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Matrixexponential In der Mathematik ist das auch als funktion bezeichnet eine Funktion auf der Menge der quadratischen M

Matrixexponential

In der Mathematik ist das Matrixexponential, auch als Matrixexponentialfunktion bezeichnet, eine Funktion auf der Menge der quadratischen Matrizen, welche analog zur gewöhnlichen (skalaren) Exponentialfunktion definiert ist. Das Matrixexponential stellt die Verbindung zwischen Lie-Algebra und der zugehörigen Lie-Gruppe her.

Definition Bearbeiten

Sei eine reelle oder komplexe -Matrix. Das Exponential von , welches mit oder bezeichnet wird, ist die -Matrix, welche durch die folgende Potenzreihe definiert ist (Taylor-Entwicklung):

Diese Reihe konvergiert, genauso wie die der gewöhnlichen Exponentialfunktion, immer. Daher ist das Exponential von wohldefiniert. Wenn eine -Matrix ist, entspricht das Matrixexponential von der gewöhnlichen Exponentialfunktion. Eine Verallgemeinerung, welche auch für unendliche Matrizen sinnvoll ist, ist die Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren.

Eigenschaften Bearbeiten

Das Matrixexponential teilt eine Reihe der Eigenschaften der gewöhnlichen Exponentialfunktion. Beispielsweise ist das Exponential der -Nullmatrix gleich der -Einheitsmatrix :

Für beliebige komplexe -Matrizen und beliebige komplexe Zahlen und gilt

Daraus folgt

das heißt

Dabei bezeichnet die zu inverse Matrix.

Die Exponentialfunktion erfüllt für alle Zahlen und . Dasselbe gilt für kommutierende Matrizen und , das heißt, aus

folgt

Für nichtkommutierende Matrizen stimmt diese Gleichung im Allgemeinen nicht. In diesem Fall kann man mit Hilfe der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel berechnen.

Das Exponential der zu transponierten Matrix ist gleich der Transposition des Exponentials von :

Daraus folgt, dass die Matrixexponentialfunktion symmetrische Matrizen auf symmetrische Matrizen und schiefsymmetrische Matrizen auf orthogonale Matrizen abbildet. Analog gilt zwischen Adjunktion und Exponentiation die Beziehung

so dass die Matrixexponentialfunktion hermitesche Matrizen auf hermitesche Matrizen und schiefhermitesche Matrizen auf unitäre Matrizen abbildet.

Weiterhin gelten:

  • Wenn invertierbar ist, dann ist .
  • , hier bezeichnet die Spur der quadratischen Matrix .
  • .

Die Exponentialabbildung Bearbeiten

Das Exponential einer Matrix ist immer eine invertierbare Matrix. Die Inverse von ist durch gegeben. Das (komplexe) Matrixexponential liefert somit eine Abbildung

aus dem Vektorraum aller (komplexen) -Matrizen in die allgemeine lineare Gruppe, die Gruppe aller (komplexen) invertierbaren Matrizen. Diese Abbildung ist kein Gruppenhomomorphismus auf der gesamten Gruppe , aber auf jeder Untergruppe, deren Matrizen multiplikativ miteinander kommutieren. Des Weiteren ist sie surjektiv, das heißt, jede (reelle oder komplexe) invertierbare Matrix kann als die Exponentialmatrix einer komplexen Matrix geschrieben werden. Urbilder (bzw. lokale Schnitte) lassen sich durch Matrixlogarithmen berechnen.

Für je zwei Matrizen und gilt

wobei eine beliebige Matrixnorm bezeichnet. Daraus folgt, dass die Exponentialabbildung stetig und auf kompakten Teilmengen von sogar lipschitzstetig ist. Für die Norm des Matrixexponentials selbst gibt es aber eine präzisere Schranke

mit der logarithmischen Matrixnorm und dem numerischen Wertebereich.

Die Zuordnung

definiert eine glatte Kurve in der allgemeinen linearen Gruppe, welche für die Einheitsmatrix liefert. Dies liefert eine Einparameter-Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe, da

gilt. Die Ableitung dieser Funktion im Punkt ist durch

gegeben. Die Ableitung für ist gerade die Matrix , das heißt, erzeugt diese Einparameter-Untergruppe.

Allgemeiner gilt:

Beispiele von Lie-Algebren und zugehörigen Lie-Gruppen Bearbeiten

Lie-Gruppe Beispiel
Allgemeine lineare Gruppe

.

Orthogonale Gruppe

Unitäre Gruppe

Spezielle unitäre Gruppe
 wird von surjektiv auf
abgebildet.
Spezielle orthogonale Gruppe
 (schiefsymmetrische Matrizen)
wird von surjektiv auf abgebildet.
Spezielle lineare Gruppe
 wird von nicht surjektiv auf abgebildet.
Notorisches Gegenbeispiel mit liegt nicht im Bild von .

Aus dem letzten Beispiel ist ersichtlich, dass die Exponentialabbildung für die Erzeugung von Lie-Gruppen (je nach Lie-Algebra) im Allgemeinen nicht surjektiv ist.

Lineare Differentialgleichungen Bearbeiten

Einer der Vorzüge des Matrixexponentials ist, dass man es benutzen kann, um Systeme von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen zu lösen, die z. B. für das Zustandsraummodell von dynamischen Übertragungssystemen verwendet werden. Aus Gleichung (1) oben folgt zum Beispiel, dass die Lösung des Anfangswertproblems

mit einer quadratischen Matrix durch

gegeben ist.

Das Matrixexponential kann auch zur Lösung der inhomogenen Gleichung

verwendet werden. Beispiele findet man unten im Kapitel Anwendungen.

Für Differentialgleichungen der Form

mit nicht-konstantem gibt es im Allgemeinen keine geschlossenen Lösungen. Die Magnus-Reihe liefert jedoch eine allgemeine Lösung in Matrixschreibweise über die Matrix-Exponentialfunktion auch im Fall nicht-konstanter Koeffizienten (als unendliche Reihe des Exponenten).

Berechnung des Matrixexponentials Bearbeiten

Taylor-Reihe Bearbeiten

Die Exponentialfunktion der Matrix und kann prinzipiell über ihre Taylor-Entwicklung berechnet werden:

Hierbei bezeichnet die Fakultät von . Bei ausreichender Genauigkeit (Reihe ist absolut konvergent) soll die Reihe bei einer endlichen Zahl an Berechnungsschritten abbrechen. Je größer die Einträge der Matrix sind, desto mehr Glieder der Reihe müssen aber berechnet werden (z. B. für die Lösung der linearen DGL für einen großen Zeitschritt). Um den Lösungsalgorithmus dahingehend zu verbessern, kann man die Einträge der Matrix mittels der Rechenregel elegant skalieren ("Scaling & Squaring"-Methode). Ist die (natürliche-) Matrixnorm nicht zu groß, kann die Berechnung der Reihe auch über die Padé-Approximation erfolgen. Die Scaling & Squaring-Methode hat einen Aufwand der Größenordnung (im Wesentlichen Matrizenmultiplikationen). Der Faktor von ist abhängig von den Skalierungsparametern sowie insbesondere von der Matrixnorm.

Nilpotenter Fall Bearbeiten

Eine Matrix ist nilpotent, wenn für eine geeignete natürliche Zahl gilt. In diesem Fall bricht die Reihenentwicklung von nach einer endlichen Anzahl von Termen ab und das Matrixexponential kann als

berechnet werden.

Diagonalisierung der Matrix Bearbeiten

Ist die Matrix eine Diagonalmatrix

dann kann man ihr Exponential ermitteln, indem man die gewöhnliche Exponentialfunktion auf jeden Eintrag der Hauptdiagonalen anwendet:

Damit kann man auch das Exponential einer diagonalisierbaren Matrix berechnen. Zur Diagonalisierung

mit einer Diagonalmatrix werden die zugehörige Eigenbasis sowie die Eigenwerte der Matrix bestimmt. Für die Matrix-Exponentialfunktion folgt daraus

mit der skalaren Exponentialfunktion . Der Beweis folgt direkt aus der Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion.

Die Diagonalisierung der Matrix gehört, wie auch der QR-Algorithmus oder die Jordansche Normalform, zu den Matrix-Zerlegungsmethoden zur Berechnung der Exponentialfunktion. Die Diagonalisierung und der QR-Algorithmus haben dabei jeweils einen Aufwand der Größenordnung und sind aber, im Vergleich zu Methoden auf Basis der Taylor-Entwicklung, unabhängig von . Der wesentliche Berechnungsaufwand (hier: Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren) ist zudem unabhängig von der Variablen . Zur Lösung beispielsweise von linearen Differentialgleichungen für mehrere Zeitschritte muss dieser Arbeitsaufwand also nur einmalig erbracht werden. Die Berechnung der weiteren Zeitschritte erfolgt bei der Methode Diagonalisierung durch einfache Matrizenmultiplikation und bei dem QR-Algorithmus liegt der Aufwand in der Größenordnung von nur noch .

Beispiel 1 Bearbeiten

Es soll das Matrixexponential für die folgende Matrix berechnet werden:

Hierzu wird die -Matrix zunächst mittels der Eigenwerte und den Eigenvektoren diagonalisiert. Mit der Diagonalmatrix und der Eigenbasis folgt:

Die Eigenwerte werden aus dem charakteristischen Polynom bestimmt zu

Für die beiden Eigenvektoren bzw. die Eigenbasis gilt:

Einsetzen für die Matrix-Exponentialfunktion liefert schließlich

als geschlossene analytische Lösung.

Beispiel 2 Bearbeiten

Die Matrix-Exponentialfunktion

kann explizit berechnet werden, jedoch ist die Matrix selbst nicht diagonalisierbar. Die Matrix besitzt die beiden Eigenwerte . Obwohl also der Eigenwert die algebraische Vielfachheit 2 hat, existiert nur ein linear unabhängiger Eigenvektor. Die Basis aus den Eigenvektoren

ist nicht invertierbar. Die Diskriminante des charakteristischen Polynoms

wird dabei immer null. In diesem Fall, also wenn gleiche Eigenwerte bzw. Eigenvektoren vorkommen, kann formell die Jordansche Normalform zur Transformation verwendet werden.

Splitting-Methode Bearbeiten

Zerfällt das Minimalpolynom (bzw. das charakteristische Polynom) der Matrix in Linearfaktoren (über ist das stets der Fall), dann kann eindeutig in eine Summe

zerlegt werden, wobei

  • diagonalisierbar ist,
  • nilpotent ist und
  • mit kommutiert (d. h. ).

Damit kann man das Exponential von berechnen, indem man es auf die vorgenannten Fälle reduziert: . Im letzten Schritt benötigt man die Kommutativität von und .

Verwendung der jordanschen Normalform Bearbeiten

Eine weitere Methode ist die Verwendung der jordanschen Normalform von , wobei auch die Splitting-Methode zum Einsatz kommt. Sei die jordansche Normalform von mit der Basiswechselmatrix , dann gilt

Wegen

gilt

Daher muss man nur das Exponential eines Jordan-Blocks kennen. Nun ist jeder Jordan-Block von der Form

wobei eine spezielle nilpotente Matrix ist. Das Exponential des Jordan-Blocks ist also

Beispiel Bearbeiten

Man betrachte die Matrix

welche die jordansche Normalform

mit der Übergangsmatrix

hat. Dann gelten

und

Somit ist

Das Exponential einer 1×1-Matrix ist trivial. Mit folgt

Die jordansche Normalform und daraus das Exponential zu berechnen, ist auf diesem Weg sehr mühsam. Meist reicht es, die Wirkung der Exponential-Matrix auf einige Vektoren zu berechnen.

Numerische Berechnung Bearbeiten

Die Jordan-Normalform-Zerlegung ist numerisch instabil, da aufgrund der Gleitkommaarithmetik Rundungsfehler in die Eigenwerte eingeführt werden, die eine Gruppierung der Eigenwerte in Gruppen identischer Eigenwerte unmöglich macht. Daher werden in der Numerik andere Techniken zur Berechnung des Matrixexponentials verwendet. Zu den effektivsten verfügbaren Algorithmen gehören die Padé-Approximation mit Skalieren und Quadrieren (s. Berechnung mittels Taylorreihe) oder die Matrix-Zerlegungsmethoden wie die Diagonalisierung der Matrix. Bei großen Matrizen kann der Rechenaufwand auch reduziert werden, indem Krylowräume verwendet werden, deren Basisvektoren mit dem Arnoldi-Verfahren orthogonalisiert worden sind.

Explizite Formeln Bearbeiten

Mittels der Diagonalisierung über die Eigenwerte und Eigenvektoren ist die Darstellung der Matrix-Exponentialfunktion einer -Matrix auch als explizite Formel möglich. Insbesondere der Umweg über die teils komplexen Eigenwerte ist damit nicht mehr notwendig:

Für die Hilfsfunktion gilt in Abhängigkeit der reellen, komplexen, oder gleichen Eigenwerte (anhand der Diskriminante des charakteristischen Polynoms):

Putzer-Algorithmus Bearbeiten

Eine weitere Möglichkeit, das Matrixexpontial zu berechnen, ist der Putzer-Algorithmus. Dabei definiert man bei gegebener Matrix und rekursiv stetig-differenzierbare Funktion und Matrizen , so dass gilt:

Die Lösung des Matrixexponentials einer -Matrix wird hierbei als Polynom erhalten. Die Berechnung hat dabei einen Aufwand der Größenordnung (Berechnung der Eigenwerte sowie insbesondere Matrizenmultiplikationen) und eignet sich daher eher nur für kleine Matrizen.

Anwendungen Bearbeiten

Homogene lineare Differentialgleichungen Bearbeiten

Das Matrixexponential kann für die Lösung eines Systems von linearen Differentialgleichungen verwendet werden. Eine Differentialgleichung der Form

hat die Lösung . Wenn man den Vektor

betrachtet, dann kann man ein System von gekoppelten linearen Differentialgleichungen betrachten als

Wenn man den Integrationsfaktor ansetzt und auf beiden Seiten multipliziert, erhält man

also

Wenn man berechnet, erhält man eine Lösung des Differentialgleichungssystems.

Beispiel (homogen) Bearbeiten

Gegeben sei das folgende Differentialgleichungssystem

Es lässt sich schreiben als mit der Koeffizientenmatrix

Damit ergibt sich das zugehörige Matrixexponential zu

Als allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems erhält man somit

Inhomogener Fall – Variation der Konstanten Bearbeiten

Für den inhomogenen Fall kann man die Methode der Variation der Konstanten benutzen. Es wird eine Lösung der Form gesucht:

Um die Lösung zu ermitteln, fordert man

also

und daher

Damit ergibt sich

wobei die Anfangsbedingung angenommen worden ist.

Beispiel (inhomogen) Bearbeiten

Gegeben sei das Differentialgleichungssystem

Mit der Matrix von oben schreibt sich das System

mit

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung wurde bereits oben berechnet. Die Summe aus homogenen und speziellen Lösungen ergibt die Lösung für das inhomogene Problem. Man muss jetzt nur noch eine spezielle Lösung finden (über die Variation der Konstanten). Von der Gleichung oben erhält man:

also

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6 (englisch).
  • Cleve Moler, Charles F. Van Loan: Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later. In: SIAM Review. Band 45, Nr. 1, 2003, ISSN 1095-7200, S. 1–49, doi:10.1137/S00361445024180 (cornell.edu [PDF]).
  • V. I. Arnolʹd: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag, Berlin/ New York 1980, ISBN 3-540-09216-1.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. S. Blanes, F. Casas, J. A. Oteo, J. Ros: The Magnus expansion and some of its applications. (= Physics Reports. Band 470). Cornell University Library, 2009, OCLC 635162561.
  2. T. Möller: Symbolic mathematics-based simulation of cylinder spaces for regenerative gas cycles. In: Int J Energy Environ Eng. Springer Berlin/ Heidelberg, Feb. 2015. http://link.springer.com/article/10.1007/s40095-015-0163-3
  3. T. Möller: Simulation und konstruktive Optimierung der Wärmeübertrager regenerativer Gaskreisprozesse. Shaker Verlag Düren, Aug. 2022. http://www.shaker.de/shop/978-3-8440-8706-2
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In der Mathematik ist das Matrixexponential auch als Matrixexponentialfunktion bezeichnet eine Funktion auf der Menge der quadratischen Matrizen welche analog zur gewohnlichen skalaren Exponentialfunktion definiert ist Das Matrixexponential stellt die Verbindung zwischen Lie Algebra und der zugehorigen Lie Gruppe her Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Die Exponentialabbildung 3 1 Beispiele von Lie Algebren und zugehorigen Lie Gruppen 4 Lineare Differentialgleichungen 5 Berechnung des Matrixexponentials 5 1 Taylor Reihe 5 1 1 Nilpotenter Fall 5 2 Diagonalisierung der Matrix 5 2 1 Beispiel 1 5 2 2 Beispiel 2 5 3 Splitting Methode 5 4 Verwendung der jordanschen Normalform 5 4 1 Beispiel 5 4 2 Numerische Berechnung 5 5 Explizite Formeln 5 6 Putzer Algorithmus 6 Anwendungen 6 1 Homogene lineare Differentialgleichungen 6 1 1 Beispiel homogen 6 2 Inhomogener Fall Variation der Konstanten 6 2 1 Beispiel inhomogen 7 Siehe auch 8 Literatur 9 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei X displaystyle X nbsp eine reelle oder komplexe n n displaystyle n times n nbsp Matrix Das Exponential von X displaystyle X nbsp welches mit e X displaystyle e X nbsp oder exp X displaystyle exp X nbsp bezeichnet wird ist die n n displaystyle n times n nbsp Matrix welche durch die folgende Potenzreihe definiert ist Taylor Entwicklung e X k 0 X k k E X X 2 2 displaystyle e X sum k 0 infty frac X k k E X frac X 2 2 dots nbsp Diese Reihe konvergiert genauso wie die der gewohnlichen Exponentialfunktion immer Daher ist das Exponential von X displaystyle X nbsp wohldefiniert Wenn X displaystyle X nbsp eine 1 1 displaystyle 1 times 1 nbsp Matrix ist entspricht das Matrixexponential von X displaystyle X nbsp der gewohnlichen Exponentialfunktion Eine Verallgemeinerung welche auch fur unendliche Matrizen sinnvoll ist ist die Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren Eigenschaften BearbeitenDas Matrixexponential teilt eine Reihe der Eigenschaften der gewohnlichen Exponentialfunktion Beispielsweise ist das Exponential der n n displaystyle n times n nbsp Nullmatrix 0 displaystyle 0 nbsp gleich der n n displaystyle n times n nbsp Einheitsmatrix E displaystyle E nbsp e 0 E displaystyle e 0 E nbsp Fur beliebige komplexe n n displaystyle n times n nbsp Matrizen X displaystyle X nbsp und beliebige komplexe Zahlen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp gilt e a X e b X e a b X displaystyle e aX cdot e bX e a b X nbsp Daraus folgt e X e X e 1 1 X e 0 E displaystyle e X cdot e X e 1 1 X e 0 E nbsp das heisst e X 1 e X displaystyle left e X right 1 e X nbsp Dabei bezeichnet e X 1 displaystyle left e X right 1 nbsp die zu e X displaystyle e X nbsp inverse Matrix Die Exponentialfunktion erfullt e x y e x e y displaystyle e x y e x e y nbsp fur alle Zahlen x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp Dasselbe gilt fur kommutierende Matrizen X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp das heisst aus X Y Y X displaystyle X cdot Y Y cdot X nbsp folgt e X Y e X e Y displaystyle e X Y e X cdot e Y nbsp Fur nichtkommutierende Matrizen stimmt diese Gleichung im Allgemeinen nicht In diesem Fall kann man e X Y displaystyle e X Y nbsp mit Hilfe der Baker Campbell Hausdorff Formel berechnen Das Exponential der zu X displaystyle X nbsp transponierten Matrix ist gleich der Transposition des Exponentials von X displaystyle X nbsp exp X T exp X T displaystyle exp left X mathrm T right left exp X right mathrm T nbsp Daraus folgt dass die Matrixexponentialfunktion symmetrische Matrizen auf symmetrische Matrizen und schiefsymmetrische Matrizen auf orthogonale Matrizen abbildet Analog gilt zwischen Adjunktion und Exponentiation die Beziehung exp X exp X displaystyle exp left X right left exp X right nbsp so dass die Matrixexponentialfunktion hermitesche Matrizen auf hermitesche Matrizen und schiefhermitesche Matrizen auf unitare Matrizen abbildet Weiterhin gelten Wenn Y displaystyle Y nbsp invertierbar ist dann ist e Y X Y 1 Y e X Y 1 displaystyle e YXY 1 Ye X Y 1 nbsp det e X e tr X displaystyle det e X e operatorname tr X nbsp hier bezeichnet tr X displaystyle operatorname tr X nbsp die Spur der quadratischen Matrix X displaystyle X nbsp e diag x 1 x n diag e x 1 e x n displaystyle e operatorname diag x 1 ldots x n operatorname diag left e x 1 ldots e x n right nbsp Die Exponentialabbildung BearbeitenDas Exponential einer Matrix ist immer eine invertierbare Matrix Die Inverse von e X displaystyle e X nbsp ist durch e X displaystyle e X nbsp gegeben Das komplexe Matrixexponential liefert somit eine Abbildung exp M n C GL n C displaystyle exp colon M n mathbb C to mbox GL n mathbb C nbsp aus dem Vektorraum aller komplexen n n displaystyle n times n nbsp Matrizen in die allgemeine lineare Gruppe die Gruppe aller komplexen invertierbaren Matrizen Diese Abbildung ist kein Gruppenhomomorphismus auf der gesamten Gruppe M n C displaystyle M n mathbb C nbsp aber auf jeder Untergruppe deren Matrizen multiplikativ miteinander kommutieren Des Weiteren ist sie surjektiv das heisst jede reelle oder komplexe invertierbare Matrix kann als die Exponentialmatrix einer komplexen Matrix geschrieben werden Urbilder bzw lokale Schnitte lassen sich durch Matrixlogarithmen berechnen Fur je zwei Matrizen X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp gilt e X Y e X Y e X e Y displaystyle e X Y e X leq Y e X e Y nbsp wobei displaystyle cdot nbsp eine beliebige Matrixnorm bezeichnet Daraus folgt dass die Exponentialabbildung stetig und auf kompakten Teilmengen von M n C displaystyle M n mathbb C nbsp sogar lipschitzstetig ist Fur die Norm des Matrixexponentials selbst gibt es aber eine prazisere Schranke e X e m X displaystyle e X leq e mu X nbsp mit der logarithmischen Matrixnorm m displaystyle mu nbsp und dem numerischen Wertebereich Die Zuordnung t e t X t R displaystyle t mapsto e tX qquad t in mathbb R nbsp definiert eine glatte Kurve in der allgemeinen linearen Gruppe welche fur t 0 displaystyle t 0 nbsp die Einheitsmatrix liefert Dies liefert eine Einparameter Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe da e t X e s X e t s X displaystyle e tX e sX e t s X nbsp gilt Die Ableitung dieser Funktion im Punkt t displaystyle t nbsp ist durch d d t e t X X e t X 1 displaystyle frac d dt e tX Xe tX qquad 1 nbsp gegeben Die Ableitung fur t 0 displaystyle t 0 nbsp ist gerade die Matrix X displaystyle X nbsp das heisst X displaystyle X nbsp erzeugt diese Einparameter Untergruppe Allgemeiner gilt d d t e X t 0 1 e 1 a X t d X t d t e a X t d a displaystyle frac d dt e X t int 0 1 e 1 alpha X t frac dX t dt e alpha X t d alpha nbsp Beispiele von Lie Algebren und zugehorigen Lie Gruppen Bearbeiten Lie Gruppe BeispielAllgemeine lineare Gruppe G L n K displaystyle mathrm GL n K nbsp g l n M n R displaystyle mathfrak gl n M n mathbb R nbsp G L n X M n R det X 0 displaystyle mathrm GL n X in M n mathbb R vert det X neq 0 nbsp Orthogonale Gruppe O n K displaystyle mathrm O n K nbsp o n X M n R X T X displaystyle mathfrak o n X in M n mathbb R vert X T X nbsp O n X M n R X T X 1 displaystyle mathrm O n X in M n mathbb R vert X T X 1 nbsp Unitare Gruppe U n displaystyle mathrm U n nbsp u n X M n C X X displaystyle mathfrak u n X in M n mathbb C vert X X nbsp U n X M n C X X 1 displaystyle mathrm U n X in M n mathbb C vert X X 1 nbsp Spezielle unitare Gruppe S U n displaystyle mathrm SU n nbsp s u 2 X M 2 C X X tr X 0 displaystyle mathfrak su 2 X in M 2 mathbb C vert X X operatorname tr X 0 nbsp wird von exp displaystyle exp nbsp surjektiv aufS U 2 A M 2 C A A 1 det A 1 displaystyle mathrm SU 2 A in M 2 mathbb C vert A A 1 det A 1 nbsp abgebildet Spezielle orthogonale Gruppe S O n K displaystyle mathrm SO n K nbsp s o n R o n R X M n R X T X displaystyle mathfrak so n mathbb R mathfrak o n mathbb R X in M n mathbb R vert X T X nbsp schiefsymmetrische Matrizen wird von exp displaystyle exp nbsp surjektiv auf S O n R A M n R A T A 1 det A 1 displaystyle mathrm SO n mathbb R A in M n mathbb R vert A T A 1 det A 1 nbsp abgebildet Spezielle lineare Gruppe S L n K displaystyle mathrm SL n K nbsp s l 2 C displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C nbsp wird von exp displaystyle exp nbsp nicht surjektiv auf S L 2 C displaystyle mathrm SL 2 mathbb C nbsp abgebildet Notorisches Gegenbeispiel 1 a 0 1 S L 2 C displaystyle begin pmatrix 1 amp a 0 amp 1 end pmatrix in mathrm SL 2 mathbb C nbsp mit a 0 displaystyle a neq 0 nbsp liegt nicht im Bild von s l 2 C displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C nbsp Aus dem letzten Beispiel ist ersichtlich dass die Exponentialabbildung fur die Erzeugung von Lie Gruppen je nach Lie Algebra im Allgemeinen nicht surjektiv ist Lineare Differentialgleichungen BearbeitenEiner der Vorzuge des Matrixexponentials ist dass man es benutzen kann um Systeme von linearen gewohnlichen Differentialgleichungen zu losen die z B fur das Zustandsraummodell von dynamischen Ubertragungssystemen verwendet werden Aus Gleichung 1 oben folgt zum Beispiel dass die Losung des Anfangswertproblems d d t y t A y t y t 0 y 0 displaystyle frac d dt y t Ay t quad y t 0 y 0 nbsp mit einer quadratischen Matrix A displaystyle A nbsp durch y t e A t t 0 y 0 displaystyle y t e A t t 0 y 0 nbsp gegeben ist Das Matrixexponential kann auch zur Losung der inhomogenen Gleichung d d t y t A y t z t y t 0 y 0 displaystyle frac d dt y t Ay t z t quad y t 0 y 0 nbsp verwendet werden Beispiele findet man unten im Kapitel Anwendungen Fur Differentialgleichungen der Form d d t y t A t y t y t 0 y 0 displaystyle frac d dt y t A t y t quad y t 0 y 0 nbsp mit nicht konstantem A displaystyle A nbsp gibt es im Allgemeinen keine geschlossenen Losungen Die Magnus Reihe liefert jedoch eine allgemeine Losung in Matrixschreibweise uber die Matrix Exponentialfunktion auch im Fall nicht konstanter Koeffizienten als unendliche Reihe des Exponenten 1 Berechnung des Matrixexponentials BearbeitenTaylor Reihe Bearbeiten Die Exponentialfunktion der Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n nbsp und t R displaystyle t in mathbb R nbsp kann prinzipiell uber ihre Taylor Entwicklung berechnet werden exp A t k 0 A k t k k E A t A 2 t 2 2 A 3 t 3 6 A 4 t 4 24 displaystyle exp At sum k 0 infty frac A k t k k E At frac A 2 t 2 2 frac A 3 t 3 6 frac A 4 t 4 24 cdots nbsp Hierbei bezeichnet k displaystyle k nbsp die Fakultat von k displaystyle k nbsp Bei ausreichender Genauigkeit Reihe ist absolut konvergent soll die Reihe bei einer endlichen Zahl an Berechnungsschritten abbrechen Je grosser die Eintrage der Matrix sind desto mehr Glieder der Reihe mussen aber berechnet werden z B fur die Losung der linearen DGL fur einen grossen Zeitschritt Um den Losungsalgorithmus dahingehend zu verbessern kann man die Eintrage der Matrix mittels der Rechenregel e A t e A t m m displaystyle e At e At m m nbsp elegant skalieren Scaling amp Squaring Methode Ist die naturliche Matrixnorm A t displaystyle At nbsp nicht zu gross kann die Berechnung der Reihe auch uber die Pade Approximation erfolgen Die Scaling amp Squaring Methode hat einen Aufwand der Grossenordnung O n 3 displaystyle mathcal O n 3 nbsp im Wesentlichen Matrizenmultiplikationen Der Faktor von n 3 displaystyle n 3 nbsp ist abhangig von den Skalierungsparametern sowie insbesondere von der Matrixnorm Nilpotenter Fall Bearbeiten Eine Matrix N displaystyle N nbsp ist nilpotent wenn N q 0 displaystyle N q 0 nbsp fur eine geeignete naturliche Zahl q displaystyle q nbsp gilt In diesem Fall bricht die Reihenentwicklung von e N displaystyle e N nbsp nach einer endlichen Anzahl von Termen ab und das Matrixexponential kann als exp N E N 1 2 N 2 1 6 N 3 1 q 1 N q 1 displaystyle exp N E N frac 1 2 N 2 frac 1 6 N 3 cdots frac 1 q 1 N q 1 nbsp berechnet werden Diagonalisierung der Matrix Bearbeiten Ist die Matrix D displaystyle D nbsp eine Diagonalmatrix D a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a n displaystyle D begin pmatrix a 1 amp 0 amp ldots amp 0 0 amp a 2 amp ldots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp ldots amp a n end pmatrix nbsp dann kann man ihr Exponential ermitteln indem man die gewohnliche Exponentialfunktion auf jeden Eintrag der Hauptdiagonalen anwendet e D e a 1 0 0 0 e a 2 0 0 0 e a n displaystyle e D begin pmatrix e a 1 amp 0 amp ldots amp 0 0 amp e a 2 amp ldots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp ldots amp e a n end pmatrix nbsp Damit kann man auch das Exponential einer diagonalisierbaren Matrix A displaystyle A nbsp berechnen Zur Diagonalisierung A V D V 1 displaystyle A VDV 1 nbsp mit einer Diagonalmatrix D displaystyle D nbsp werden die zugehorige Eigenbasis V displaystyle V nbsp sowie die n displaystyle n nbsp Eigenwerte l 1 l n displaystyle lambda 1 ldots lambda n nbsp der Matrix A displaystyle A nbsp bestimmt Fur die Matrix Exponentialfunktion folgt daraus exp A t V e D t V 1 V diag e l 1 t e l 2 t e l n t V 1 displaystyle exp At Ve Dt V 1 V operatorname diag e lambda 1 t e lambda 2 t dotsc e lambda n t V 1 nbsp mit der skalaren Exponentialfunktion t e l i t displaystyle t mapsto e lambda i t nbsp Der Beweis folgt direkt aus der Taylor Entwicklung der Exponentialfunktion Die Diagonalisierung der Matrix gehort wie auch der QR Algorithmus oder die Jordansche Normalform zu den Matrix Zerlegungsmethoden zur Berechnung der Exponentialfunktion Die Diagonalisierung und der QR Algorithmus haben dabei jeweils einen Aufwand der Grossenordnung O n 3 displaystyle mathcal O n 3 nbsp und sind aber im Vergleich zu Methoden auf Basis der Taylor Entwicklung unabhangig von A t displaystyle At nbsp Der wesentliche Berechnungsaufwand hier Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren ist zudem unabhangig von der Variablen t displaystyle t nbsp Zur Losung beispielsweise von linearen Differentialgleichungen fur mehrere Zeitschritte t displaystyle t nbsp muss dieser Arbeitsaufwand also nur einmalig erbracht werden Die Berechnung der weiteren Zeitschritte erfolgt bei der Methode Diagonalisierung durch einfache Matrizenmultiplikation und bei dem QR Algorithmus liegt der Aufwand in der Grossenordnung von nur noch O n 2 displaystyle mathcal O n 2 nbsp Beispiel 1 Bearbeiten Es soll das Matrixexponential e t A displaystyle e tA nbsp fur die folgende Matrix berechnet werden A 0 1 a 2 1 a 2 2 displaystyle A begin pmatrix 0 amp 1 a 2 1 amp a 2 2 end pmatrix nbsp Hierzu wird die 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrix A displaystyle A nbsp zunachst mittels der Eigenwerte und den Eigenvektoren diagonalisiert Mit der Diagonalmatrix D displaystyle D nbsp und der Eigenbasis V displaystyle V nbsp folgt exp A t V e D t V 1 V e l 1 t 0 0 e l 2 t V 1 displaystyle exp At Ve Dt V 1 V begin pmatrix e lambda 1 t amp 0 0 amp e lambda 2 t end pmatrix V 1 nbsp Die Eigenwerte werden aus dem charakteristischen Polynom bestimmt zu l 1 2 a 2 2 2 a 2 2 2 2 a 2 1 displaystyle lambda 1 2 frac a 2 2 2 pm sqrt left frac a 2 2 2 right 2 a 2 1 nbsp Fur die beiden Eigenvektoren bzw die Eigenbasis gilt V 1 1 l 1 l 2 displaystyle V begin pmatrix 1 amp 1 lambda 1 amp lambda 2 end pmatrix nbsp sowie V 1 1 l 2 l 1 l 2 1 l 1 1 displaystyle V 1 frac 1 lambda 2 lambda 1 begin pmatrix lambda 2 amp 1 lambda 1 amp 1 end pmatrix nbsp Einsetzen fur die Matrix Exponentialfunktion liefert schliesslich exp A t 1 l 2 l 1 l 2 e l 1 t l 1 e l 2 t e l 2 t e l 1 t l 1 l 2 e l 1 t e l 2 t l 2 e l 2 t l 1 e l 1 t displaystyle exp At frac 1 lambda 2 lambda 1 begin pmatrix lambda 2 e lambda 1 t lambda 1 e lambda 2 t amp e lambda 2 t e lambda 1 t lambda 1 lambda 2 e lambda 1 t e lambda 2 t amp lambda 2 e lambda 2 t lambda 1 e lambda 1 t end pmatrix nbsp als geschlossene analytische Losung 2 Beispiel 2 Bearbeiten Die Matrix Exponentialfunktion exp A t exp 3 4 4 5 t 1 4 t e t 4 t e t 4 t e t 1 4 t e t displaystyle exp At exp left begin pmatrix 3 amp 4 4 amp 5 end pmatrix t right begin pmatrix 1 4t e t amp 4te t 4te t amp 1 4t e t end pmatrix nbsp kann explizit berechnet werden jedoch ist die Matrix A displaystyle A nbsp selbst nicht diagonalisierbar Die Matrix besitzt die beiden Eigenwerte l 1 2 1 displaystyle lambda 1 2 1 nbsp Obwohl also der Eigenwert die algebraische Vielfachheit 2 hat existiert nur ein linear unabhangiger Eigenvektor Die Basis aus den Eigenvektoren V a 2 1 a 2 1 l 1 a 1 1 l 2 a 1 1 4 4 4 4 displaystyle V begin pmatrix a 2 1 amp a 2 1 lambda 1 a 1 1 amp lambda 2 a 1 1 end pmatrix begin pmatrix 4 amp 4 4 amp 4 end pmatrix nbsp ist nicht invertierbar Die Diskriminante des charakteristischen Polynoms D 2 a 1 1 a 2 2 2 2 a 1 2 a 2 1 3 5 2 2 16 displaystyle D 2 left frac a 1 1 a 2 2 2 right 2 a 1 2 a 2 1 left frac 3 5 2 right 2 16 nbsp wird dabei immer null In diesem Fall also wenn gleiche Eigenwerte bzw Eigenvektoren vorkommen kann formell die Jordansche Normalform zur Transformation verwendet werden Splitting Methode Bearbeiten Zerfallt das Minimalpolynom bzw das charakteristische Polynom der Matrix X displaystyle X nbsp in Linearfaktoren uber C displaystyle mathbb C nbsp ist das stets der Fall dann kann X displaystyle X nbsp eindeutig in eine Summe X A N displaystyle X A N nbsp zerlegt werden wobei A displaystyle A nbsp diagonalisierbar ist N displaystyle N nbsp nilpotent ist und A displaystyle A nbsp mit N displaystyle N nbsp kommutiert d h A N N A displaystyle AN NA nbsp Damit kann man das Exponential von X displaystyle X nbsp berechnen indem man es auf die vorgenannten Falle reduziert e X e A N e A e N displaystyle e X e A N e A e N nbsp Im letzten Schritt benotigt man die Kommutativitat von A displaystyle A nbsp und N displaystyle N nbsp Verwendung der jordanschen Normalform Bearbeiten Eine weitere Methode ist die Verwendung der jordanschen Normalform von X displaystyle X nbsp wobei auch die Splitting Methode zum Einsatz kommt Sei J displaystyle J nbsp die jordansche Normalform von X displaystyle X nbsp mit der Basiswechselmatrix P displaystyle P nbsp dann gilt e X P e J P 1 displaystyle e X Pe J P 1 nbsp Wegen J J a 1 l 1 J a 2 l 2 J a n l n displaystyle J J a 1 lambda 1 oplus J a 2 lambda 2 oplus cdots oplus J a n lambda n nbsp gilt e J exp J a 1 l 1 J a 2 l 2 J a n l n exp J a 1 l 1 exp J a 2 l 2 exp J a k l k displaystyle begin aligned e J amp exp big J a 1 lambda 1 oplus J a 2 lambda 2 oplus cdots oplus J a n lambda n big amp exp big J a 1 lambda 1 big oplus exp big J a 2 lambda 2 big oplus cdots oplus exp big J a k lambda k big end aligned nbsp Daher muss man nur das Exponential eines Jordan Blocks kennen Nun ist jeder Jordan Block von der Form J a l l E N displaystyle J a lambda lambda E N nbsp wobei N displaystyle N nbsp eine spezielle nilpotente Matrix ist Das Exponential des Jordan Blocks ist also e l E N e l e N displaystyle e lambda E N e lambda e N nbsp Beispiel Bearbeiten Man betrachte die Matrix B 21 17 6 5 1 6 4 4 16 displaystyle B begin pmatrix 21 amp 17 amp 6 5 amp 1 amp 6 4 amp 4 amp 16 end pmatrix nbsp welche die jordansche Normalform J P 1 B P 4 0 0 0 16 1 0 0 16 displaystyle J P 1 BP begin pmatrix 4 amp 0 amp 0 0 amp 16 amp 1 0 amp 0 amp 16 end pmatrix nbsp mit der Ubergangsmatrix P 1 1 5 8 1 1 1 8 0 2 0 displaystyle P begin pmatrix 1 amp 1 amp tfrac 5 8 1 amp 1 amp tfrac 1 8 0 amp 2 amp 0 end pmatrix nbsp hat Dann gelten J J 1 4 J 2 16 displaystyle J J 1 4 oplus J 2 16 nbsp und e B P e J P 1 P e J 2 16 e J 1 4 P 1 displaystyle e B Pe J P 1 P e J 2 16 oplus e J 1 4 P 1 nbsp Somit ist exp 16 0 0 16 0 1 0 0 e 16 E 1 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 e 16 e 16 0 e 16 displaystyle exp left begin pmatrix 16 amp 0 0 amp 16 end pmatrix begin pmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end pmatrix right e 16 E cdot left begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end pmatrix 1 over 2 begin pmatrix 0 amp 0 0 amp 0 end pmatrix cdots right begin pmatrix e 16 amp e 16 0 amp e 16 end pmatrix nbsp Das Exponential einer 1 1 Matrix ist trivial Mit e J 1 4 e 4 displaystyle e J 1 4 e 4 nbsp folgt exp B P exp J P 1 P e 4 0 0 0 e 16 e 16 0 0 e 16 P 1 1 4 13 e 16 e 4 13 e 16 5 e 4 2 e 16 2 e 4 9 e 16 e 4 9 e 16 5 e 4 2 e 16 2 e 4 16 e 16 16 e 16 4 e 16 displaystyle begin aligned exp B amp P exp J P 1 P begin pmatrix e 4 amp 0 amp 0 0 amp e 16 amp e 16 0 amp 0 amp e 16 end pmatrix P 1 6pt amp 1 over 4 begin pmatrix 13e 16 e 4 amp 13e 16 5e 4 amp 2e 16 2e 4 9e 16 e 4 amp 9e 16 5e 4 amp 2e 16 2e 4 16e 16 amp 16e 16 amp 4e 16 end pmatrix end aligned nbsp Die jordansche Normalform und daraus das Exponential zu berechnen ist auf diesem Weg sehr muhsam Meist reicht es die Wirkung der Exponential Matrix auf einige Vektoren zu berechnen Numerische Berechnung Bearbeiten Die Jordan Normalform Zerlegung ist numerisch instabil da aufgrund der Gleitkommaarithmetik Rundungsfehler in die Eigenwerte eingefuhrt werden die eine Gruppierung der Eigenwerte in Gruppen identischer Eigenwerte unmoglich macht Daher werden in der Numerik andere Techniken zur Berechnung des Matrixexponentials verwendet Zu den effektivsten verfugbaren Algorithmen gehoren die Pade Approximation mit Skalieren und Quadrieren s Berechnung mittels Taylorreihe oder die Matrix Zerlegungsmethoden wie die Diagonalisierung der Matrix Bei grossen Matrizen kann der Rechenaufwand auch reduziert werden indem Krylowraume verwendet werden deren Basisvektoren mit dem Arnoldi Verfahren orthogonalisiert worden sind Explizite Formeln Bearbeiten Mittels der Diagonalisierung uber die Eigenwerte und Eigenvektoren ist die Darstellung der Matrix Exponentialfunktion einer 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrix auch als explizite Formel moglich Insbesondere der Umweg uber die teils komplexen Eigenwerte ist damit nicht mehr notwendig 3 exp A t a 1 1 a 2 2 2 f t f t a 1 2 f t a 2 1 f t a 2 2 a 1 1 2 f t f t e a 1 1 a 2 2 2 t displaystyle exp At begin pmatrix frac a 1 1 a 2 2 2 f t f t amp a 1 2 f t a 2 1 f t amp frac a 2 2 a 1 1 2 f t f t end pmatrix e frac a 1 1 a 2 2 2 t nbsp Fur die Hilfsfunktion f t displaystyle f t nbsp gilt in Abhangigkeit der reellen komplexen oder gleichen Eigenwerte anhand der Diskriminante D displaystyle D nbsp des charakteristischen Polynoms D a 1 1 a 2 2 2 2 a 1 2 a 2 1 displaystyle D left frac a 1 1 a 2 2 2 right 2 a 1 2 a 2 1 nbsp f t displaystyle f t nbsp f t displaystyle f t nbsp gt 0 displaystyle gt 0 nbsp sinh D t D displaystyle frac sinh left sqrt D t right sqrt D nbsp cosh D t displaystyle cosh left sqrt D t right nbsp lt 0 displaystyle lt 0 nbsp sin D t D displaystyle frac sin left sqrt D t right sqrt D nbsp cos D t displaystyle cos left sqrt D t right nbsp 0 displaystyle 0 nbsp t displaystyle t nbsp 1 displaystyle 1 nbsp Putzer Algorithmus Bearbeiten Hauptartikel Putzer Algorithmus Eine weitere Moglichkeit das Matrixexpontial zu berechnen ist der Putzer Algorithmus Dabei definiert man bei gegebener Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n nbsp und t R displaystyle t in mathbb R nbsp rekursiv stetig differenzierbare Funktion p k displaystyle p k nbsp und Matrizen M k displaystyle M k nbsp so dass gilt exp A t k 1 n p k t M k 1 displaystyle exp At sum k 1 n p k t M k 1 nbsp Die Losung des Matrixexponentials einer n n displaystyle n times n nbsp Matrix wird hierbei als Polynom erhalten Die Berechnung hat dabei einen Aufwand der Grossenordnung O n 4 displaystyle mathcal O n 4 nbsp Berechnung der Eigenwerte sowie insbesondere n displaystyle n nbsp Matrizenmultiplikationen und eignet sich daher eher nur fur kleine Matrizen Anwendungen BearbeitenHomogene lineare Differentialgleichungen Bearbeiten Das Matrixexponential kann fur die Losung eines Systems von linearen Differentialgleichungen verwendet werden Eine Differentialgleichung der Form y C y displaystyle y Cy nbsp hat die Losung e C t displaystyle e Ct nbsp Wenn man den Vektor y t y 1 t y n t displaystyle mathbf y t begin pmatrix y 1 t vdots y n t end pmatrix nbsp betrachtet dann kann man ein System von gekoppelten linearen Differentialgleichungen betrachten als y t A y t b displaystyle mathbf y t A mathbf y t mathbf b nbsp Wenn man den Integrationsfaktor e t A displaystyle e tA nbsp ansetzt und auf beiden Seiten multipliziert erhalt man e t A y t e t A A y e t A b displaystyle e tA mathbf y t e tA A mathbf y e tA mathbf b nbsp also d d t e t A y e t A b displaystyle frac mathrm d mathrm d t e tA mathbf y e tA mathbf b nbsp Wenn man e t A displaystyle e tA nbsp berechnet erhalt man eine Losung des Differentialgleichungssystems Beispiel homogen Bearbeiten Gegeben sei das folgende Differentialgleichungssystem y 1 3 y 1 y 2 y 2 y 1 y 2 displaystyle begin aligned y 1 amp 3y 1 y 2 y 2 amp y 1 y 2 end aligned nbsp Es lasst sich schreiben als y t A y t displaystyle y t Ay t nbsp mit der Koeffizientenmatrix A 3 1 1 1 displaystyle A begin pmatrix 3 amp 1 1 amp 1 end pmatrix nbsp Damit ergibt sich das zugehorige Matrixexponential zu e t A e 2 t 1 t t t 1 t displaystyle e tA e 2t begin pmatrix 1 t amp t t amp 1 t end pmatrix nbsp Als allgemeine Losung des Differentialgleichungssystems erhalt man somit y 1 t y 2 t C 1 e 2 t 1 t t C 2 e 2 t t 1 t displaystyle begin pmatrix y 1 t y 2 t end pmatrix C 1 e 2t begin pmatrix 1 t t end pmatrix C 2 e 2t begin pmatrix t 1 t end pmatrix nbsp Inhomogener Fall Variation der Konstanten Bearbeiten Fur den inhomogenen Fall kann man die Methode der Variation der Konstanten benutzen Es wird eine Losung der Form y p t e t A z t displaystyle mathbf y p t e tA mathbf z t nbsp gesucht y p t e t A z t e t A z t A e t A z t e t A z t A y p t e t A z t displaystyle mathbf y p t e tA mathbf z t e tA mathbf z t Ae tA mathbf z t e tA mathbf z t A mathbf y p t e tA mathbf z t nbsp Um die Losung y p displaystyle mathbf y p nbsp zu ermitteln fordert man e t A z t b t displaystyle e tA mathbf z t mathbf b t nbsp also z t e t A b t displaystyle mathbf z t e tA mathbf b t nbsp und daher z t z t 0 t 0 t e u A b u d u displaystyle mathbf z t mathbf z t 0 int t 0 t e uA mathbf b u du nbsp Damit ergibt sich y p t e t A z t 0 e t A t 0 t e u A b u d u e t t 0 A y 0 t 0 t e t u A b u d u displaystyle mathbf y p t e tA mathbf z t 0 e tA int t 0 t e uA mathbf b u du e t t 0 A mathbf y 0 int t 0 t e t u A mathbf b u du nbsp wobei die Anfangsbedingung y p t 0 y 0 displaystyle mathbf y p t 0 mathbf y 0 nbsp angenommen worden ist Beispiel inhomogen Bearbeiten Gegeben sei das Differentialgleichungssystem y 1 3 y 1 y 2 2 e t y 2 y 1 y 2 e t displaystyle begin aligned y 1 amp 3y 1 y 2 2e t y 2 amp y 1 y 2 e t end aligned nbsp Mit der Matrix A displaystyle A nbsp von oben schreibt sich das System y t A y t b t displaystyle y t Ay t b t nbsp mit b t e t 2 1 displaystyle b t e t begin pmatrix 2 1 end pmatrix nbsp Die allgemeine Losung der homogenen Gleichung wurde bereits oben berechnet Die Summe aus homogenen und speziellen Losungen ergibt die Losung fur das inhomogene Problem Man muss jetzt nur noch eine spezielle Losung y p t displaystyle y p t nbsp finden uber die Variation der Konstanten Von der Gleichung oben erhalt man y p t e t A 0 t e u A b u d u displaystyle y p t e tA int 0 t e uA b u du nbsp also y p t e 2 t 1 t t t 1 t 0 t e 2 u 1 u u u 1 u 2 e u e u d u e 2 t 1 t e t t e 2 t displaystyle y p t e 2t begin pmatrix 1 t amp t t amp 1 t end pmatrix int 0 t e 2u begin pmatrix 1 u amp u u amp 1 u end pmatrix begin pmatrix 2e u e u end pmatrix du begin pmatrix e 2t 1 t e t te 2t end pmatrix nbsp Siehe auch BearbeitenMatrizen Matrixlogarithmus Exponentialfunktion ExponentialabbildungLiteratur BearbeitenRoger A Horn Charles R Johnson Topics in Matrix Analysis Cambridge University Press 1991 ISBN 0 521 46713 6 englisch Cleve Moler Charles F Van Loan Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix Twenty Five Years Later In SIAM Review Band 45 Nr 1 2003 ISSN 1095 7200 S 1 49 doi 10 1137 S00361445024180 cornell edu PDF V I Arnolʹd Gewohnliche Differentialgleichungen Springer Verlag Berlin New York 1980 ISBN 3 540 09216 1 Einzelnachweise Bearbeiten S Blanes F Casas J A Oteo J Ros The Magnus expansion and some of its applications Physics Reports Band 470 Cornell University Library 2009 OCLC 635162561 T Moller Symbolic mathematics based simulation of cylinder spaces for regenerative gas cycles In Int J Energy Environ Eng Springer Berlin Heidelberg Feb 2015 http link springer com article 10 1007 s40095 015 0163 3 T Moller Simulation und konstruktive Optimierung der Warmeubertrager regenerativer Gaskreisprozesse Shaker Verlag Duren Aug 2022 http www shaker de shop 978 3 8440 8706 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Matrixexponential amp oldid 226651287