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Unitäre Gruppe In der Mathematik bezeichnet die unitäre Gruppe U H displaystyle mathrm U H über einem komplexen Hilbertr

Unitäre Gruppe

In der Mathematik bezeichnet die unitäre Gruppe über einem komplexen Hilbertraum die Gruppe aller unitären komplex linearen Abbildungen über . Unitäre Gruppen und ihre Untergruppen spielen eine zentrale Rolle in der Quantenphysik, wo sie zur Beschreibung von Symmetrien der Wellenfunktion dienen.

Eigenschaften Bearbeiten

Im allgemeinen Fall ist die unitäre Gruppe mit der Supremumsnorm eine Banach-Lie-Gruppe. Man kann die unitäre Gruppe mit der schwachen Operator-Topologie versehen. Diese fällt, eingeschränkt auf die unitäre Gruppe, mit der starken Operator-Topologie zusammen. Für endlichdimensionale Hilberträume fallen die von der Supremumsnorm induzierte Topologie und die Operator-Topologie zusammen.

Die unitäre Gruppe über einem endlichdimensionalen Hilbertraum der Dimension ist eine reelle Lie-Gruppe der Dimension und wird mit bezeichnet. Die Gruppe ist eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe und lässt sich konkret realisieren durch die Menge der unitären Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Gruppenoperation. Für gegebenes bilden die unitären Matrizen mit Determinante 1 eine mit bezeichnete Untergruppe von , die spezielle unitäre Gruppe.

Beispiel Bearbeiten

Die neben der trivialen Gruppe einfachste unitäre Gruppe ist U(1), die sogenannte Kreisgruppe, die Gruppe der linearen Abbildungen der komplexen Zahlen, die das Betragsquadrat unverändert lassen, mit der Verkettung als Gruppenoperation. Die Gruppe ist abelsch und lässt sich konkret realisieren durch die Menge der Funktionen , die jeweils eine gegebene komplexe Zahl mit einem Phasenfaktor multiplizieren, wobei eine reelle Zahl ist:

Die Abbildung beschreibt eine Drehung der komplexen Zahlenebene um den Winkel . Diese Gruppe ist topologisch isomorph zur Gruppe mit der Multiplikation komplexer Zahlen als Gruppenoperation.

Das Zentrum von für beliebiges ist , wobei die n-dimensionale Einheitsmatrix sei, und daher isomorph zu

Literatur Bearbeiten

  • Alexander Altland, Jan von Delft: Mathematics for Physicists, Cambridge University Press, Cambridge 2019, ISBN 978-1-108-47122-0
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In der Mathematik bezeichnet die unitare Gruppe U H displaystyle mathrm U H uber einem komplexen Hilbertraum H displaystyle H die Gruppe aller unitaren komplex linearen Abbildungen uber H displaystyle H Unitare Gruppen und ihre Untergruppen spielen eine zentrale Rolle in der Quantenphysik wo sie zur Beschreibung von Symmetrien der Wellenfunktion dienen Eigenschaften BearbeitenIm allgemeinen Fall ist die unitare Gruppe mit der Supremumsnorm eine Banach Lie Gruppe Man kann die unitare Gruppe mit der schwachen Operator Topologie versehen Diese fallt eingeschrankt auf die unitare Gruppe mit der starken Operator Topologie zusammen Fur endlichdimensionale Hilbertraume fallen die von der Supremumsnorm induzierte Topologie und die Operator Topologie zusammen Die unitare Gruppe uber einem endlichdimensionalen Hilbertraum H displaystyle H nbsp der Dimension n displaystyle n nbsp ist eine reelle Lie Gruppe der Dimension n 2 displaystyle n 2 nbsp und wird mit U n displaystyle mathrm U n nbsp bezeichnet Die Gruppe U n displaystyle mathrm U n nbsp ist eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe G L n C displaystyle mathrm GL n mathbb C nbsp und lasst sich konkret realisieren durch die Menge der unitaren n n displaystyle n times n nbsp Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Gruppenoperation Fur gegebenes n displaystyle n nbsp bilden die unitaren Matrizen mit Determinante 1 eine mit S U n displaystyle mathrm SU n nbsp bezeichnete Untergruppe von U n displaystyle mathrm U n nbsp die spezielle unitare Gruppe Beispiel BearbeitenDie neben der trivialen Gruppe U 0 displaystyle mathrm U 0 nbsp einfachste unitare Gruppe ist U 1 die sogenannte Kreisgruppe die Gruppe der linearen Abbildungen der komplexen Zahlen die das Betragsquadrat unverandert lassen mit der Verkettung als Gruppenoperation Die Gruppe ist abelsch und lasst sich konkret realisieren durch die Menge der Funktionen u a displaystyle u alpha nbsp die jeweils eine gegebene komplexe Zahl mit einem Phasenfaktor e i a displaystyle e mathrm i alpha nbsp multiplizieren wobei a displaystyle alpha nbsp eine reelle Zahl ist u a z e i a z displaystyle u alpha z e mathrm i alpha z nbsp Die Abbildung u a displaystyle u alpha nbsp beschreibt eine Drehung der komplexen Zahlenebene um den Winkel a displaystyle alpha nbsp Diese Gruppe ist topologisch isomorph zur Gruppe z C z 1 displaystyle z in mathbb C z 1 nbsp mit der Multiplikation komplexer Zahlen als Gruppenoperation Das Zentrum von U n displaystyle mathrm U n nbsp fur beliebiges n displaystyle n nbsp ist z 1 n z C z 1 displaystyle z cdot 1 n z in mathbb C z 1 nbsp wobei 1 n displaystyle 1 n nbsp die n dimensionale Einheitsmatrix sei und daher isomorph zu U 1 displaystyle mathrm U 1 nbsp Literatur BearbeitenAlexander Altland Jan von Delft Mathematics for Physicists Cambridge University Press Cambridge 2019 ISBN 978 1 108 47122 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Unitare Gruppe amp oldid 215159051