Die Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonale eins und überall sonst null sind. Die Einheitsmatrix ist im Ring der quadratischen Matrizen das neutrale Element bezüglich der Matrizenmultiplikation. Sie ist symmetrisch, selbstinvers, idempotent und hat maximalen Rang. Die Einheitsmatrix ist die Darstellungsmatrix der Identitätsabbildung eines endlichdimensionalen Vektorraums. Sie wird unter anderem bei der Definition des charakteristischen Polynoms einer Matrix, orthogonaler und unitärer Matrizen, sowie in einer Reihe geometrischer Abbildungen verwendet.
Definition Bearbeiten
Ist ein Ring mit Nullelement und Einselement , dann ist die Einheitsmatrix die quadratische Matrix
Eine Einheitsmatrix ist demnach eine Diagonalmatrix, bei der alle Elemente auf der Hauptdiagonale gleich sind. Als Schreibweise ist neben (von Identität) auch (von Einheit) gebräuchlich. Falls die Dimension aus dem Kontext hervorgeht, wird auch häufig auf den Index verzichtet und nur beziehungsweise geschrieben.
Beispiele Bearbeiten
Ist der Körper der reellen Zahlen und bezeichnen und die Zahlen Null und Eins, so sind Beispiele für Einheitsmatrizen:
Eigenschaften Bearbeiten
Elemente Bearbeiten
Die Elemente einer Einheitsmatrix lassen sich mit dem Kronecker-Delta
angeben. Die Einheitsmatrix der Größe kann so einfach durch
notiert werden. Die Zeilen und Spalten der Einheitsmatrix sind die kanonischen Einheitsvektoren , und man schreibt entsprechend
wenn die Einheitsvektoren Spaltenvektoren sind.
Neutralität Bearbeiten
Für jede Matrix gilt
Demnach ergibt das Produkt aus einer beliebigen Matrix mit der Einheitsmatrix wieder die gleiche Matrix. Die Menge der quadratischen Matrizen bildet zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation einen (nichtkommutativen) Ring . Die Einheitsmatrix ist dann das Einselement in diesem Matrizenring, also das neutrale Element bezüglich der Matrizenmultiplikation.
Symmetrien Bearbeiten
Die Einheitsmatrix ist symmetrisch, das heißt für ihre Transponierte gilt
und selbstinvers, das heißt für ihre Inverse gilt ebenfalls
Kenngrößen Bearbeiten
Für die Determinante der Einheitsmatrix gilt
was eine der drei definierenden Eigenschaften einer Determinante ist. Für die Spur der Einheitsmatrix gilt
Handelt es sich bei dem Ring um , , oder , erhält man demnach . Das charakteristische Polynom der Einheitsmatrix ergibt sich als
Der einzige Eigenwert ist demnach mit Vielfachheit . In der Tat gilt für alle des Moduls . Ist ein kommutativer Ring, so ist der Rang der Einheitsmatrix durch
gegeben.
Potenzen Bearbeiten
Die Einheitsmatrix ist idempotent, das heißt
und sie ist die einzige Matrix mit vollem Rang mit dieser Eigenschaft. Für das Matrixexponential einer reellen oder komplexen Einheitsmatrix gilt damit
wobei die eulersche Zahl ist.
Verwendung Bearbeiten
Lineare Algebra Bearbeiten
Die Menge der regulären Matrizen der Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation die allgemeine lineare Gruppe. Für alle Matrizen dieser Gruppe und ihre Inversen gilt dann
Das Zentrum dieser Gruppe sind gerade die Vielfachen (ungleich null) der Einheitsmatrix. Für eine orthogonale Matrix gilt nach Definition
und entsprechend dazu für eine unitäre Matrix
Diese Matrizen bilden jeweils Untergruppen der entsprechenden allgemeinen linearen Gruppe. Die nullte Potenz einer quadratischen Matrix wird als
festgelegt. Weiter wird die Einheitsmatrix bei der Definition des charakteristischen Polynoms
einer quadratischen Matrix verwendet. Die Einheitsmatrix ist die Darstellungsmatrix der Identitätsabbildung eines endlichdimensionalen Vektorraums .
Geometrie Bearbeiten
In der analytischen Geometrie werden Einheitsmatrizen unter anderem bei der Definition folgender Abbildungsmatrizen verwendet:
- Punktspiegelung am Koordinatenursprung:
- Zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor und dem Ursprung als Zentrum:
- Spiegelung an einer Ursprungsgerade mit Einheits-Richtungsvektor :
- Spiegelung an einer Ursprungsgerade (2D) oder Ursprungsebene (3D) mit Einheits-Normalenvektor :
- Projektion auf den Komplementärraum, wenn eine Projektionsmatrix auf eine Ursprungsebene oder -gerade ist:
Programmierung Bearbeiten
In dem numerischen Softwarepaket MATLAB wird die Einheitsmatrix der Größe durch die Funktion eye(n) erzeugt. In Mathematica erhält man die Einheitsmatrix durch IdentityMatrix[n].
Siehe auch Bearbeiten
- Einsmatrix, eine Matrix, die nur aus Einsen besteht
- Nullmatrix, eine Matrix, die nur aus Nullen besteht
- Standardmatrix, eine Matrix, die aus genau einer Eins und sonst nur Nullen besteht
- Permutationsmatrix, eine Matrix, die durch Zeilen- oder Spaltenvertauschungen aus einer Einheitsmatrix entsteht
- Elementarmatrix, eine Matrix, die sich nur an einer Position oder durch Zeilentausch von einer Einheitsmatrix unterscheidet
Literatur Bearbeiten
- Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-29884-3.
- Karsten Schmidt, Götz Trenkler: Einführung in die Moderne Matrix-Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-33008-9.
Weblinks Bearbeiten
- Eric W. Weisstein: Identity Matrix. In: MathWorld (englisch).
- mathcam: Identity matrix. In: PlanetMath. (englisch)
Einzelnachweise Bearbeiten
- Christoph W. Überhuber, Stefan Katzenbeisser, Dirk Praetorius: MATLAB 7: Eine Einführung. Springer, 2007, S. 18.