Das sogenannte archimedische Axiom ist nach dem antiken Mathematiker Archimedes benannt, es ist aber älter und wurde schon von Eudoxos von Knidos in seiner Größenlehre formuliert. In moderner Präzisierung lautet es folgendermaßen:
Geometrisch lässt sich das Axiom derart interpretieren: Hat man zwei Strecken auf einer Geraden, so kann man die größere von beiden übertreffen, wenn man die kleinere nur oft genug abträgt.
Eine geordnete Gruppe oder ein geordneter Körper, in welchem das Archimedische Axiom gilt, heißt archimedisch geordnet.
Für den Körper der reellen Zahlen wird es manchmal axiomatisch eingeführt. Man kann allerdings mit den Axiomen eines geordneten Körpers und dem Supremumsaxiom (Jede nach oben beschränkte Teilmenge des Körpers besitzt ein Supremum) beweisen, dass die reellen Zahlen archimedisch geordnet sind.
Beweis aus dem Supremumsaxiom für einen geordneten Körper Bearbeiten
Es sei
Behauptung: Für jedes gibt es eine natürliche Zahl , so dass gilt.
Gegenannahme: Es gibt ein , so dass für alle natürlichen Zahlen
Aus der Gegenannahme folgt, dass für alle natürlichen Zahlen eine obere Schranke für ist. Mit dem Supremumsaxiom folgt daraus die Existenz einer kleinsten oberen Schranke . Gilt aber für alle natürlichen Zahlen , so gilt auch und somit auch für alle natürlichen Zahlen . Dann ist aber auch eine obere Schranke für . Wegen ist also keine kleinste obere Schranke, was im Widerspruch zur Definition von steht. Somit muss die Gegenannahme falsch sein und die Behauptung ist bewiesen.
Folgerungen aus dem archimedischen Axiom Bearbeiten
Zu jeder Zahl gibt es , so dass und . Daraus folgt: Zu jedem gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl mit
Dabei wird mit oder bezeichnet (siehe Gaußklammer). Ebenso existiert eine eindeutig bestimmte Zahl mit
welche mit oder bezeichnet wird. Damit gilt auch: für alle existiert ein mit und daher umgekehrt . In der Analysis ist dieser Zusammenhang nützlich, um beispielsweise die Konvergenz oder Divergenz von Folgen nachzuweisen.
Weiterhin folgt aus dem archimedischen Axiom, dass es für zwei reelle Zahlen immer eine rationale Zahl mit gibt und dass die Menge der natürlichen Zahlen im Körper nicht nach oben beschränkt ist.
Archimedisch geordnete abelsche Gruppen Bearbeiten
Eine geordnete abelsche Gruppe ist eine Gruppe mit einer kommutativen Verknüpfung und einer mit der Gruppenstruktur verträglichen Ordnungsstruktur . Die Ordnungsrelation muss als solche reflexiv (für alle gilt ) und transitiv (aus folgt ) sein; als Gruppenverträglichkeit bezeichnet man die Eigenschaft, dass für alle
Eine geordnete abelsche Gruppe ist archimedisch geordnet, wenn gilt:
Satz von Hölder
Jede archimedisch geordnete Gruppe ist kommutativ und isomorph zu einer additiv geordneten Untergruppe von .
Dabei ist für ein mit und additiv geschriebener Gruppenverknüpfung die Abbildung
ein Isomorphismus von in eine additive geordnete Untergruppe von , wobei für und und für und .
Das Element kann dabei als Einheit verwendet werden, mit dem jedes Gruppenelement gemessen werden kann. Das bedeutet, für jedes Element der Gruppe existiert ein so, dass .
Beispiel: Die Intervalle in der Musiktheorie bilden eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe und können alle mit der Einheit Oktave oder Cent gemessen werden. Siehe: Tonstruktur.
Klassifizierung: Entweder ist eine archimedisch geordnete Gruppe von der Form oder (isomorph zu der additiven Gruppe der ganzen Zahlen) oder es gibt kein kleinstes Element, was im Folgenden präzisiert wird.
Zu jedem Element gibt es ein mit . (Gibt es nämlich kein minimales positives , dann gibt es zu jedem sicher ein mit . Falls kann man wählen. Falls gibt es ein mit und falls gilt für die Ungleichung .)
Nichtarchimedisch angeordnete Körper Bearbeiten
Ein Beispiel für einen angeordneten Körper, in dem das Axiom des Archimedes nicht gilt, ist der in der Nichtstandardanalysis studierte Körper der hyperreellen Zahlen.
Ein einfacheres Beispiel besteht aus den rationalen Funktionen über dem rationalen (oder dem reellen) Zahlenkörper, die so geordnet werden, dass größer ist als alle Zahlen (das geht auf eindeutige Weise).
Historisches Bearbeiten
Euklid gibt in den Elementen in Buch 3 Proposition 16 ein explizites Beispiel für Größen, die das archimedische Axiom nicht erfüllen, sogenannte hornförmige Winkel, die von sich berührenden gekrümmten Kurven gebildet werden, in Euklids Beispiel von einem Kreis und seiner Tangente. Sie tauchen nur an dieser Stelle in den Elementen auf.
Weblinks Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- überliefert in: Euklid, Elemente V, Definition 4: Dass sie ein Verhältnis zueinander haben, sagt man von Größen, die vervielfältigt einander übertreffen.
- Otto Hölder Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass, Ber. Verh. Sächsische Gesellschaft der Wissenschaften Leipzig, Math. Phys. Klasse, Band 53, 1901, S. 1–64.
- Alexander Gennadjewitsch Kurosch Vorlesungen über Allgemeine Algebra. Harri Deutsch, Zürich 1964.
- Euklid, Buch 3, Proposition 16, bei David Joyce
- Felix Klein Elementarmathematik vom Höheren Standpunkt, Springer Verlag, Band 2, S. 221f.