Dieser Artikel behandelt die spezielle lineare Gruppe SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R fur die Lie Algebra s l 2 R displaystyle mathfrak sl 2 mathbb R siehe sl 2 R Die spezielle lineare Gruppe SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R oder SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R ist die Gruppe der reellen 2 2 displaystyle 2 times 2 Matrizen mit Determinante 1 SL 2 R a b c d a b c d R und a d b c 1 displaystyle mbox SL 2 mathbb R left left begin matrix a amp b c amp d end matrix right a b c d in mathbb R mbox und ad bc 1 right Sie ist eine Lie Gruppe mit vielfaltigen Anwendungen in Geometrie Topologie Darstellungstheorie harmonischer Analysis Zahlentheorie Modulformen und Physik Inhaltsverzeichnis 1 Darstellungstheorie 2 Lie Algebra 3 Lineare Algebra 4 Klassifikation der 2 2 Matrizen 4 1 Elliptische Elemente 4 2 Parabolische Elemente 4 3 Hyperbolische Elemente 5 Hyperbolische Geometrie 6 Projektive Geometrie und gebrochen lineare Transformationen 7 Fuchssche Gruppen 8 Topologie 9 LiteraturDarstellungstheorie BearbeitenFur jede naturliche Zahl d displaystyle d nbsp gibt es eine bis auf Isomorphismus eindeutige d 1 displaystyle d 1 nbsp dimensionale irreduzible Darstellung der SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp Eine explizite Realisierung dieser irreduziblen Darstellung ist wie folgt Sei V d f x y a 0 x d a 1 x d 1 y a 2 x d 2 y 2 a d 1 x y d 1 a d y d a 0 a d R displaystyle V d left f x y a 0 x d a 1 x d 1 y a 2 x d 2 y 2 ldots a d 1 xy d 1 a d y d a 0 ldots a d in mathbb R right nbsp der Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad d displaystyle d nbsp in 2 Variablen Dieser Vektorraum ist d 1 displaystyle d 1 nbsp dimensional und A SL 2 R displaystyle A in operatorname SL 2 mathbb R nbsp wirkt durch A f x y f A 1 x y displaystyle Af x y f A 1 x y nbsp Die Veronese Einbettung n d R P 1 R P d displaystyle nu d colon mathbb R P 1 to mathbb R P d nbsp ist aquivariant bezuglich der irreduziblen Darstellung SL 2 R SL d 1 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R to operatorname SL d 1 mathbb R nbsp Die unendlich dimensionalen Darstellungen der SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp werden durch die Langlands Klassifikation beschrieben Lie Algebra Bearbeiten Hauptartikel sl 2 R SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp ist eine Lie Gruppe ihre Lie Algebra ist die Lie Algebra der spurfreien 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrizen s l 2 R A Mat 2 R Sp A 0 displaystyle mathfrak sl 2 mathbb R left A in operatorname Mat 2 mathbb R operatorname Sp A 0 right nbsp Eine Vektorraum Basis des 3 dimensionalen Vektorraumes s l 2 R displaystyle mathfrak sl 2 mathbb R nbsp ist zum Beispiel H 1 0 0 1 X 0 1 0 0 Y 0 0 1 0 displaystyle H left begin array cc 1 amp 0 0 amp 1 end array right X left begin array cc 0 amp 1 0 amp 0 end array right Y left begin array cc 0 amp 0 1 amp 0 end array right nbsp mit den Kommutator Relationen H X 2 X H Y 2 Y X Y H displaystyle left H X right 2X left H Y right 2Y left X Y right H nbsp Diese Lie Algebra ist einfach sie hat zwei nicht konjugierte Cartan Unteralgebren eine erzeugt von H displaystyle H nbsp die andere von X Y displaystyle X Y nbsp Die Killing Form ist B V W 4 Sp V W displaystyle B V W 4 operatorname Sp VW nbsp Sie ist negativ definit auf dem von X Y displaystyle X Y nbsp erzeugten Unterraum positiv definit auf dem von H displaystyle H nbsp und X Y displaystyle X Y nbsp erzeugten Unterraum Lineare Algebra BearbeitenMatrizen aus SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp entsprechen invertierbaren linearen Abbildungen des Vektorraums R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp Die Matrix a b c d displaystyle left begin matrix a amp b c amp d end matrix right nbsp wirkt durch a b c d x y a x b y c x d y displaystyle left begin matrix a amp b c amp d end matrix right left begin matrix x y end matrix right left begin matrix ax by cx dy end matrix right nbsp Matrizen aus SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp erhalten die Volumenform aber im Allgemeinen nicht die euklidische Metrik des R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp Klassifikation der 2 2 Matrizen BearbeitenDie Eigenwerte einer Matrix A SL 2 R displaystyle A in operatorname SL 2 mathbb R nbsp sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms l 2 S p A l 1 0 displaystyle lambda 2 mathrm Sp A lambda 1 0 nbsp und lassen sich nach der Losungsformel fur quadratische Gleichungen berechnen als l S p A S p A 2 4 2 displaystyle lambda frac mathrm Sp A pm sqrt mathrm Sp A 2 4 2 nbsp Man klassifiziert die Matrizen dann entsprechend der folgenden Einteilung Wenn Sp A lt 2 displaystyle vert operatorname Sp A vert lt 2 nbsp dann ist A displaystyle A nbsp eine elliptische Matrix Wenn Sp A 2 displaystyle vert operatorname Sp A vert 2 nbsp dann ist A displaystyle A nbsp eine parabolische Matrix Wenn Sp A gt 2 displaystyle vert operatorname Sp A vert gt 2 nbsp dann ist A displaystyle A nbsp eine hyperbolische Matrix Elliptische Elemente Bearbeiten nbsp Drehung mit Fixpunkt 0 Elliptische Elemente sind von der Form A cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ A 1 displaystyle A left begin matrix cos phi amp sin phi sin phi amp cos phi end matrix right A 1 nbsp mit ϕ R 2 p Z displaystyle phi in mathbb R 2 pi mathbb Z nbsp und A SL 2 R displaystyle A in operatorname SL 2 mathbb R nbsp Die Matrix cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ displaystyle left begin matrix cos phi amp sin phi sin phi amp cos phi end matrix right nbsp wirkt auf der euklidischen Ebene als Drehung mit Fixpunkt 0 und Drehwinkel ϕ displaystyle phi nbsp Parabolische Elemente Bearbeiten nbsp Eine Scherung bildet ein Rechteck auf ein Parallelogramm ab Parabolische Elemente sind von der Form A 1 n 0 1 A 1 displaystyle pm A left begin matrix 1 amp n 0 amp 1 end matrix right A 1 nbsp mit n R displaystyle n in mathbb R nbsp und A SL 2 R displaystyle A in operatorname SL 2 mathbb R nbsp Die Matrix 1 n 0 1 displaystyle left begin matrix 1 amp n 0 amp 1 end matrix right nbsp wirkt auf der euklidischen Ebene als Scherung Hyperbolische Elemente Bearbeiten nbsp Das Bild Parallelogramm hat denselben Flacheninhalt wie das ursprungliche Quadrat Hyperbolische Elemente sind von der Form A a 0 0 1 a A 1 displaystyle A left begin matrix a amp 0 0 amp frac 1 a end matrix right A 1 nbsp mit a R 0 displaystyle a in mathbb R setminus left 0 right nbsp und A SL 2 R displaystyle A in operatorname SL 2 mathbb R nbsp Die Matrix a 0 0 1 a displaystyle left begin matrix a amp 0 0 amp frac 1 a end matrix right nbsp wirkt als Dehnstauchung d h sie dehnt in Richtung eines Eigenvektors staucht in Richtung des anderen Eigenvektors erhalt insgesamt aber den Flacheninhalt Hyperbolische Geometrie BearbeitenMatrizen aus SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp wirken auf der oberen Halbebene H x i y y gt 0 x y R C displaystyle mathbb H x iy y gt 0 x y in mathbb R subset mathbb C nbsp durch z a z b c z d displaystyle z mapsto frac az b cz d nbsp Sie wirken als Isometrien der hyperbolischen Metrik Weil I 2 displaystyle pm I 2 nbsp als Identitatsabbildung wirkt faktorisiert diese Wirkung von SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp uber PSL 2 R SL 2 R I 2 displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R operatorname SL 2 mathbb R pm I 2 nbsp Projektive Geometrie und gebrochen lineare Transformationen BearbeitenDie projektive Gerade R P 1 displaystyle mathbb R P 1 nbsp ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp Die Wirkung von SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp auf R 2 0 displaystyle left mathbb R 2 setminus 0 right nbsp gibt eine wohl definierte Wirkung von PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R nbsp auf R P 1 displaystyle mathbb R P 1 nbsp Durch x y x y displaystyle x y rightarrow frac x y nbsp wird eine Bijektion zwischen R P 1 displaystyle mathbb R P 1 nbsp und R displaystyle mathbb R cup left infty right nbsp definiert Nach dieser Identifizierung von R P 1 displaystyle mathbb R P 1 nbsp und R displaystyle mathbb R cup left infty right nbsp wirkt PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R nbsp auf R displaystyle mathbb R cup left infty right nbsp durch gebrochen lineare Transformationen a b c d z a z b c z d displaystyle left begin matrix a amp b c amp d end matrix right z frac az b cz d nbsp Die Veronese Einbettung R P 1 R P n displaystyle mathbb R P 1 to mathbb R P n nbsp ist aquivariant bzgl der irreduziblen Darstellung SL 2 R SL n 1 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R to operatorname SL n 1 mathbb R nbsp R P 1 R displaystyle mathbb R P 1 mathbb R cup left infty right nbsp ist auch der Rand im Unendlichen H displaystyle partial mathbb H nbsp der hyperbolischen Ebene H displaystyle mathbb H nbsp Die Wirkung von P S L 2 R displaystyle PSL 2 mathbb R nbsp auf der Kompaktifizierung H H displaystyle mathbb H cup partial mathbb H nbsp der hyperbolischen Ebene durch gebrochen lineare Transformationen ist stetig Elliptische Elemente haben einen Fixpunkt in H displaystyle mathbb H nbsp parabolische Elemente haben einen Fixpunkt in H displaystyle partial mathbb H nbsp hyperbolische Elemente haben zwei Fixpunkte in H displaystyle partial mathbb H nbsp Fuchssche Gruppen BearbeitenDiskrete Untergruppen von PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R nbsp bezeichnet man als Fuchssche Gruppen Die Limesmenge einer Fuchsschen Gruppe G displaystyle Gamma nbsp ist der Durchschnitt von R P 1 H displaystyle mathbb R P 1 partial mathbb H nbsp mit dem Abschluss einer Bahn G x displaystyle Gamma x nbsp wobei und die Definition der Limesmenge unabhangig vom gewahlten Punkt x H displaystyle x in mathbb H nbsp ist Eine Fuchssche Gruppe heisst Fuchssche Gruppe 1 Art falls die Limesmenge ganz P 1 R R displaystyle mathbb P 1 mathbb R mathbb R cup infty nbsp ist Andernfalls handelt es sich um eine Fuchssche Gruppe 2 Art Fuchssche Gruppen 1 Art sind die sogenannten Gitter in PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R nbsp d h diskrete Untergruppen G displaystyle Gamma nbsp fur die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens in der hyperbolischen Ebene gibt Ein Beispiel eines Gitters in SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp ist die modulare Gruppe SL 2 Z displaystyle operatorname SL 2 mathbb Z nbsp die unter anderem in der Theorie der Modulformen eine zentrale Rolle mit vielen zahlentheoretischen Anwendungen spielt Wenn eine Fuchssche Gruppe G PSL 2 R displaystyle Gamma subset operatorname PSL 2 mathbb R nbsp keine Elemente der Ordnung 2 enthalt dann ist sie die Projektion einer diskreten Untergruppe von SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp Satz von Culler Topologie BearbeitenDie Kreis Gruppe SO 2 displaystyle operatorname SO 2 nbsp ist eine maximal kompakte Untergruppe von SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp Die Untergruppe SO 2 displaystyle operatorname SO 2 nbsp ist ein Deformationsretrakt von SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp insbesondere sind die beiden Raume homotopieaquivalent Die Fundamentalgruppe von SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp ist isomorph zu Z displaystyle mathbb Z nbsp die hoheren Homotopiegruppen sind trivial Die universelle Uberlagerung SL 2 R displaystyle widetilde operatorname SL 2 mathbb R nbsp von SL 2 R displaystyle operatorname SL 2 mathbb R nbsp ist ein Beispiel einer Lie Gruppe welche keine treue endlich dimensionale Darstellung besitzt also zu keiner Untergruppe einer allgemeinen linearen Gruppe GL n R displaystyle operatorname GL n mathbb R nbsp isomorph ist Der Quotient PSL 2 R SL 2 R Z 2 Z displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R operatorname SL 2 mathbb R mathbb Z 2 mathbb Z nbsp ist diffeomorph zum Einheitstangentialbundel der hyperbolischen Ebene PSL 2 R T 1 H displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R T 1 mathbb H nbsp Literatur BearbeitenSerge Lang SL2 R Graduate Texts in Mathematics Bd 105 Springer New York NY u a 1985 ISBN 0 387 96198 4 William P Thurston Three dimensional geometry and topology Princeton Mathematical Series Bd 35 Band 1 Edited by Silvio Levy Princeton University Press Princeton NJ 1997 ISBN 0 691 08304 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title SL 2 R amp oldid 183548430
