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Baker Campbell Hausdorff Formel In der Mathematik ist die eine nach den Mathematikern Henry Frederick Baker John Edward

Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

In der Mathematik ist die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eine nach den Mathematikern Henry Frederick Baker, John Edward Campbell und Felix Hausdorff benannte Gleichung, die ein Vertauschungsgesetz für bestimmte lineare Operatoren angibt.

Vorbereitende Definitionen Bearbeiten

Ist X ein stetiger linearer Operator eines Banachraumes in sich, dann kann man das Exponential dieses Operators wie folgt als Reihe definieren:

Dabei bedeutet die Multiplikation eine Hintereinanderausführung und die Addition eine punktweise Addition der beteiligten Operatoren. Der Kommutator (auch Lie-Klammer) zweier linearer Operatoren X und Y ist definiert als

Er ist ein bilinearer Operator. Aus der Definition folgt zunächst das sogenannte Hadamard-Lemma, auch Liesche Entwicklungsformel genannt:

mit und .

Die Formel Bearbeiten

Falls und , gelten die einfachen Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln

Für beliebige und ist die Formel sehr umfangreich und nur noch für in einer Umgebung der konvergierend. Sie lautet dann

mit

Referenzen Bearbeiten

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Weblinks Bearbeiten

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In der Mathematik ist die Baker Campbell Hausdorff Formel eine nach den Mathematikern Henry Frederick Baker John Edward Campbell und Felix Hausdorff benannte Gleichung die ein Vertauschungsgesetz fur bestimmte lineare Operatoren angibt Inhaltsverzeichnis 1 Vorbereitende Definitionen 2 Die Formel 3 Referenzen 4 WeblinksVorbereitende Definitionen BearbeitenIst X ein stetiger linearer Operator eines Banachraumes in sich dann kann man das Exponential dieses Operators wie folgt als Reihe definieren e X k 0 1 k X k displaystyle e X sum k 0 infty frac 1 k X k nbsp Dabei bedeutet die Multiplikation eine Hintereinanderausfuhrung und die Addition eine punktweise Addition der beteiligten Operatoren Der Kommutator auch Lie Klammer zweier linearer Operatoren X und Y ist definiert als X Y X Y Y X displaystyle X Y XY YX nbsp Er ist ein bilinearer Operator Aus der Definition folgt zunachst das sogenannte Hadamard Lemma auch Liesche Entwicklungsformel genannt e X Y e X m 0 1 m X Y m displaystyle e X Ye X sum m 0 infty frac 1 m X Y m nbsp mit X Y m X X Y m 1 displaystyle X Y m X X Y m 1 nbsp und X Y 0 Y displaystyle X Y 0 Y nbsp Die Formel BearbeitenFalls X X Y 0 displaystyle X X Y 0 nbsp und Y Y X 0 displaystyle Y Y X 0 nbsp gelten die einfachen Baker Campbell Hausdorff Formeln e X e Y e Y e X e X Y displaystyle e X e Y e Y e X e X Y nbsp e X Y e X e Y e X Y 2 displaystyle e X Y e X e Y e X Y 2 nbsp Fur beliebige X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp ist die Formel sehr umfangreich und nur noch fur X Y displaystyle X Y nbsp in einer Umgebung der 0 displaystyle 0 nbsp konvergierend Sie lautet dann e X e Y e Z X Y displaystyle e X e Y e Z X Y nbsp mit Z X Y X Y 1 2 X Y 1 12 X X Y 1 12 Y X Y 1 24 Y X X Y 1 720 X Y Y Y Y Y X X X X 1 360 X Y Y Y X Y X X X Y 1 120 Y X Y X Y X Y X Y X displaystyle begin aligned Z X Y amp X Y amp frac 1 2 X Y frac 1 12 X X Y frac 1 12 Y X Y amp quad frac 1 24 Y X X Y amp quad frac 1 720 X Y Y Y Y Y X X X X amp quad frac 1 360 X Y Y Y X Y X X X Y amp quad frac 1 120 Y X Y X Y X Y X Y X cdots end aligned nbsp Referenzen BearbeitenH Baker Proc Lond Math Soc 1 34 1902 347 360 ibid 1 35 1903 333 374 ibid Ser 2 3 1905 24 47 J Campbell Proc Lond Math Soc 28 1897 381 390 ibid 29 1898 14 32 L Corwin amp F P Greenleaf Representation of nilpotent Lie groups and their applications Part 1 Basic theory and examples Cambridge University Press New York 1990 ISBN 0 521 36034 X E B Dynkin Calculation of the coefficients in the Campbell Hausdorff formula Doklady Akad Nauk USSR 57 1947 323 326 Brian C Hall Lie Groups Lie Algebras and Representations An Elementary Introduction Springer 2003 ISBN 0 387 40122 9 F Hausdorff Berl Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 1906 19 48 W Magnus Comm Pur Appl Math VII 1954 649 673 W Miller Symmetry Groups and their Applications Academic Press New York 1972 S 159 161 ISBN 0 124 97460 0 H Poincare Compt Rend Acad Sci Paris 128 1899 1065 1069 Camb Philos Trans 18 1899 220 255 M W Reinsch A simple expression for the terms in the Baker Campbell Hausdorff series Jou Math Phys 41 4 2434 2442 2000 doi 10 1063 1 533250 arXiv preprint W Rossmann Lie Groups An Introduction through Linear Groups Oxford University Press 2002 A A Sagle amp R E Walde Introduction to Lie Groups and Lie Algebras Academic Press New York 1973 ISBN 0 12 614550 4 J P Serre Lie algebras and Lie groups Benjamin 1965 H Kleinert Path Integrals in Quantum Mechanics Statistics Polymer Physics and Financial Markets 4th edition World Scientific Singapore 2006 auch lesbar hier Weblinks BearbeitenEine englische Darstellung verschiedener Baker Campbell Hausdorff Formeln Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Baker Campbell Hausdorff Formel amp oldid 228746161