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Die spezielle lineare Gruppe vom Grad n displaystyle n uber einem Korper K displaystyle K oder allgemeiner einem kommutativen unitaren Ring ist die Gruppe aller n n displaystyle n times n Matrizen mit Koeffizienten aus K displaystyle K deren Determinante 1 betragt diese werden auch unimodulare Matrizen genannt 1 Die Gruppenverknupfung ist die Matrizenmultiplikation Verknupfungstafel von SL 2 F 3 displaystyle operatorname SL 2 mathbb F 3 Die spezielle lineare Gruppe vom Grad n displaystyle n uber K displaystyle K wird mit SL n K displaystyle operatorname SL n K bezeichnet Wenn aus dem Kontext klar ist dass der Korper die Menge R displaystyle mathbb R der reellen oder C displaystyle mathbb C der komplexen Zahlen ist schreibt man auch SL n displaystyle operatorname SL n oder SL n displaystyle operatorname SL n Eigenschaften BearbeitenDie spezielle lineare Gruppe SL n K displaystyle operatorname SL n K nbsp ist ein Normalteiler der allgemeinen linearen Gruppe GL n K displaystyle operatorname GL n K nbsp Die Faktorgruppe GL n K SL n K displaystyle operatorname GL n K operatorname SL n K nbsp ist isomorph zu K displaystyle K nbsp der Einheitengruppe von K displaystyle K nbsp fur einen Korper K displaystyle K nbsp ist K displaystyle K nbsp gleich K 0 displaystyle K setminus 0 nbsp Der Beweis erfolgt uber den Homomorphiesatz mit der Determinante als Homomorphismus Wichtige Untergruppen der SL n K displaystyle operatorname SL n K nbsp sind fur K R displaystyle K mathbb R nbsp die spezielle orthogonale Gruppe SO n displaystyle operatorname SO n nbsp und fur K C displaystyle K mathbb C nbsp die spezielle unitare Gruppe SU n displaystyle operatorname SU n nbsp Die spezielle lineare Gruppe SL n K displaystyle operatorname SL n K nbsp uber dem Korper K R displaystyle K mathbb R nbsp oder K C displaystyle K mathbb C nbsp ist eine Lie Gruppe uber K displaystyle K nbsp der Dimension n 2 1 displaystyle n 2 1 nbsp Die speziellen linearen Gruppen sind algebraische Gruppen da die Bedingung dass die Determinante gleich 1 sein muss durch eine polynomiale Gleichung in den Matrix Koeffizienten ausgedruckt werden kann Die spezielle lineare Gruppe SL n K displaystyle operatorname SL n K nbsp beinhaltet alle orientierungstreuen und volumenerhaltenden linearen Abbildungen Siehe auch BearbeitenSL 2 R ModulformEinzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Determinant In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Spezielle lineare Gruppe amp oldid 200208219