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Sporadische Gruppe Die sporadischen Gruppen sind 26 spezielle Gruppen in der Gruppentheorie Es handelt sich um die endli

Sporadische Gruppe

Die sporadischen Gruppen sind 26 spezielle Gruppen in der Gruppentheorie. Es handelt sich um die endlichen einfachen Gruppen, die sich nicht in eine der (18) systematischen Familien mit unendlich vielen Mitgliedern (von endlichen einfachen Gruppen) einordnen lassen.

Entdeckungsgeschichte Bearbeiten

Die ersten fünf entdeckten sporadischen Gruppen, die sogenannten Mathieugruppen, wurden von Émile Mathieu in den 1860er-Jahren entdeckt. Die Entdeckungsgeschichte aller anderen sporadischen Gruppen setzte erst 1964 ein.

Die früheste Erwähnung des Begriffes „sporadische Gruppe“ dürfte von Burnside 1911, bezugnehmend auf die damals bereits bekannten Mathieugruppen, stammen: These apparently sporadic simple groups would probably repay a closer examination than they have yet received.

Einteilung Bearbeiten

Hasse-Diagramm der 26 sporadischen Gruppen.
Eine von A zu B aufsteigende Linie bedeutet:
      A ist Subquotient von B.
Die Generationen unterscheiden sich in der Farbe: rot erste, grün zweite, blau dritte; Parias in weiß .

Im nebenstehenden Hasse-Diagramm bedeutet eine Linie von A unten nach B oben, dass A Subquotient von B ist. Da die Relation transitiv ist, sind implizierte Verbindungen nicht im Diagramm eingetragen. Und gibt es im Diagramm eine von A zu B aufsteigende Linie, dann gibt es keine andere sporadische Gruppe zwischen A und B.

20 der 26 sporadischen Gruppen sind Subquotienten der Monstergruppe M, von Robert Griess Friendly Giant (deutsch: freundlicher Riese) genannt. Diese 20 Gruppen werden nach Griess unter dem Namen Happy Family (deutsch: Glückliche Familie) zusammengefasst. Letztere gliedert sich in drei Generationen, wobei die erste Generation (rot) mit dem erweiterten binären Golay-Code und die zweite (grün) mit dem Leech-Gitter bzw. Automorphismengruppen davon in Zusammenhang steht. Zur ersten Generation gehören die fünf Mathieugruppen M11, M12, M22, M23, M24, zur zweiten Generation die Conwaygruppen Co1, Co2, Co3 und die Gruppen J2, HS, McL, Suz. Die dritte Generation (blau) ist nahe verwandt mit M und enthält die übrigen Gruppen He, Fi22, Fi23, Fi24, HN, Th, B und M der Happy Family.

Die sechs sporadischen Gruppen, die nicht Subquotienten von M sind, sind die Jankogruppen J1, J3 und J4, die Rudvalisgruppe Ru, die Lyonsgruppe Ly und die O’Nan-Gruppe ON. Sie werden bei Griess Parias (engl. pariah) genannt (in der untenstehenden Tabelle als Generation P).

Teilweise wird auch die nach dem belgisch-französischen Mathematiker Jacques Tits benannte Tits-Gruppe T = 2F4(2)′ der Ordnung 17.971.200 als eine sporadische Gruppe angesehen, weil sie nicht eine Gruppe vom Lie-Typ sei. Allerdings ist das Definiens für »nicht-sporadisch« bei endlichen einfachen Gruppen die »Zugehörigkeit zu einer unendlichen systematischen Familie« — was nicht unmittelbar mit der Eigenschaft »vom Lie-Typ« etwas zu tun hat, denn es gibt andere unendliche Familien endlicher einfacher Gruppen, z. B. die Gruppen von Primzahlordnung oder die alternierenden Gruppen, die auch nicht vom Lie-Typ sind. Mit ihrer Zugehörigkeit zur unendlichen Familie der abgeleiteten Ree-Gruppen 2F4(22n+1)′, deren Mitglieder 2F4(22n+1) für mit ihren Ableitungen übereinstimmen, ist sie im strengen Sinn keine sporadische Gruppe. Sie ist Subquotient von Fi22 und Ru und würde demnach, wenn eingeordnet, zur dritten Generation der sporadischen Gruppen gehören.

Tabelle der 26 sporadischen Gruppen Bearbeiten

Standardreihenfolge, erste Symbole, Entdeckungsjahr aus Hiss S. 172.

Name Symbole Entdecker Jahr Generation Ordnung (zirka) Ordnung
(als Dezimalzahl Folge A001228 in OEIS) 		Ordnung
(in Primfaktorzerlegung)
Mathieugruppe … M11 Mathieu 1861 1     8e3 7.920 24·32·5·11
M12 Mathieu 1861 1 1e5 95.040 26·33·5·11
M22 Mathieu 1861 1 4e5 443.520 27·32·5·7·11
M23 Mathieu 1861 1 1e7 10.200.960 27·32·5·7·11·23
M24 Mathieu 1861 1 2e8 244.823.040 210·33·5·7·11·23
Jankogruppe … J1 Janko 1965 P 2e5 175.560 23·3·5·7·11·19
J2, HJ Janko 1968 2 6e5 604.800 27·33·52·7
J3 Janko 1968 P 5e7 50.232.960 27·35·5·17·19
J4 Janko 1976 P 9e19 86.775.571.046.077.562.880 221·33·5·7·113·23·29·31·37·43
Higman-Sims-Gruppe HS Higman, Sims 1967 2 4e7 44.352.000 29·32·53·7·11
McLaughlin-Gruppe McL, Mc McLaughlin 1969 2 9e8 898.128.000 27·36·53·7·11
Suzukigruppe Suz Suzuki 1969 2 4e11 448.345.497.600 213·37·52·7·11·13
Rudvalisgruppe Ru Rudvalis 1972 P 1e11 145.926.144.000 214·33·53·7·13·29
Heldgruppe He Held 1969 3 4e9 4.030.387.200 210·33·52·73·17
Lyonsgruppe Ly Lyons 1972 P 5e16 51.765.179.004.000.000 28·37·56·7·11·31·37·67
O’Nan-Gruppe ON, O’N O’Nan 1976 P 4e11 460.815.505.920 29·34·5·73·11·19·31
Conwaygruppe … Co1, C1 Conway 1969 2 4e18 4.157.776.806.543.360.000 221·39·54·72·11·13·23
Co2, C2 Conway 1969 2 4e13 42.305.421.312.000 218·36·53·7·11·23
Co3, C3 Conway 1969 2 5e11 495.766.656.000 210·37·53·7·11·23
Fischer-Gruppe … Fi22 Fischer 1971 3 6e13 64.561.751.654.400 217·39·52·7·11·13
Fi23 Fischer 1971 3 4e18 4.089.470.473.293.004.800 218·313·52·7·11·13·17·23
Fi24, F24′ Fischer 1971 3 1e24 1.255.205.709.190.661.721.292.800 221·316·52·73·11·13·17·23·29
Harada-Norton-Gruppe HN, F5 Harada, Norton, Smith 1976 3 3e14 273.030.912.000.000 214·36·56·7·11·19
Thompsongruppe Th, F3 Thompson 1976 3 9e16 90.745.943.887.872.000 215·310·53·72·13·19·31
Baby-Monstergruppe B, F2 Fischer 1973 3 4e33 4.154.781.481.226.426.191.177.580.544.000.000 241·313·56·72·11·13·17·19·23·31·47
Monstergruppe M, F1 Fischer, Griess 1973 3 8e53 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000 246·320·59·76·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71

Literatur Bearbeiten

  • Robert Griess: The Friendly Giant. In: Inventiones Mathematicae. Band 69, 1982, S. 1–102, doi:10.1007/BF01389186 (Online bei digizeitschriften.de).
  • Robert Griess: Twelve Sporadic Groups. Springer, 2002, ISBN 978-3-540-62778-4, doi:10.1007/978-3-662-03516-0.
  • Gerhard Hiss: Die sporadischen Gruppen. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Band 105, Nr. 4, 2003, S. 169–194 (Online im DMV Jahresberichte-Archiv. [PDF]).
  • John McKay: Finite Groups – Coming of Age. American Mathematical Society, 1985, ISBN 978-0-8218-5047-3.
  • Michael Aschbacher: Sporadic Groups, Cambridge University Press 1994

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. zusammengestellt hauptsächlich aus Griess S. 94
  2. Es gibt jedoch sehr viele andere (nicht-sporadische) einfache Subquotienten einer sporadischen Gruppe, am unteren Ende auf jeden Fall die Gruppen von Primzahlordnung, aber auch alternierende Gruppen einer Ordnung ≥ 5 und einfache Gruppen vom Lie-Typ wie die Steinberg-Gruppe 2E6(22) (Beispiele in Wilsons Atlas).
    Umgekehrt ist nach dem Satz von Cayley jede endliche Gruppe Untergruppe einer symmetrischen Gruppe genügend hohen Grades die ihrerseits unter Anhängen der Transposition an alle ungeraden Permutationen in die alternierende Gruppe eingebettet werden kann. Damit ist jede sporadische Gruppe auch Subquotient einer (einfachen) alternierenden Gruppe.
  3. F1 in Griess
  4. s. Griess
  5. Bei Hiss und Eric W. Weisstein „Sporadic Group“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource wird die Tits-Gruppe nicht unter den 26 aufgeführt.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die sporadischen Gruppen sind 26 spezielle Gruppen in der Gruppentheorie Es handelt sich um die endlichen einfachen Gruppen die sich nicht in eine der 18 systematischen Familien mit unendlich vielen Mitgliedern von endlichen einfachen Gruppen einordnen lassen Inhaltsverzeichnis 1 Entdeckungsgeschichte 2 Einteilung 3 Tabelle der 26 sporadischen Gruppen 4 Literatur 5 Einzelnachweise 6 WeblinksEntdeckungsgeschichte BearbeitenDie ersten funf entdeckten sporadischen Gruppen die sogenannten Mathieugruppen wurden von Emile Mathieu in den 1860er Jahren entdeckt Die Entdeckungsgeschichte aller anderen sporadischen Gruppen setzte erst 1964 ein Die fruheste Erwahnung des Begriffes sporadische Gruppe durfte von Burnside 1911 bezugnehmend auf die damals bereits bekannten Mathieugruppen stammen These apparently sporadic simple groups would probably repay a closer examination than they have yet received Einteilung Bearbeiten nbsp Hasse Diagramm der 26 sporadischen Gruppen Eine von A zu B aufsteigende Linie bedeutet A ist Subquotient von B Die Generationen unterscheiden sich in der Farbe rot nbsp erste grun nbsp zweite blau nbsp dritte Parias in weiss nbsp Im nebenstehenden Hasse Diagramm bedeutet eine Linie von A unten nach B oben dass A Subquotient von B ist 1 Da die Relation transitiv ist sind implizierte Verbindungen nicht im Diagramm eingetragen Und gibt es im Diagramm eine von A zu B aufsteigende Linie dann gibt es keine andere sporadische Gruppe zwischen A und B 2 20 der 26 sporadischen Gruppen sind Subquotienten der Monstergruppe M von Robert Griess Friendly Giant 3 deutsch freundlicher Riese genannt Diese 20 Gruppen werden nach Griess unter dem Namen Happy Family deutsch Gluckliche Familie zusammengefasst 4 Letztere gliedert sich in drei Generationen wobei die erste Generation rot mit dem erweiterten binaren Golay Code und die zweite grun mit dem Leech Gitter bzw Automorphismengruppen davon in Zusammenhang steht Zur ersten Generation gehoren die funf Mathieugruppen M11 M12 M22 M23 M24 zur zweiten Generation die Conwaygruppen Co1 Co2 Co3 und die Gruppen J2 HS McL Suz Die dritte Generation blau ist nahe verwandt mit M und enthalt die ubrigen Gruppen He Fi22 Fi23 Fi24 HN Th B und M der Happy Family Die sechs sporadischen Gruppen die nicht Subquotienten von M sind sind die Jankogruppen J1 J3 und J4 die Rudvalisgruppe Ru die Lyonsgruppe Ly und die O Nan Gruppe ON Sie werden bei Griess Parias engl pariah genannt in der untenstehenden Tabelle als Generation P Teilweise wird auch die nach dem belgisch franzosischen Mathematiker Jacques Tits benannte Tits Gruppe T 2F4 2 der Ordnung 17 971 200 als eine sporadische Gruppe angesehen weil sie nicht eine Gruppe vom Lie Typ sei Allerdings ist das Definiens fur nicht sporadisch bei endlichen einfachen Gruppen die Zugehorigkeit zu einer unendlichen systematischen Familie was nicht unmittelbar mit der Eigenschaft vom Lie Typ etwas zu tun hat denn es gibt andere unendliche Familien endlicher einfacher Gruppen z B die Gruppen von Primzahlordnung oder die alternierenden Gruppen die auch nicht vom Lie Typ sind Mit ihrer Zugehorigkeit zur unendlichen Familie der abgeleiteten Ree Gruppen 2F4 22n 1 deren Mitglieder 2F4 22n 1 fur n 1 displaystyle n geq 1 nbsp mit ihren Ableitungen ubereinstimmen ist sie im strengen Sinn keine sporadische Gruppe 5 Sie ist Subquotient von Fi22 und Ru und wurde demnach wenn eingeordnet zur dritten Generation der sporadischen Gruppen gehoren Tabelle der 26 sporadischen Gruppen BearbeitenStandardreihenfolge erste Symbole Entdeckungsjahr aus Hiss S 172 Name Symbole Entdecker Jahr Generation Ordnung zirka Ordnung als Dezimalzahl Folge A001228 in OEIS Ordnung in Primfaktorzerlegung Mathieugruppe M11 Mathieu 1861 1 8e 3 7 920 24 32 5 11M12 Mathieu 1861 1 1e 5 95 040 26 33 5 11M22 Mathieu 1861 1 4e 5 443 520 27 32 5 7 11M23 Mathieu 1861 1 1e 7 10 200 960 27 32 5 7 11 23M24 Mathieu 1861 1 2e 8 244 823 040 210 33 5 7 11 23Jankogruppe J1 Janko 1965 P 2e 5 175 560 23 3 5 7 11 19J2 HJ Janko 1968 2 6e 5 604 800 27 33 52 7J3 Janko 1968 P 5e 7 50 232 960 27 35 5 17 19J4 Janko 1976 P 9e 19 86 775 571 046 077 562 880 221 33 5 7 113 23 29 31 37 43Higman Sims Gruppe HS Higman Sims 1967 2 4e 7 44 352 000 29 32 53 7 11McLaughlin Gruppe McL Mc McLaughlin 1969 2 9e 8 898 128 000 27 36 53 7 11Suzukigruppe Suz Suzuki 1969 2 4e 11 448 345 497 600 213 37 52 7 11 13Rudvalisgruppe Ru Rudvalis 1972 P 1e 11 145 926 144 000 214 33 53 7 13 29Heldgruppe He Held 1969 3 4e 9 4 030 387 200 210 33 52 73 17Lyonsgruppe Ly Lyons 1972 P 5e 16 51 765 179 004 000 000 28 37 56 7 11 31 37 67O Nan Gruppe ON O N O Nan 1976 P 4e 11 460 815 505 920 29 34 5 73 11 19 31Conwaygruppe Co1 C1 Conway 1969 2 4e 18 4 157 776 806 543 360 000 221 39 54 72 11 13 23Co2 C2 Conway 1969 2 4e 13 42 305 421 312 000 218 36 53 7 11 23Co3 C3 Conway 1969 2 5e 11 495 766 656 000 210 37 53 7 11 23Fischer Gruppe Fi22 Fischer 1971 3 6e 13 64 561 751 654 400 217 39 52 7 11 13Fi23 Fischer 1971 3 4e 18 4 089 470 473 293 004 800 218 313 52 7 11 13 17 23Fi24 F24 Fischer 1971 3 1e 24 1 255 205 709 190 661 721 292 800 221 316 52 73 11 13 17 23 29Harada Norton Gruppe HN F5 Harada Norton Smith 1976 3 3e 14 273 030 912 000 000 214 36 56 7 11 19Thompsongruppe Th F3 Thompson 1976 3 9e 16 90 745 943 887 872 000 215 310 53 72 13 19 31Baby Monstergruppe B F2 Fischer 1973 3 4e 33 4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000 241 313 56 72 11 13 17 19 23 31 47Monstergruppe M F1 Fischer Griess 1973 3 8e 53 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000 246 320 59 76 112 133 17 19 23 29 31 41 47 59 71Literatur BearbeitenRobert Griess The Friendly Giant In Inventiones Mathematicae Band 69 1982 S 1 102 doi 10 1007 BF01389186 Online bei digizeitschriften de Robert Griess Twelve Sporadic Groups Springer 2002 ISBN 978 3 540 62778 4 doi 10 1007 978 3 662 03516 0 Gerhard Hiss Die sporadischen Gruppen In Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung Band 105 Nr 4 2003 S 169 194 Online im DMV Jahresberichte Archiv PDF John McKay Finite Groups Coming of Age American Mathematical Society 1985 ISBN 978 0 8218 5047 3 Michael Aschbacher Sporadic Groups Cambridge University Press 1994Einzelnachweise Bearbeiten zusammengestellt hauptsachlich aus Griess S 94 Es gibt jedoch sehr viele andere nicht sporadische einfache Subquotienten einer sporadischen Gruppe am unteren Ende auf jeden Fall die Gruppen von Primzahlordnung aber auch alternierende Gruppen einer Ordnung 5 und einfache Gruppen vom Lie Typ wie die Steinberg Gruppe 2E6 22 Beispiele in Wilsons Atlas Umgekehrt ist nach dem Satz von Cayley jede endliche Gruppe Untergruppe einer symmetrischen Gruppe S n displaystyle S n nbsp genugend hohen Grades n displaystyle n nbsp die ihrerseits unter Anhangen der Transposition n 1 n 2 displaystyle n 1 n 2 nbsp an alle ungeraden Permutationen in die alternierende Gruppe A n 2 displaystyle A n 2 nbsp eingebettet werden kann Damit ist jede sporadische Gruppe auch Subquotient einer einfachen alternierenden Gruppe F1 in Griess s Griess Bei Hiss und Eric W Weisstein Sporadic Group From MathWorld A Wolfram Web Resource wird die Tits Gruppe nicht unter den 26 aufgefuhrt Weblinks BearbeitenRobert Wilson s Atlas of Finite Group Representations Sporadic groups englisch Die sporadischen Gruppen Erzeuger Untergruppen Konjugiertenklassen im Atlas of Finite Group Representations englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sporadische Gruppe amp oldid 237877975