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Killing Form Die auch Cartan spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und in der Klassifikation der halbe

Killing-Form

Die Killing-Form (auch Cartan-Killing-Form) spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren. Sie ist nach Wilhelm Killing benannt.

Definition Bearbeiten

Sei eine Lie-Algebra über dem Körper und ihre adjungierte Darstellung.

Die Killing-Form ist die durch

für definierte symmetrische Bilinearform

wobei die Spur bezeichnet.

Eigenschaften Bearbeiten

  • ist eine symmetrische Bilinearform.
  • ist assoziativ, das heißt, es gilt für alle .
  • Für alle ist schiefsymmetrisch bzgl. , das heißt für alle gilt
  • Die Killing-Form ist nicht-ausgeartet genau dann, wenn die Lie-Algebra halb-einfach ist.
  • Falls die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist, dann ist -invariant, d. h. für alle gilt

Beispiele Bearbeiten

Die Killing-Form nilpotenter Lie-Algebren ist identisch Null.

Für viele klassische Lie-Algebren lässt sich die Killing-Form explizit angeben:

g
gl(n, R)
sl(n, R)
su(n)
so(n, R)
so(n)
sp(n, R)
sp(n, C)

Riemannsche Metrik auf symmetrischen Räumen von nichtkompaktem Typ Bearbeiten

Ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ ist eine Mannigfaltigkeit der Form

mit einer halbeinfachen Lie-Gruppe und einer maximal kompakten Untergruppe .

Zu einem symmetrischen Raum hat man eine Cartan-Zerlegung

und man kann den Tangentialraum im neutralen Element mit identifizieren.

Die Killing-Form ist negativ definit auf und positiv definit auf . Insbesondere definiert sie ein -invariantes Skalarprodukt auf und damit eine links-invariante Riemannsche Metrik auf . Bis auf Multiplikation mit Skalaren ist dies die einzige -invariante Metrik auf .

Die Differentialgeometrie symmetrischer Räume beschäftigt sich mit den Eigenschaften dieser Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren Bearbeiten

Die Killing-Form spielt eine Schlüsselrolle in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren über algebraisch abgeschlossenen Körpern der Charakteristik .

Literatur Bearbeiten

  • Humphreys, James E.: Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Killing Form auch Cartan Killing Form spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und in der Klassifikation der halbeinfachen Lie Algebren Sie ist nach Wilhelm Killing benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Riemannsche Metrik auf symmetrischen Raumen von nichtkompaktem Typ 5 Klassifikation halbeinfacher Lie Algebren 6 LiteraturDefinition BearbeitenSei g displaystyle mathfrak g nbsp eine Lie Algebra uber dem Korper k displaystyle k nbsp und ad g g l g displaystyle operatorname ad mathfrak g rightarrow mathfrak gl mathfrak g nbsp ihre adjungierte Darstellung Die Killing Form ist die durch B X Y Tr ad X ad Y displaystyle B X Y operatorname Tr operatorname ad X circ operatorname ad Y nbsp fur X Y g displaystyle X Y in mathfrak g nbsp definierte symmetrische Bilinearform B g g k displaystyle B mathfrak g times mathfrak g rightarrow k nbsp wobei Tr displaystyle operatorname Tr nbsp die Spur bezeichnet Eigenschaften BearbeitenB displaystyle B nbsp ist eine symmetrische Bilinearform B displaystyle B nbsp ist assoziativ das heisst es gilt B X Y Z B X Y Z displaystyle B X Y Z B X Y Z nbsp fur alle X Y Z g displaystyle X Y Z in mathfrak g nbsp Fur alle Z g displaystyle Z in mathfrak g nbsp ist ad Z displaystyle operatorname ad Z nbsp schiefsymmetrisch bzgl B displaystyle B nbsp das heisst fur alle X Y g displaystyle X Y in mathfrak g nbsp giltB ad Z X Y B X ad Z Y displaystyle B operatorname ad Z X Y B X operatorname ad Z Y nbsp Die Killing Form ist nicht ausgeartet genau dann wenn die Lie Algebra g displaystyle mathfrak g nbsp halb einfach ist Falls g displaystyle mathfrak g nbsp die Lie Algebra einer Lie Gruppe G displaystyle G nbsp ist dann ist B displaystyle B nbsp Ad displaystyle operatorname Ad nbsp invariant d h fur alle g G X Y g displaystyle g in G X Y in mathfrak g nbsp giltB Ad g X Ad g Y B X Y displaystyle B operatorname Ad g X operatorname Ad g Y B X Y nbsp Falls g displaystyle mathfrak g nbsp die Lie Algebra einer halbeinfachen Lie Gruppe ist dann ist die Killing Form negativ definit genau dann wenn G displaystyle G nbsp kompakt ist Insbesondere definiert B displaystyle B nbsp eine bi invariante Riemannsche Metrik auf einer kompakten halbeinfachen Lie Gruppe G displaystyle G nbsp Allgemeiner ist auf der Lie Algebra einer kompakten nicht notwendig halbeinfachen Lie Gruppe die Killingform stets negativ semidefinit Beispiele BearbeitenDie Killing Form nilpotenter Lie Algebren ist identisch Null Fur viele klassische Lie Algebren lasst sich die Killing Form explizit angeben g B X Y displaystyle B X Y nbsp gl n R 2 n Tr X Y 2 Tr X Tr Y displaystyle 2n operatorname Tr XY 2 operatorname Tr X operatorname Tr Y nbsp sl n R 2 n Tr X Y displaystyle 2n operatorname Tr XY nbsp su n 2 n Tr X Y displaystyle 2n operatorname Tr XY nbsp so n R n 2 Tr X Y displaystyle n 2 operatorname Tr XY nbsp so n n 2 Tr X Y displaystyle n 2 operatorname Tr XY nbsp sp n R 2 n 2 Tr X Y displaystyle 2n 2 operatorname Tr XY nbsp sp n C 2 n 2 Tr X Y displaystyle 2n 2 operatorname Tr XY nbsp Riemannsche Metrik auf symmetrischen Raumen von nichtkompaktem Typ BearbeitenEin symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ ist eine Mannigfaltigkeit der Form M G K displaystyle M G K nbsp mit einer halbeinfachen Lie Gruppe G displaystyle G nbsp und einer maximal kompakten Untergruppe K displaystyle K nbsp Zu einem symmetrischen Raum hat man eine Cartan Zerlegung g k p displaystyle mathfrak g mathfrak k oplus mathfrak p nbsp und man kann den Tangentialraum T e G K displaystyle T left e right G K nbsp im neutralen Element mit p displaystyle mathfrak p nbsp identifizieren Die Killing Form ist negativ definit auf k displaystyle mathfrak k nbsp und positiv definit auf p displaystyle mathfrak p nbsp Insbesondere definiert sie ein Ad G displaystyle operatorname Ad G nbsp invariantes Skalarprodukt auf p displaystyle mathfrak p nbsp und damit eine links invariante Riemannsche Metrik auf M G K displaystyle M G K nbsp Bis auf Multiplikation mit Skalaren ist dies die einzige G displaystyle G nbsp invariante Metrik auf M displaystyle M nbsp Die Differentialgeometrie symmetrischer Raume beschaftigt sich mit den Eigenschaften dieser Riemannschen Mannigfaltigkeiten Klassifikation halbeinfacher Lie Algebren BearbeitenDie Killing Form spielt eine Schlusselrolle in der Klassifikation der halbeinfachen Lie Algebren uber algebraisch abgeschlossenen Korpern der Charakteristik 0 displaystyle 0 nbsp Literatur BearbeitenHumphreys James E Introduction to Lie algebras and representation theory Graduate Texts in Mathematics Vol 9 Springer Verlag New York Berlin 1972 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Killing Form amp oldid 195906990