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Einfache Gruppe Mathematik Eine einfache Gruppe ist ein mathematisches Objekt der Algebra das insbesondere in der Gruppe

Einfache Gruppe (Mathematik)

Eine einfache Gruppe ist ein mathematisches Objekt der Algebra, das insbesondere in der Gruppentheorie betrachtet wird.

Jede Gruppe hat sich selbst und die nur das neutrale Element enthaltende Menge als Normalteiler. Damit stellt sich die Frage, welche Gruppen keine weitere Normalteiler besitzen. Genau diese sind definitionsgemäß die einfachen Gruppen.

Definition Bearbeiten

Eine Gruppe heißt einfach, falls sie als Normalteiler nur und mit dem neutralen Element hat. Außerdem wird zusätzlich gefordert, wonach man knapper sagen kann: Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler besitzt.

Endliche einfache Gruppen Bearbeiten

Endliche einfache Gruppen gelten in der Gruppentheorie als „Grundbausteine“ der endlichen Gruppen, da sich jede endliche Gruppe in endlich vielen Schritten aus einfachen Gruppen konstruieren lässt. Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert, die Liste besteht aus

Unendliche einfache Gruppen Bearbeiten

Unendliche einfache Gruppen sind nicht abelsch.

Beispiele Bearbeiten

  • Die unendliche alternierende Gruppe , das heißt die Gruppe der endlichen geraden Permutationen der natürlichen Zahlen, ist einfach. Diese Gruppe kann als direkter Limes aller unter den Standardeinbettungen konstruiert werden.
  • Jede von der zweielementigen Gruppe verschiedene Gruppe mit genau zwei Konjugationsklassen ist eine unendliche einfache Gruppe.

Einfache Lie-Gruppen Bearbeiten

Abweichend von der in der Gruppentheorie üblichen obigen Definition bezeichnet man in der Theorie der Lie-Gruppen (nicht zu verwechseln mit obigen Gruppen vom Lie-Typ) eine zusammenhängende Lie-Gruppe als einfache Lie-Gruppe, wenn ihre Lie-Algebra eine einfache Lie-Algebra ist.

Das ist äquivalent zu der Bedingung, dass alle echten Normalteiler diskrete Untergruppen sind oder dass es keine nichttrivialen zusammenhängenden Normalteiler gibt.

Beispielsweise ist SL(2,R) eine einfache Gruppe im Sinne der Lie-Gruppen-Theorie, hat aber den Normalteiler . Der Quotient ist eine einfache Gruppe auch im Sinne der in der Gruppentheorie üblichen Definition.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. John D. Dixon: Problems in group theory. Dover Publications, Mineola, N.Y. 2007, ISBN 978-0-486-45916-5, S. xv.
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Eine einfache Gruppe ist ein mathematisches Objekt der Algebra das insbesondere in der Gruppentheorie betrachtet wird Jede Gruppe hat sich selbst und die nur das neutrale Element enthaltende Menge als Normalteiler Damit stellt sich die Frage welche Gruppen keine weitere Normalteiler besitzen Genau diese sind definitionsgemass die einfachen Gruppen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Endliche einfache Gruppen 3 Unendliche einfache Gruppen 3 1 Beispiele 4 Einfache Lie Gruppen 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Gruppe G displaystyle G nbsp heisst einfach falls sie als Normalteiler nur G displaystyle G nbsp und e displaystyle e nbsp mit dem neutralen Element e displaystyle e nbsp hat Ausserdem wird zusatzlich G e displaystyle G neq e nbsp gefordert 1 wonach man knapper sagen kann Eine Gruppe heisst einfach wenn sie genau zwei Normalteiler besitzt Endliche einfache Gruppen Bearbeiten Hauptartikel Endliche einfache Gruppe Endliche einfache Gruppen gelten in der Gruppentheorie als Grundbausteine der endlichen Gruppen da sich jede endliche Gruppe in endlich vielen Schritten aus einfachen Gruppen konstruieren lasst Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollstandig klassifiziert die Liste besteht aus den zyklischen Gruppen von Primzahlordnung den alternierenden Gruppen A n displaystyle A n nbsp mit n 5 displaystyle n geq 5 nbsp den Gruppen vom Lie Typ 16 jeweils unendliche Serien und 26 sporadischen Gruppen Unendliche einfache Gruppen BearbeitenUnendliche einfache Gruppen sind nicht abelsch Beispiele Bearbeiten Die unendliche alternierende Gruppe A displaystyle A infty nbsp das heisst die Gruppe der endlichen geraden Permutationen der naturlichen Zahlen ist einfach Diese Gruppe kann als direkter Limes aller A n displaystyle A n nbsp unter den Standardeinbettungen A n A n 1 displaystyle A n to A n 1 nbsp konstruiert werden Jede von der zweielementigen Gruppe C 2 displaystyle C 2 nbsp verschiedene Gruppe mit genau zwei Konjugationsklassen ist eine unendliche einfache Gruppe Einfache Lie Gruppen BearbeitenAbweichend von der in der Gruppentheorie ublichen obigen Definition bezeichnet man in der Theorie der Lie Gruppen nicht zu verwechseln mit obigen Gruppen vom Lie Typ eine zusammenhangende Lie Gruppe als einfache Lie Gruppe wenn ihre Lie Algebra eine einfache Lie Algebra ist Das ist aquivalent zu der Bedingung dass alle echten Normalteiler diskrete Untergruppen sind oder dass es keine nichttrivialen zusammenhangenden Normalteiler gibt Beispielsweise ist SL 2 R eine einfache Gruppe im Sinne der Lie Gruppen Theorie hat aber den Normalteiler 1 displaystyle left pm 1 right nbsp Der Quotient P S L 2 R S L 2 R 1 displaystyle PSL 2 mathbb R SL 2 mathbb R left pm 1 right nbsp ist eine einfache Gruppe auch im Sinne der in der Gruppentheorie ublichen Definition Siehe auch BearbeitenCharakteristisch einfache GruppeEinzelnachweise Bearbeiten John D Dixon Problems in group theory Dover Publications Mineola N Y 2007 ISBN 978 0 486 45916 5 S xv Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einfache Gruppe Mathematik amp oldid 226580760 Einfache Lie Gruppen