp hermitesch ist gilt fur ps L P L ps g 0 ps P L g 0 ps P L g 0 ps g 0 P R ps P R displaystyle bar psi L P L psi dagger gamma 0 psi dagger P L dagger gamma 0 psi dagger P L gamma 0 psi dagger gamma 0 P R bar psi P R nbsp wobei ps displaystyle bar psi nbsp allgemein definiert wird als ps ps g 0 displaystyle bar psi psi dagger gamma 0 nbsp Die Anderung P L P R displaystyle P L rightarrow P R nbsp ergibt sich aus der Vertauschung von g 5 displaystyle gamma 5 nbsp mit g 0 displaystyle gamma 0 nbsp Da g 5 displaystyle gamma 5 nbsp mit g 0 displaystyle gamma 0 nbsp antikommutiert andert sich das Vorzeichen vor g 5 displaystyle gamma 5 nbsp im Projektionsoperator P L 1 g 5 2 P R 1 g 5 2 displaystyle P L frac 1 gamma 5 2 rightarrow P R frac 1 gamma 5 2 nbsp Ganz analog erhalt man fur ps R ps P L displaystyle bar psi R bar psi P L nbsp Paritat Bearbeiten Wegen g 0 g 5 g 0 g 5 displaystyle gamma 0 gamma 5 gamma 0 gamma 5 nbsp andert ein Term der g 5 displaystyle gamma 5 nbsp enthalt unter der Paritatstransformation sein Vorzeichen es macht also aus Skalaren Pseudoskalare und aus Vektoren Pseudovektoren Allgemein folgen Grossen die man aus ps ps A ps g 0 displaystyle overline psi psi dagger A psi dagger gamma 0 nbsp Gamma Matrizen und einem eventuell von ps displaystyle psi nbsp verschiedenen Spinor x displaystyle chi nbsp zusammensetzt einem Transformationsgesetz das am Indexbild ablesbar ist Es transformieren ps x displaystyle overline psi chi nbsp wie ein Skalar ps g m x displaystyle overline psi gamma mu chi nbsp wie die Komponenten eines Vierervektors ps S m n x displaystyle overline psi Sigma mu nu chi nbsp wie die Komponenten eines Bivektors bzw antisymmetrischen Tensors ps g m g 5 x displaystyle overline psi gamma mu gamma 5 chi nbsp wie die Komponenten eines Vierer Pseudovektors ps g 5 x displaystyle overline psi gamma 5 chi nbsp wie ein Pseudoskalar Feynman Slash Notation BearbeitenRichard Feynman erfand die nach ihm benannte Slash Notation auch Feynman Dolch oder Feynman Dagger In dieser Notation wird das Skalarprodukt eines Lorentzvektors mit dem Vektor der Gamma Matrizen m 0 3 g m A m displaystyle textstyle sum mu 0 3 gamma mu A mu nbsp abgekurzt geschrieben als A d e f m 0 3 g m A m displaystyle A stackrel mathrm def sum mu 0 3 gamma mu A mu nbsp Dadurch kann z B die Dirac Gleichung sehr ubersichtlich geschrieben werden als i m c ℏ ps x 0 displaystyle Bigl mathrm i partial frac mc hbar Bigr psi x 0 nbsp oder in naturlichen Einheiten i m ps x 0 displaystyle Bigl mathrm i partial m Bigr psi x 0 nbsp Dirac Darstellung BearbeitenIn einer geeigneten Basis haben die Gamma Matrizen die auf Dirac zuruckgehende Form verschwindende Matrixelemente nicht ausgeschrieben g 0 1 1 1 1 g 1 1 1 1 1 g 2 i i i i g 3 1 1 1 1 displaystyle begin array c c gamma 0 begin pmatrix 1 amp amp amp amp 1 amp amp amp amp 1 amp amp amp amp 1 end pmatrix amp gamma 1 begin pmatrix amp amp amp 1 amp amp 1 amp amp 1 amp amp 1 amp amp amp end pmatrix amp gamma 2 begin pmatrix amp amp amp mathrm i amp amp mathrm i amp amp mathrm i amp amp mathrm i amp amp amp end pmatrix amp gamma 3 begin pmatrix amp amp 1 amp amp amp amp 1 1 amp amp amp amp 1 amp amp end pmatrix end array nbsp Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli Matrizen schreiben jeder Eintrag steht hier fur eine 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrix g 0 1 1 g i s i s i i 1 2 3 g 5 1 1 displaystyle gamma 0 begin pmatrix 1 amp amp 1 end pmatrix quad gamma i begin pmatrix amp sigma i sigma i amp end pmatrix i in 1 2 3 quad gamma 5 begin pmatrix amp 1 1 amp end pmatrix nbsp Die Diracmatrizen lassen sich mit Hilfe des Kronecker Produktes auch folgendermassen generieren g 0 s 3 1 g i i s 2 s i i 1 2 3 g 5 s 1 1 displaystyle gamma 0 sigma 3 otimes 1 quad gamma i mathrm i sigma 2 otimes sigma i i in 1 2 3 quad gamma 5 sigma 1 otimes 1 nbsp Weyl Darstellung BearbeitenDie nach Hermann Weyl benannte Weyl Darstellung heisst auch chirale Darstellung In ihr ist g 5 displaystyle gamma 5 nbsp diagonal g 5 1 1 P L 1 g 5 2 1 0 P R 1 g 5 2 0 1 displaystyle gamma 5 begin pmatrix 1 amp amp 1 end pmatrix quad P L frac 1 gamma 5 2 begin pmatrix 1 amp amp 0 end pmatrix quad P R frac 1 gamma 5 2 begin pmatrix 0 amp amp 1 end pmatrix nbsp Im Vergleich zur Dirac Darstellung werden g 0 displaystyle gamma 0 nbsp und g 5 displaystyle gamma 5 nbsp verandert die raumlichen g displaystyle gamma nbsp Matrizen bleiben unverandert g 0 1 1 g i s i s i g 5 1 1 displaystyle gamma 0 begin pmatrix amp 1 1 amp end pmatrix quad gamma i begin pmatrix amp sigma i sigma i amp end pmatrix quad gamma 5 begin pmatrix 1 amp amp 1 end pmatrix nbsp Die Weyldarstellung ergibt sich durch einen unitaren Basiswechsel aus der Dirac Darstellung g Weyl m U g Dirac m U 1 mit U 1 2 1 1 1 1 U 1 U 1 2 1 1 1 1 displaystyle gamma text Weyl mu U gamma text Dirac mu U 1 text mit U frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end pmatrix U 1 U dagger frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end pmatrix nbsp Spinortransformationen transformieren in der Weyl Basis die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten des Dirac Spinors getrennt Die chirale Darstellung ist von besonderer Bedeutung in der Weyl Gleichung der masselosen Dirac Gleichung Majorana Darstellung BearbeitenIn der Majorana Darstellung sind alle Gamma Matrizen imaginar Dann ist die Dirac Gleichung ein reelles Differentialgleichungssystem g 0 s 2 s 2 g 1 i s 3 i s 3 g 2 i i g 3 i s 1 i s 1 g 5 i i displaystyle begin aligned gamma 0 amp begin pmatrix amp sigma 2 sigma 2 amp end pmatrix amp gamma 1 amp begin pmatrix amp mathrm i sigma 3 mathrm i sigma 3 amp end pmatrix amp amp amp amp gamma 2 amp begin pmatrix mathrm i amp amp mathrm i end pmatrix amp gamma 3 amp begin pmatrix amp mathrm i sigma 1 mathrm i sigma 1 amp end pmatrix amp gamma 5 amp begin pmatrix amp mathrm i mathrm i amp end pmatrix end aligned nbsp Literatur BearbeitenJames Bjorken und Sidney Drell Relativistische Quantenmechanik BI Wissenschaftsverlag Mannheim 1990 BI Hochschultaschenbuch Band 98 ISBN 3 411 00098 8 Michael Peskin and Daniel V Schroeder An Introduction to Quantum Field Theory Addison Wesley Publishing Co New York 1995 ISBN 0 201 50397 2 Josef Maria Jauch and Fritz Rohrlich The theory of photons and electrons Addison Wesley Publishing Co New York 1955 Ferdinando Gliozzi Joel Sherk and David Olive Supersymmetry Supergravity Theories and the Dual Spinor Model Nucl Phys B122 253 290 1977 Dirac Algebra in hoheren Dimensionen Franz Schwabl Quantenmechanik fur Fortgeschrittene QM II Springer Heidelberg ISBN 978 3 540 85076 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dirac Matrizen amp oldid 237685694
