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Halbeinfache Lie Gruppe In der Mathematik ist eine halbeinfache Lie Gruppe eine zusammenhängende Lie Gruppe deren Lie Al

Halbeinfache Lie-Gruppe

In der Mathematik ist eine halbeinfache Lie-Gruppe eine zusammenhängende Lie-Gruppe, deren Lie-Algebra halbeinfach ist.

Äquivalente Charakterisierungen Bearbeiten

Eine zusammenhängende Lie-Gruppe ist genau dann halbeinfach, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

Beispiele Bearbeiten

Maximal kompakte Untergruppe Bearbeiten

Zu einer halbeinfachen Lie-Gruppe gibt es eine bis auf Konjugation eindeutige maximale kompakte Untergruppe . Beispielsweise ist SO(n) eine maximal kompakte Untergruppe von und SU(n) eine maximal kompakte Untergruppe von .

Symmetrischer Raum Bearbeiten

Sei eine maximal kompakte Untergruppe der (nicht-kompakten) halbeinfachen Lie-Gruppe . Der Quotient ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ.

Der duale symmetrische Raum wird mit bezeichnet. Seine Isometriegruppe ist eine kompakte Lie-Gruppe.

Literatur Bearbeiten

  • Brian C. Hall: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. (= Graduate Texts in Mathematics. 222). Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-40122-9.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist eine halbeinfache Lie Gruppe eine zusammenhangende Lie Gruppe deren Lie Algebra halbeinfach ist Inhaltsverzeichnis 1 Aquivalente Charakterisierungen 2 Beispiele 3 Maximal kompakte Untergruppe 4 Symmetrischer Raum 5 LiteraturAquivalente Charakterisierungen BearbeitenEine zusammenhangende Lie Gruppe ist genau dann halbeinfach wenn sie eine der folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt die Killing Form ist nicht ausgeartet es gibt keine normalen nicht trivialen auflosbaren Untergruppen es gibt keine normalen nicht trivialen abelschen Untergruppen Beispiele BearbeitenSpezielle lineare Gruppen S L n R displaystyle SL n mathbb R nbsp S L n C displaystyle SL n mathbb C nbsp Spezielle orthogonale Gruppe S O p q displaystyle SO p q nbsp Symplektische Gruppe S p n displaystyle Sp n nbsp Die obigen Beispiele sind einfache Lie Gruppen Die direkten Produkte endlich vieler einfacher Lie Gruppen sind ebenfalls halbeinfache Lie Gruppen Halbeinfache algebraische Gruppen uber C displaystyle mathbb C nbsp sind halbeinfache Lie Gruppen Maximal kompakte Untergruppe BearbeitenZu einer halbeinfachen Lie Gruppe G displaystyle G nbsp gibt es eine bis auf Konjugation eindeutige maximale kompakte Untergruppe K displaystyle K nbsp Beispielsweise ist SO n eine maximal kompakte Untergruppe von S L n R displaystyle SL n mathbb R nbsp und SU n eine maximal kompakte Untergruppe von S L n C displaystyle SL n mathbb C nbsp Symmetrischer Raum BearbeitenSei K displaystyle K nbsp eine maximal kompakte Untergruppe der nicht kompakten halbeinfachen Lie Gruppe G displaystyle G nbsp Der Quotient G K displaystyle G K nbsp ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ Der duale symmetrische Raum wird mit G u K displaystyle G u K nbsp bezeichnet Seine Isometriegruppe G u displaystyle G u nbsp ist eine kompakte Lie Gruppe Literatur BearbeitenBrian C Hall Lie groups Lie algebras and representations An elementary introduction Graduate Texts in Mathematics 222 Springer Verlag New York 2003 ISBN 0 387 40122 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Halbeinfache Lie Gruppe amp oldid 188909686