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Bruhat Tits Gebäude In der Mathematik sind eine nicht archimedische Variante symmetrischer Räume Sie sind nach François

Bruhat-Tits-Gebäude

In der Mathematik sind Bruhat-Tits-Gebäude eine nicht-archimedische Variante symmetrischer Räume. Sie sind nach François Bruhat und Jacques Tits benannt.

Bruhat-Tits-Baum für

Bruhat-Tits-Gebäude für SL(n,K) Bearbeiten

Sei ein Körper und eine diskrete Bewertung. Der Bewertungsring ist definiert durch .

Das Bruhat-Tits-Gebäude für die spezielle lineare Gruppe ist ein (n-1)-dimensionaler Simplizialkomplex.

Ecken: Seine Ecken (0-Simplizes) sind die Homothetieklassen von Gittern in . (Ein Gitter ist ein -Modul vom Rang , zwei Gitter gehören zur selben Homothetieklasse wenn für ein .)

Simplizes: Ecken bilden genau dann einen -dimensionalen Simplex, wenn sie durch Gitter mit

mit einem irreduziblen Element repräsentiert werden.

Insbesondere ist das Bruhat-Tits-Gebäude von ein unendlicher Baum, dessen Knoten die Valenz haben, wobei der zu assoziierte Restklassenkörper ist. Man spricht in diesem Fall von einem Bruhat-Tits-Baum.

Allgemein kann ein Bruhat-Tits-Gebäude für jede reduktive Gruppe über einem lokalen Körper definiert werden.

Eigenschaften Bearbeiten

Das Bruhat-Tits-Gebäude ist ein euklidisches Gebäude und insbesondere ein CAT(0)-Raum. Der Link jeder Ecke ist ein sphärisches Tits-Gebäude und insbesondere ein CAT(1)-Raum.

Die Gruppe wirkt eigentlich diskontinuierlich durch simpliziale Automorphismen auf ihrem Bruhat-Tits-Gebäude.

Das Bruhat-Tits-Gebäude ist kontrahierbar, endlich-dimensional und lokal endlich, letzteres heißt, dass jeder Simplex nur zu endlich vielen Simplizes adjazent ist.

Literatur Bearbeiten

  • Jean-Pierre Serre: Trees (= Springer Monographs in Mathematics.). Translated from the French original by John Stillwell. Corrected 2nd printing of the 1980 English translation. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44237-5.
  • Ian G. MacDonald: Spherical functions on a group of p-adic type (= Publications of the Ramanujan Institute. 2, ISSN 0304-9965). University of Madras – Ramanujan Institute, Madras 1971.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Abschnitt 3.2 in Remy-Thuillier-Werner, op. cit.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik sind Bruhat Tits Gebaude eine nicht archimedische Variante symmetrischer Raume Sie sind nach Francois Bruhat und Jacques Tits benannt Bruhat Tits Baum fur S L 2 Q 2 displaystyle SL 2 mathbb Q 2 Inhaltsverzeichnis 1 Bruhat Tits Gebaude fur SL n K 2 Eigenschaften 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseBruhat Tits Gebaude fur SL n K BearbeitenSei K displaystyle K nbsp ein Korper und v displaystyle v nbsp eine diskrete Bewertung Der Bewertungsring O v displaystyle mathcal O v nbsp ist definiert durch O v x K v x 0 displaystyle mathcal O v left x in K colon v x geq 0 right nbsp Das Bruhat Tits Gebaude fur die spezielle lineare Gruppe G S L n K displaystyle G SL n K nbsp ist ein n 1 dimensionaler Simplizialkomplex Ecken Seine Ecken 0 Simplizes sind die Homothetieklassen von Gittern in K n displaystyle K n nbsp Ein Gitter ist ein O v displaystyle mathcal O v nbsp Modul vom Rang n displaystyle n nbsp zwei Gitter L L displaystyle Lambda Lambda prime nbsp gehoren zur selben Homothetieklasse wenn L a L displaystyle Lambda prime alpha Lambda nbsp fur ein a K displaystyle alpha in K nbsp Simplizes m 1 displaystyle m 1 nbsp Ecken s 0 s m displaystyle s 0 ldots s m nbsp bilden genau dann einen m displaystyle m nbsp dimensionalen Simplex wenn sie durch Gitter L 0 L m displaystyle Lambda 0 ldots Lambda m nbsp mit w L m L 0 L 1 L m displaystyle omega Lambda m subset Lambda 0 subset Lambda 1 subset ldots subset Lambda m nbsp mit einem irreduziblen Element w O v displaystyle omega in mathcal O v nbsp reprasentiert werden Insbesondere ist das Bruhat Tits Gebaude von S L 2 K displaystyle SL 2 K nbsp ein unendlicher Baum dessen Knoten die Valenz c h a r k 1 displaystyle char k 1 nbsp haben wobei k displaystyle k nbsp der zu K displaystyle K nbsp assoziierte Restklassenkorper ist Man spricht in diesem Fall von einem Bruhat Tits Baum Allgemein kann ein Bruhat Tits Gebaude fur jede reduktive Gruppe G displaystyle G nbsp uber einem lokalen Korper K displaystyle K nbsp definiert werden 1 Eigenschaften BearbeitenDas Bruhat Tits Gebaude ist ein euklidisches Gebaude und insbesondere ein CAT 0 Raum Der Link jeder Ecke ist ein spharisches Tits Gebaude und insbesondere ein CAT 1 Raum Die Gruppe G displaystyle G nbsp wirkt eigentlich diskontinuierlich durch simpliziale Automorphismen auf ihrem Bruhat Tits Gebaude Das Bruhat Tits Gebaude ist kontrahierbar endlich dimensional und lokal endlich letzteres heisst dass jeder Simplex nur zu endlich vielen Simplizes adjazent ist Literatur BearbeitenJean Pierre Serre Trees Springer Monographs in Mathematics Translated from the French original by John Stillwell Corrected 2nd printing of the 1980 English translation Springer Berlin u a 2003 ISBN 3 540 44237 5 Ian G MacDonald Spherical functions on a group of p adic type Publications of the Ramanujan Institute 2 ISSN 0304 9965 University of Madras Ramanujan Institute Madras 1971 Weblinks BearbeitenWitte Morris Introduction to Bruhat Tits buildings Rabinoff The Bruhat Tits building of a p adic Chevalley group and an application to representation theory Remy Thuillier Werner Bruhat Tits buildings and analytic geometryEinzelnachweise Bearbeiten Abschnitt 3 2 in Remy Thuillier Werner op cit Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bruhat Tits Gebaude amp oldid 234805756