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Matrixpotenz In der linearen Algebra bezeichnet die das Ergebnis einer wiederholten Matrixmultiplikation Inhaltsverzeich

Matrixpotenz

In der linearen Algebra bezeichnet die Matrixpotenz das Ergebnis einer wiederholten Matrixmultiplikation.

Definition Bearbeiten

Die Potenz einer quadratischen Matrix über einem Halbring wird analog zur Potenz einer Zahl als wiederholte Multiplikation definiert. Ist eine quadratische Matrix, so ist

Allgemein:

Formaler definiert man die Potenz rekursiv: Ist eine quadratische Matrix, so ist

  • und
  • für alle gilt .

Eigenschaften Bearbeiten

Es gelten die Potenzgesetze: Für alle gilt

  • ,
  • .

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Negative Exponenten Bearbeiten

Für invertierbare Matrizen sind auch Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten definiert. Die Schreibweise für die inverse Matrix kann auch als Matrixpotenz interpretiert werden. Für negative Exponenten , , setzt man

Gebrochene Exponenten Bearbeiten

Matrixpotenzen mit nicht ganzzahligen Exponenten, beispielsweise die Quadratwurzel einer Matrix, können nur in Sonderfällen definiert werden.

In manchen Fällen kann die Matrixpotenz auf die Potenz von reellen Zahlen zurückgeführt werden. Lässt sich die Matrix diagonalisieren, existieren also eine reguläre Matrix und eine Diagonalmatrix mit (d. h. ist ähnlich zu ), so gilt

Die Potenz einer Diagonalmatrix erhält man durch Potenzieren der Diagonalelemente. Sind die Diagonalelemente von (also die Eigenwerte von ) positiv, so bleiben obige Potenzgesetze auch für gebrochene Exponenten gültig.

Wenn sich eine Matrix nicht diagonalisieren lässt, so findet man eine sinnvolle Verallgemeinerung der Matrixpotenz über die binomische Reihe. Eine schnelle Berechnungsmethode für diese Verallgemeinerung erhält man über die Jordansche Normalform. Ist eine Jordanzerlegung, dann gilt

Effiziente Berechnung Bearbeiten

Ist der Exponent eine ganze Zahl, so lässt sich die Matrixpotenz effizient mit binärer Exponentiation berechnen. Die Einschränkungen an den Zahlenbereich der Matrixelemente sind gering:

  • Ist der Exponent nicht-negativ, so müssen die Matrixelemente in einem Ring liegen.
  • Ist der Exponent negativ, so müssen die Matrixelemente in einem Körper liegen.

Ist der Zahlenbereich der Matrixelemente algebraisch abgeschlossen, kann man also darin beliebige algebraische Gleichungen lösen, so kann der Exponent auch rational sein und die Matrixpotenz kann über die Jordansche Normalform von auf Potenzen von skalaren Werten zurückgeführt werden, siehe oben.

Anwendungen Bearbeiten

Polynome und Potenzreihen Bearbeiten

Mittels der Matrixpotenz lassen sich Polynome auch für Matrizen definieren. Ein Beispiel dafür ist z. B. das Minimalpolynom. Genauso kann man auch Potenzreihen für Matrizen definieren, die wichtigsten Reihen sind dabei der Matrixlogarithmus, das Matrixexponential sowie die Neumann-Reihe.

Graphentheorie Bearbeiten

Durch geeignete Wahl des zugrunde liegenden Halbrings lässt sich das Finden der kürzesten Pfade in einem Graphen auf die Berechnung einer Potenz der Adjazenzmatrix des Graphen zurückführen. Die Min-Plus-Matrixmultiplikation erhält man, indem man als Trägermenge von die erweiterten reellen Zahlen wählt. Die Addition in entspricht dann der Minimumbildung in und die Multiplikation in der Addition in , wobei man setzt. Die absorbierende Null in ist dann , während das Einselement in durch die Zahl dargestellt wird. Ist nun die Kostenmatrix eines Graphen mit Knoten, dann ist die zugehörige Entfernungsmatrix mit den Längen der kürzesten Pfade zwischen allen Knoten des Graphen. Da die Addition in idempotent ist, ist .

Weitere Anwendungen Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen (= Springer-Lehrbuch). Springer Spektrum, Berlin u. a. 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.
  • Gilbert Strang: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger (= Springer-Lehrbuch). Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-43949-8 (englisch: Introduction to linear algebra. Übersetzt von Michael Dellnitz).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. (PDF; 72 kB) Archiviert vom Original am 4. März 2018; abgerufen am 27. Februar 2022., Archivlink
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Veröffentlichungsdatum:
In der linearen Algebra bezeichnet die Matrixpotenz das Ergebnis einer wiederholten Matrixmultiplikation Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Verallgemeinerungen 3 1 Negative Exponenten 3 2 Gebrochene Exponenten 4 Effiziente Berechnung 5 Anwendungen 5 1 Polynome und Potenzreihen 5 2 Graphentheorie 5 3 Weitere Anwendungen 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Potenz einer quadratischen Matrix A R n n displaystyle A in R n times n nbsp uber einem Halbring R displaystyle R nbsp wird analog zur Potenz einer Zahl als wiederholte Multiplikation definiert Ist A displaystyle A nbsp eine quadratische Matrix so ist A 0 E A 1 A A 2 A A A 3 A A A displaystyle A 0 E quad A 1 A quad A 2 A cdot A quad A 3 A cdot A cdot A nbsp usw Allgemein A n A A A n mal displaystyle A n underbrace A cdot A dotsc A n text mal nbsp Formaler definiert man die Potenz rekursiv Ist A displaystyle A nbsp eine quadratische Matrix so ist A 0 E displaystyle A 0 E nbsp und fur alle k N 0 1 2 displaystyle k in mathbb N 0 1 2 dotsc nbsp gilt A k 1 A k A displaystyle A k 1 A k cdot A nbsp Eigenschaften BearbeitenEs gelten die Potenzgesetze Fur alle n m N displaystyle n m in mathbb N nbsp gilt A n m A n A m displaystyle A n m A n cdot A m nbsp A n m A n m displaystyle A n cdot m left A n right m nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenNegative Exponenten Bearbeiten Fur invertierbare Matrizen sind auch Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten definiert Die Schreibweise A 1 displaystyle A 1 nbsp fur die inverse Matrix kann auch als Matrixpotenz interpretiert werden Fur negative Exponenten n displaystyle n nbsp n N displaystyle n in mathbb N nbsp setzt man A n A 1 n displaystyle A n left A 1 right n nbsp Gebrochene Exponenten Bearbeiten Matrixpotenzen mit nicht ganzzahligen Exponenten beispielsweise die Quadratwurzel einer Matrix konnen nur in Sonderfallen definiert werden In manchen Fallen kann die Matrixpotenz auf die Potenz von reellen Zahlen zuruckgefuhrt werden Lasst sich die Matrix A displaystyle A nbsp diagonalisieren existieren also eine regulare Matrix T displaystyle T nbsp und eine Diagonalmatrix D displaystyle D nbsp mit A T D T 1 displaystyle A T cdot D cdot T 1 nbsp d h A displaystyle A nbsp ist ahnlich zu D displaystyle D nbsp so gilt A n T D n T 1 displaystyle A n T cdot D n cdot T 1 nbsp Die Potenz einer Diagonalmatrix erhalt man durch Potenzieren der Diagonalelemente Sind die Diagonalelemente von D displaystyle D nbsp also die Eigenwerte von A displaystyle A nbsp positiv so bleiben obige Potenzgesetze auch fur gebrochene Exponenten gultig Wenn sich eine Matrix nicht diagonalisieren lasst so findet man eine sinnvolle Verallgemeinerung der Matrixpotenz uber die binomische Reihe Eine schnelle Berechnungsmethode fur diese Verallgemeinerung erhalt man uber die Jordansche Normalform Ist A T J T 1 displaystyle A T cdot J cdot T 1 nbsp eine Jordanzerlegung dann gilt A n T J n T 1 displaystyle A n T cdot J n cdot T 1 nbsp Effiziente Berechnung BearbeitenIst der Exponent eine ganze Zahl so lasst sich die Matrixpotenz effizient mit binarer Exponentiation berechnen Die Einschrankungen an den Zahlenbereich der Matrixelemente sind gering Ist der Exponent nicht negativ so mussen die Matrixelemente in einem Ring liegen Ist der Exponent negativ so mussen die Matrixelemente in einem Korper liegen Ist der Zahlenbereich der Matrixelemente algebraisch abgeschlossen kann man also darin beliebige algebraische Gleichungen losen so kann der Exponent auch rational sein und die Matrixpotenz kann uber die Jordansche Normalform von A displaystyle A nbsp auf Potenzen von skalaren Werten zuruckgefuhrt werden siehe oben Anwendungen BearbeitenPolynome und Potenzreihen Bearbeiten Mittels der Matrixpotenz lassen sich Polynome auch fur Matrizen definieren Ein Beispiel dafur ist z B das Minimalpolynom Genauso kann man auch Potenzreihen fur Matrizen definieren die wichtigsten Reihen sind dabei der Matrixlogarithmus das Matrixexponential sowie die Neumann Reihe Graphentheorie Bearbeiten Durch geeignete Wahl des zugrunde liegenden Halbrings R displaystyle R nbsp lasst sich das Finden der kurzesten Pfade in einem Graphen auf die Berechnung einer Potenz der Adjazenzmatrix des Graphen zuruckfuhren Die Min Plus Matrixmultiplikation erhalt man indem man als Tragermenge von R displaystyle R nbsp die erweiterten reellen Zahlen R R displaystyle mathbb R ast mathbb R cup infty nbsp wahlt Die Addition in R displaystyle R nbsp entspricht dann der Minimumbildung in R displaystyle mathbb R ast nbsp und die Multiplikation in R displaystyle R nbsp der Addition in R displaystyle mathbb R ast nbsp wobei man x x displaystyle x infty infty x infty nbsp setzt Die absorbierende Null in R displaystyle R nbsp ist dann displaystyle infty nbsp wahrend das Einselement in R displaystyle R nbsp durch die Zahl 0 displaystyle 0 nbsp dargestellt wird Ist nun K R n n displaystyle K in R n times n nbsp die Kostenmatrix eines Graphen mit n displaystyle n nbsp Knoten dann ist D k 0 n K k displaystyle textstyle D sum k 0 n K k nbsp die zugehorige Entfernungsmatrix mit den Langen der kurzesten Pfade zwischen allen Knoten des Graphen Da die Addition in R displaystyle R nbsp idempotent ist ist D 1 K n displaystyle D 1 K n nbsp Weitere Anwendungen Bearbeiten In der theoretischen Okonomie bzw Biologie werden Matrixpotenzen zur Analyse langfristiger Populationsentwicklungen eingesetzt beispielsweise unter Nutzung einer Leslie Matrix 1 Des Weiteren gibt es Anwendungen bei der Stereobasisverbreiterung Literatur BearbeitenPeter Knabner Wolf Barth Lineare Algebra Grundlagen und Anwendungen Springer Lehrbuch Springer Spektrum Berlin u a 2013 ISBN 978 3 642 32185 6 Gilbert Strang Lineare Algebra Eine Einfuhrung fur Studienanfanger Springer Lehrbuch Springer Berlin 2003 ISBN 3 540 43949 8 englisch Introduction to linear algebra Ubersetzt von Michael Dellnitz Einzelnachweise Bearbeiten Populationsentwicklung PDF 72 kB Archiviert vom Original am 4 Marz 2018 abgerufen am 27 Februar 2022 Archivlink Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Matrixpotenz amp oldid 234401440