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Jacques Tits Jacques Leon Tits 12 August 1930 in Uccle Ukkel 5 Dezember 2021 1 in Paris war ein belgisch französischer M

Jacques Tits

Jacques Leon Tits (* 12. August 1930 in Uccle/Ukkel; † 5. Dezember 2021 in Paris) war ein belgisch-französischer Mathematiker, der überwiegend auf dem Gebiet der Gruppentheorie und algebraischen Geometrie arbeitete. Er war Ehrenprofessor am Collège de France in Paris.

Jaques Tits, 2008

Leben Bearbeiten

Tits war geborener Belgier und ging in Uccle/Ukkel bei Brüssel zur Schule. Er studierte an der französischsprachigen Freien Universität in Brüssel (Université Libre de Bruxelles), wo er 1950 bei Paul Libois promovierte (Généralisations des groupes projectifs basées sur la notion de transitivité). 1956 bis 1962 war er Assistent und von 1962 bis 1964 Professor an der Université Libre de Bruxelles, danach bis 1974 an der Universität Bonn, bevor er Professor am Collège de France wurde (emeritiert 2000). Nach seinem Ruhestand war er der erste Vallée-Poussin-Gastprofessor an der Université catholique de Louvain in Louvain-la-Neuve.

Tits heiratete 1956 die Historikerin Marie-Jeanne Dieuaide. Er war französischer Staatsbürger.

1980 bis 1999 war er Herausgeber der Publications Mathematiques de l’IHES.

Wirken Bearbeiten

In den 1960er-Jahren arbeitete Tits viel mit Armand Borel über algebraische Gruppen. Er ist der Erfinder der Theorie der Gebäude (buildings), kombinatorischer Strukturen, auf denen Gruppen operieren, die Tits ursprünglich untersuchte, um Verallgemeinerungen von einfachen Liegruppen über beliebigen Körpern zu untersuchen. Gebäude lassen sich nicht nur über reellen und komplexen Körpern definieren, sondern auch über p-adischen Zahlen oder endlichen Körpern und haben so Anwendungen in algebraischer Geometrie und Zahlentheorie. Bei der Entwicklung der Theorie der Gebäude arbeitete er mit François Bruhat zusammen (Bruhat-Tits-Gebäude). Tits klassifizierte irreduzible sphärische Gebäude mit einem Rang größer oder gleich 3. Mit der Theorie der Gebäude verbunden ist die Theorie der -Paare einer Gruppe, wobei (Borel-Untergruppe) und Untergruppen von sind, die erzeugen. Außerdem ist die Schnittmenge von , (die Cartan-Untergruppe) eine normale Untergruppe in , und die Faktorgruppe (die Weylgruppe) wird von Elementen der Ordnung 2 erzeugt (also „Spiegelungen“). Das ganze ist aus der Theorie der Lie-Algebren verallgemeinert und erlaubt vereinfachte und allgemeiner gültige Beweise. Mit -Paaren lassen sich auch Gebäude konstruieren, die weder affin noch sphärisch sind, sondern aus unendlich-dimensionalen Liegruppen resultieren (Kac-Moody-Algebren).

Tits-Alternative: Jede endlich erzeugte Untergruppe der linearen Gruppe besitzt entweder eine auflösbare Untergruppe von endlichem Index oder eine freie Untergruppe vom Rang 2.

Tits 1967

Er arbeitete auch über endliche einfache Gruppen, zum Beispiel über das „Monster“. Eine endliche einfache Gruppe, die Tits-Gruppe, ist nach ihm benannt. Die Tits-Gruppe ist die Kommutatorgruppe der getwisteten Chevalley-Gruppe vom Typ über dem endlichen Körper GF(2).

Tits klassifizierte die Polarräume von endlichem Rang größer gleich drei und allgemeiner die sogenannten sphärischen Gebäude vom Rang größer gleich drei. Weitere Arbeiten widmen sich durch Gruppen definierten Geometrien, beispielsweise Moufang-Oktagone, projektive Ebenen mit den Suzuki-Gruppen als Automorphismen, verallgemeinerte -gone, Automorphismengruppen von Bäumen, quadratischen Formen, Buekenhout-Tits-Geometrien und Clifford-Algebren.

Beobachtungen von Tits in einem Aufsatz von 1956 gelten als Beginn der Beschäftigung mit dem Körper mit einem Element . Er betrachtete die Kardinalität einer algebraischen Gruppe vom Lie-Typ über dem endlichen Körper von Elementen im Grenzwert und fand dass diese (bis auf einen vom Rang abhängigen Vorfaktor, der beim Grenzübergang verschwindet) durch die Kardinalität der Weylgruppe von gegeben ist. Er schlug dann vor, die Weylgruppe als Gruppe der Punkte von über dem Körper mit einem Element zu betrachten.

Ehrungen und Auszeichnungen Bearbeiten

1976 erhielt er den Großen Preis der französischen Akademie der Wissenschaften, deren korrespondierendes Mitglied er seit 1977 und deren Mitglied er seit 1979 ist. 1962 in Stockholm (Groupes simples et geometries associees) und 1974 in Vancouver (On Buildings and their Application) hielt er einen Plenarvortrag auf dem ICM. 1970 war er Invited Speaker auf dem ICM in Nizza (Homomorphismes et automorphismes „abstraits“ de groupes algébriques et arithmétiques). Er bekam 1993 den Wolf-Preis und war ab 1995 Mitglied des Ordens Pour le Mérite für Wissenschaft und Künste. 1996 erhielt er die Georg-Cantor-Medaille der Deutschen Mathematiker-Vereinigung und im März 2008 zusammen mit John Griggs Thompson den Abel-Preis für die grundlegenden Beiträge zur Algebra.

Er war Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina (seit 1977), der Academia Europaea, der belgischen und niederländischen Akademie der Wissenschaften, der Norwegischen Akademie der Wissenschaften, der American Academy of Arts and Sciences (seit 1992), der National Academy of Sciences und der London Mathematical Society (Ehrenmitglied). Er war Ritter der Ehrenlegion (1995) und Ehrendoktor der Universitäten Utrecht, Gent, Bonn und Löwen. 2009 erhielt er das Große Verdienstkreuz des Verdienstordens der Bundesrepublik Deutschland.

Schriften Bearbeiten

  • Liesche Gruppen und Algebren. Springer Hochschultext 1983, ISBN 978-3-540-12547-1, doi:10.1007/978-3-642-69189-8.
  • Tabellen zu den einfachen Liegruppen und ihren Darstellungen. Springer 1967.
  • Lectures on algebraic groups. Yale, 1967.
  • Formes quadratiques, groupes orthogonaux et algèbres de Clifford. In: Inventiones Mathematicae. Band 5, 1968, S. 19–41.
  • mit Armand Borel: Groupes réductifs. In: Publications Mathématiques de l’IHÉS, Nr. 27, 1965, S. 55–150.
  • Free subgroups in linear groups. In: Journal of Algebra, 20 (1972), S. 250–270.
  • mit A. Borel: Homomorphismes “abstraits” de groupes algébriques simples. In: Annals of Mathematics, (2) 97 (1973), S. 499–571.
  • Buildings of spherical type and finite -pairs (= Lecture Notes in Mathematics; 386). Springer-Verlag, Berlin u. a., 1974, ISSN 0075-8434, ISBN 978-3-540-06757-3.
  • mit François Bruhat: Groupes reductifs sur un corps local. In: Publications Mathématiques de l’IHÉS, Nr. 41 (1972), S. 5–251. II: Publications Mathématiques de l’IHÉS. Nr. 60 (1984), S. 197–376. III: J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 34 (1987), Nr. 3, S. 671–698.
  • A local approach to Buildings. In: Chandler Davis, Branko Grünbaum, F. A. Sherk (Hrsg.): The geometric vein: the Coxeter festschrift. Springer-Verlag, Berlin u. a., 1981, ISBN 0-387-90587-1.
  • On R. Griess’ “Friendly giant”. In: Inventiones Mathematicae. 1984 (zu der Gruppe auch Seminar Bourbaki Expose 620, 1983/4), Online.
  • Uniqueness and presentation of Kac-Moody groups over fields. In: Journal of Algebra, 105/2 (1987), S. 542–573.
  • Symmetrie. In: Peter Hilton, Friedrich Hirzebruch, Reinhold Remmert (Hrsg.): Miscellanea Mathematica. Springer, Berlin 1991. Nachdruck: 2011, ISBN 978-3-642-76711-1.
  • Twin buildings and groups of Kac-Moody type. Groups, combinatorics & geometry (Durham, 1990), S. 249–286. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 165, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992.
  • mit R. Weiss: Moufang polygons. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2002, ISBN 3-540-43714-2.
  • Collected Works, 4 Bände. Hrsg. von Francis Buekenhout, Bernhard Matthias Mühlherr, Jean-Pierre Tignol, Hendrik Van Maldeghem. European Mathematical Society 2013.

Literatur Bearbeiten

  • Artikel anlässlich Verleihung der Cantor-Medaille der DMV im Jahresbericht der DMV 2001

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Nous apprenons avec tristesse le décès de Jacques Tits le 5 décembre 2021. In: smf.emath.fr. 5. Dezember 2021, abgerufen am 6. Dezember 2021 (französisch).
  2. Jacques Tits im Mathematics Genealogy Project (englisch) Vorlage:MathGenealogyProject/Wartung/id verwendetVorlage:MathGenealogyProject/Wartung/name verwendet
  3. (Memento vom 23. September 2009 im Internet Archive)
  4. Mark Ronan: Buildings. Abgerufen am 4. Januar 2021 (englisch).
  5. Tits, Sur les analogues algèbriques des groups semi-simples complexes, Colloque de’l algèbre supérieure, Brüssel 1956, Gauthier Villars 1957, S. 261–289.
  6. Francis Buekenhout, A Biography of Jacques Tits. In: Helge Holden, Ragne Piene (Hrsg.): The Abel Prize 2008–2012, Berlin 2014, ISBN 978-3-642-39448-5, S. 35–53, doi:10.1007/978-3-642-39449-2_3
  7. Mitgliedseintrag von Prof. Dr. Jacques Tits bei der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina, abgerufen am 22. Juli 2016.
Personendaten
NAME Tits, Jacques
ALTERNATIVNAMEN Tits, Jacques Leon (vollständiger Name)
KURZBESCHREIBUNG belgisch-französischer Mathematiker
GEBURTSDATUM 12. August 1930
GEBURTSORT Uccle/Ukkel
STERBEDATUM 5. Dezember 2021
STERBEORT Paris
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Veröffentlichungsdatum:
Jacques Leon Tits 12 August 1930 in Uccle Ukkel 5 Dezember 2021 1 in Paris war ein belgisch franzosischer Mathematiker der uberwiegend auf dem Gebiet der Gruppentheorie und algebraischen Geometrie arbeitete Er war Ehrenprofessor am College de France in Paris Jaques Tits 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Leben 2 Wirken 3 Ehrungen und Auszeichnungen 4 Schriften 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseLeben BearbeitenTits war geborener Belgier und ging in Uccle Ukkel bei Brussel zur Schule Er studierte an der franzosischsprachigen Freien Universitat in Brussel Universite Libre de Bruxelles wo er 1950 bei Paul Libois promovierte Generalisations des groupes projectifs basees sur la notion de transitivite 2 1956 bis 1962 war er Assistent und von 1962 bis 1964 Professor an der Universite Libre de Bruxelles danach bis 1974 an der Universitat Bonn bevor er Professor am College de France wurde emeritiert 2000 Nach seinem Ruhestand war er der erste Vallee Poussin Gastprofessor an der Universite catholique de Louvain in Louvain la Neuve 3 Tits heiratete 1956 die Historikerin Marie Jeanne Dieuaide Er war franzosischer Staatsburger 1980 bis 1999 war er Herausgeber der Publications Mathematiques de l IHES Wirken BearbeitenIn den 1960er Jahren arbeitete Tits viel mit Armand Borel uber algebraische Gruppen Er ist der Erfinder der Theorie der Gebaude buildings kombinatorischer Strukturen auf denen Gruppen operieren die Tits ursprunglich untersuchte um Verallgemeinerungen von einfachen Liegruppen uber beliebigen Korpern zu untersuchen 4 Gebaude lassen sich nicht nur uber reellen und komplexen Korpern definieren sondern auch uber p adischen Zahlen oder endlichen Korpern und haben so Anwendungen in algebraischer Geometrie und Zahlentheorie Bei der Entwicklung der Theorie der Gebaude arbeitete er mit Francois Bruhat zusammen Bruhat Tits Gebaude Tits klassifizierte irreduzible spharische Gebaude mit einem Rang grosser oder gleich 3 Mit der Theorie der Gebaude verbunden ist die Theorie der B N displaystyle B N nbsp Paare einer Gruppe wobei B displaystyle B nbsp Borel Untergruppe und N displaystyle N nbsp Untergruppen von G displaystyle G nbsp sind die G displaystyle G nbsp erzeugen Ausserdem ist die Schnittmenge H displaystyle H nbsp von B displaystyle B nbsp N displaystyle N nbsp die Cartan Untergruppe eine normale Untergruppe in N displaystyle N nbsp und die Faktorgruppe W N H displaystyle W N H nbsp die Weylgruppe wird von Elementen der Ordnung 2 erzeugt also Spiegelungen Das ganze ist aus der Theorie der Lie Algebren verallgemeinert und erlaubt vereinfachte und allgemeiner gultige Beweise Mit B N displaystyle B N nbsp Paaren lassen sich auch Gebaude konstruieren die weder affin noch spharisch sind sondern aus unendlich dimensionalen Liegruppen resultieren Kac Moody Algebren Tits Alternative Jede endlich erzeugte Untergruppe der linearen Gruppe besitzt entweder eine auflosbare Untergruppe von endlichem Index oder eine freie Untergruppe vom Rang 2 nbsp Tits 1967Er arbeitete auch uber endliche einfache Gruppen zum Beispiel uber das Monster Eine endliche einfache Gruppe die Tits Gruppe ist nach ihm benannt Die Tits Gruppe ist die Kommutatorgruppe der getwisteten Chevalley Gruppe vom Typ 2 F 4 displaystyle 2 F 4 nbsp uber dem endlichen Korper GF 2 Tits klassifizierte die Polarraume von endlichem Rang grosser gleich drei und allgemeiner die sogenannten spharischen Gebaude vom Rang grosser gleich drei Weitere Arbeiten widmen sich durch Gruppen definierten Geometrien beispielsweise Moufang Oktagone projektive Ebenen mit den Suzuki Gruppen als Automorphismen verallgemeinerte n displaystyle n nbsp gone Automorphismengruppen von Baumen quadratischen Formen Buekenhout Tits Geometrien und Clifford Algebren Beobachtungen von Tits in einem Aufsatz von 1956 gelten als Beginn der Beschaftigung mit dem Korper mit einem Element F 1 displaystyle F 1 nbsp 5 Er betrachtete die Kardinalitat einer algebraischen Gruppe G displaystyle G nbsp vom Lie Typ uber dem endlichen Korper F q displaystyle F q nbsp von q displaystyle q nbsp Elementen im Grenzwert q 1 displaystyle q to 1 nbsp und fand dass diese bis auf einen vom Rang abhangigen Vorfaktor der beim Grenzubergang verschwindet durch die Kardinalitat der Weylgruppe von G displaystyle G nbsp gegeben ist Er schlug dann vor die Weylgruppe als Gruppe der Punkte von G displaystyle G nbsp uber dem Korper mit einem Element zu betrachten Ehrungen und Auszeichnungen Bearbeiten1976 erhielt er den Grossen Preis der franzosischen Akademie der Wissenschaften deren korrespondierendes Mitglied er seit 1977 und deren Mitglied er seit 1979 ist 1962 in Stockholm Groupes simples et geometries associees und 1974 in Vancouver On Buildings and their Application hielt er einen Plenarvortrag auf dem ICM 1970 war er Invited Speaker auf dem ICM in Nizza Homomorphismes et automorphismes abstraits de groupes algebriques et arithmetiques Er bekam 1993 den Wolf Preis und war ab 1995 Mitglied des Ordens Pour le Merite fur Wissenschaft und Kunste 1996 erhielt er die Georg Cantor Medaille der Deutschen Mathematiker Vereinigung und im Marz 2008 zusammen mit John Griggs Thompson den Abel Preis fur die grundlegenden Beitrage zur Algebra 6 Er war Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina seit 1977 7 der Academia Europaea der belgischen und niederlandischen Akademie der Wissenschaften der Norwegischen Akademie der Wissenschaften der American Academy of Arts and Sciences seit 1992 der National Academy of Sciences und der London Mathematical Society Ehrenmitglied Er war Ritter der Ehrenlegion 1995 und Ehrendoktor der Universitaten Utrecht Gent Bonn und Lowen 2009 erhielt er das Grosse Verdienstkreuz des Verdienstordens der Bundesrepublik Deutschland Schriften BearbeitenLiesche Gruppen und Algebren Springer Hochschultext 1983 ISBN 978 3 540 12547 1 doi 10 1007 978 3 642 69189 8 Tabellen zu den einfachen Liegruppen und ihren Darstellungen Springer 1967 Lectures on algebraic groups Yale 1967 Formes quadratiques groupes orthogonaux et algebres de Clifford In Inventiones Mathematicae Band 5 1968 S 19 41 mit Armand Borel Groupes reductifs In Publications Mathematiques de l IHES Nr 27 1965 S 55 150 Free subgroups in linear groups In Journal of Algebra 20 1972 S 250 270 mit A Borel Homomorphismes abstraits de groupes algebriques simples In Annals of Mathematics 2 97 1973 S 499 571 Buildings of spherical type and finite B N displaystyle B N nbsp pairs Lecture Notes in Mathematics 386 Springer Verlag Berlin u a 1974 ISSN 0075 8434 ISBN 978 3 540 06757 3 mit Francois Bruhat Groupes reductifs sur un corps local In Publications Mathematiques de l IHES Nr 41 1972 S 5 251 II Publications Mathematiques de l IHES Nr 60 1984 S 197 376 III J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA Math 34 1987 Nr 3 S 671 698 A local approach to Buildings In Chandler Davis Branko Grunbaum F A Sherk Hrsg The geometric vein the Coxeter festschrift Springer Verlag Berlin u a 1981 ISBN 0 387 90587 1 On R Griess Friendly giant In Inventiones Mathematicae 1984 zu der Gruppe auch Seminar Bourbaki Expose 620 1983 4 Online Uniqueness and presentation of Kac Moody groups over fields In Journal of Algebra 105 2 1987 S 542 573 Symmetrie In Peter Hilton Friedrich Hirzebruch Reinhold Remmert Hrsg Miscellanea Mathematica Springer Berlin 1991 Nachdruck 2011 ISBN 978 3 642 76711 1 Twin buildings and groups of Kac Moody type Groups combinatorics amp geometry Durham 1990 S 249 286 London Math Soc Lecture Note Ser 165 Cambridge Univ Press Cambridge 1992 mit R Weiss Moufang polygons Springer Monographs in Mathematics Springer Verlag Berlin 2002 ISBN 3 540 43714 2 Collected Works 4 Bande Hrsg von Francis Buekenhout Bernhard Matthias Muhlherr Jean Pierre Tignol Hendrik Van Maldeghem European Mathematical Society 2013 Literatur BearbeitenArtikel anlasslich Verleihung der Cantor Medaille der DMV im Jahresbericht der DMV 2001Weblinks BearbeitenJohn J O Connor Edmund F Robertson Jacques Tits In MacTutor History of 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