| Diatonische Intervalle |
|---|
| Prime Sekunde Terz Quarte Quinte Sexte Septime Oktave None Dezime Undezime Duodezime Tredezime Halbton/Ganzton |
| Besondere Intervalle |
| Mikrointervall Komma Diësis Limma Apotome Ditonus Tritonus Wolfsquinte Naturseptime |
| Maßeinheiten |
| Cent Millioktave Oktave Savart |
Als Intervall (von lateinisch intervallum ‚Zwischenraum‘, eigentlich „zwischen Schanzpfählen“, von lat. vallus) bezeichnet man in der Musik den Abstand zwischen der Höhe von zwei Tönen. In der westlichen Musik verwendet man heute 12 Töne, die den gleichen Abstand haben. Intervalle in der konventionellen europäischen Tradition werden nach den lateinischen Ordinalzahlen benannt: „Prime“ (von lateinisch prima, „die Erste“), „Sekunde“ (von secunda, „die Zweite“), „Terz“ (von tertia, „die Dritte“) usw.
Beispiel für Intervalle: Große Terz f’ a’, Quarte f’ b’, Quinte f’ c’ und Oktave f’ f″.
Größe von Intervallen
Die Größe von Intervallen wird oft in der Einheit Cent gemessen. In der zwölfttönig gleichstufigen Stimmung gilt z. B.: Oktave (12 Halbtonschritte) 1200 Cent, Quinte (7 Halbtonschritte) 700 Cent, Quarte (5 Halbtonschritte) 500 Cent, große Terz (4 Halbtonschritte) 400 Cent, kleine Terz (3 Halbtonschritte) 300 Cent, Große Sekunde (2 Halbtonschritte) 200 Cent, kleine Sekunde (1 Halbtonschritt) 100 Cent. Hingegen werden mit denselben Namen in der reinen Stimmung ähnliche aber teils deutlich abweichende rationale Frequenzverhältnisse bezeichnet: Oktave: 2:1, Quinte: 3:2, Quarte: 4:3, große Terz 5:4, kleine Terz: 6:5, großer Ganzton: 9:8, kleiner Ganzton: 10:9, kleine Sekunde (Halbton): 15:16. Bei der Addition (Hintereinanderausführung) von Intervallen müssen die Halbtöne und Centmaße addiert, die Frequenzverhältnisse jedoch multipliziert werden.
Hintereinanderausführung von Intervallen
Die Hintereinanderausführung von Intervallen kann man durch eine Addition oder Subtraktion beschreiben. Die zugehörigen Frequenzverhältnisse werden multipliziert bzw. dividiert.
Zum Beispiel:
- Addition: reine kleine Terz + reine große Terz = reine Quinte bzw. Subtraktion: reine Quinte − reine kleine Terz = reine große Terz.
- In Cent, angenäherte Werte: 316 Cent + 386 Cent = 702 Cent bzw. 702 Cent − 316 Cent = 386 Cent.
- Frequenzverhältnisse: 6/5•5/4=3/2 bzw.3/2:6/5=5/4.
Die Frequenzverhältnisse der Intervalle verhalten sich exponentiell. Deshalb errechnet sich die Größe eines Intervalls logarithmisch.
Antikes Griechenland
Hauptbeitrag → Musiktheorie im antiken Griechenland → Die Tongeschlechter
Nach der Legende Pythagoras in der Schmiede definierte dieser die für Tonalität zentralen Intervalle als ganzzahlige Frequenzproportionen von Längen schwingender Saiten eines Monochords:
- Oktave (Frequenz): 2:1 (Oktave aufwärts bei Halbierung der Länge)
- Quinte (Frequenz): 3:2 (Quinte aufwärts bei zwei Dritteln der Länge)
- Quarte (Frequenz): 4:3 (Oktave 2:1 aufwärts, dann Quinte 3:2 abwärts, also: 2⁄1 : 3⁄2 = 4⁄3)
- Ganzton (Frequenz): 9:8 (Quinte 3:2 aufwärts, dann Quarte 4:3 abwärts, also: 3⁄2 : 4⁄3 = 9⁄8)
Er berücksichtigte nicht die große Terz (5:4), sondern ein aus zwei großen Ganztönen bestehendes, um das syntonische Komma (81:80) größeres Intervall: den Ditonus (81:64). Zog man den Ditonus von einer reinen Quarte ab, so blieb das Leimma übrig (256:243). Mit diesen Intervallen ließ sich kein stabiler harmonischer Dreiklang bilden, so dass die antike griechische Musik noch keine Harmonik im späteren europäischen Sinn ausbildete. Erst Archytas und Didymos bestimmten die große Terz (5:4), Eratosthenes die kleine Terz (6:5).
Die Pythagoreer ließen nur als ganzzahlige Verhältnisse errechenbare Intervalle gelten. Sie fanden keinen Quotienten, dessen Verdoppelung 9:8 ergibt, so dass sie den Ganzton nicht in zwei gleiche Halbtöne, sondern nur in einen kleineren (diesis) und einen größeren (apotome) Halbton teilen konnten. Auch war eine Oktave für sie mathematisch nicht exakt mit der Summe von sechs Ganzton- oder zwölf Halbtonschritten identisch, denn zwölf aneinander gereihte reine Quinten ergeben einen etwas höheren Zielton als die siebte Oktave des Ausgangstons. Die Differenz bezeichnet man als das pythagoreische Komma.
Philolaos wandelte erstmals addierte musikalische Intervalle in multiplizierte akustische Proportionen um. Diese Methode wurde nach 1585 von Simon Stevin durch eine Exponentialfunktion und um 1640 von Bonaventura Francesco Cavalieri und Juan Caramuel y Lobkowitz durch die logarithmische Umkehrfunktion optimiert. Euklid fasste Intervallproportionen hypothetisch bereits als Frequenzverhältnisse auf, ohne sie schon messen zu können.
Im Gegensatz zu den Pythagoreern definierte Aristoxenos Intervalle nicht mathematisch, sondern akustisch als hörbaren „Zwischenraum“ (diastema) zwischen zwei Tönen einer kontinuierlichen Melodie, wie es griechischer Musikpraxis entsprach. Demgemäß ordnete er jedem Intervall eine bestimmte Anzahl festgelegter Tonhöhen (Töne) zu, die es umfasst. So enthielt die Quarte vier aufeinander folgende Töne, ein sogenanntes Tetrachord. Dessen Außentöne wurden später ebenfalls kurz als Intervall bezeichnet, so dass der Begriff fortan den Abstand vom ersten zum letzten Ton einer solchen Tonfolge meinte.
Den Ganzton teilte Aristoxenos praktisch in zwei, drei oder vier gleiche Teilintervalle ein. Die verschiedene Kombination von Halb- und Ganztönen innerhalb eines Tetrachords ergab dessen genus (Tongeschlecht: diatonisch, chromatisch oder enharmonisch). Zwei im Abstand eines Ganztons aufeinander folgende Tetrachorde ergaben verschiedene Tonleitern (Modi) im Rahmen einer Oktave.
Europäische Tonalität
Intervallnamen und Tonleiterstufen
In Europa entstanden verschiedene Tonsysteme, von denen sich bis etwa 1700 in Mitteleuropa das dur-moll-tonale System gegenüber den heute als Kirchentonarten bezeichneten Alternativen durchsetzte. All diese europäischen Tonsysteme basieren auf heptatonischen Tonleitern, d. h. Skalen mit sieben Tonstufen pro Oktave, die mit fünf Ganzton- und zwei Halbtonschritten speziell diatonisch angelegt sind. Aus den lateinischen Ordinalzahlen dieser Tonstufen (prima „die Erste“, secunda „die Zweite“, tertia „die Dritte“ usw.) ergaben sich durch Verallgemeinerung die Namen der diatonischen Intervalle: Z.B. der Schritt „eine Terz aufwärts“ ist der Übergang von einer jeden Tonstufe zu der, die zwei Stufen höher liegt, immer bezogen auf die herrschende Tonleiter als Bezugssystem. (Wenn mit der Bezeichnung nicht das Intervall, sondern doch die betreffende Tonstufe gemeint ist, also das Intervall abgetragen an der ersten Stufe der Tonleiter, werden gelegentlich die deutlicheren Bezeichnungen Terzton, Quintton usw. benutzt.)
In der Literatur finden sich folgende Intervallnamen:
| Stufe | Bezeichnung |
|---|---|
| 1 | Prime |
| 2 | Sekunde |
| 3 | Terz |
| 4 | Quarte |
| 5 | Quinte |
| 6 | Sexte |
| 7 | Septime oder Septe |
| 8 | Oktave |
| 9 | None |
| 10 | Dezime |
| 11 | Undezime |
| 12 | Duodezime |
| 13 | Tredezime oder Terzdezime |
| 14 | Quartdezime |
| 15 | Quintdezime oder Quindezime oder Doppeloktave |
Typen von Intervallen
Die Intervalle Sekunde, Terz, Sexte und Septime kommen in je zwei Typen vor, als großes und kleines Intervall. Der Unterschied beträgt jeweils einen Halbton.
Außerdem kann jedes Intervall in übermäßiger oder verminderter Form auftreten. Auch dies bedeutet Vergrößerung bzw. Verkleinerung um einen Halbton. Die übermäßige Quarte (auch Tritonus genannt) und die verminderte Quinte finden sich schon in der Stammtonreihe: F–H bzw. H–f, und entsprechend in jeder Durtonleiter zwischen vierter und siebter Tonstufe und jeder Molltonleiter zwischen zweiter und sechster Stufe. Diese beiden Intervalle klingen in der gleichstufigen Stimmung gleich. In allen anderen Fällen entstehen übermäßige oder verminderte Intervalle durch Alteration, also Erhöhen oder Erniedrigen eines Tons um einen Halbtonschritt.
Primen, Quarten, Quinten und Oktaven, die weder übermäßig noch vermindert sind, werden als rein bezeichnet. (Mit der reinen Stimmung hat das Wort „rein“ hier nichts zu tun.)
Als abgekürzte Schreibweise für Intervalle und für Tonstufen in Akkorden (drei oder mehr Töne unterschiedlicher Tönhöhe im Zusammenklang) hat sich eingebürgert:
- Arabische Zahlen für die Intervallgrößen oder Tonstufen: 1 = Prime, 2 = Sekunde, 3 = Terz usw.
- + = groß
- − = klein
- > = vermindert (wie Decrescendo-Zeichen)
- < = übermäßig (wie Crescendo-Zeichen)
In der musikalischen Praxis selten sind doppelt übermäßige und doppelt verminderte Intervalle.
Komplementärintervalle
Als Komplementärintervalle, Ergänzungsintervalle oder Umkehrintervalle bezeichnet man je zwei Intervalle im Oktavraum, die einander zu einer Oktave ergänzen. Das Komplementärintervall entsteht, indem beim gegebenen Intervall (Grundform) der obere Ton um eine Oktave nach unten oder der untere um eine Oktave nach oben versetzt wird. Jeweils komplementär sind:
- Primen und Oktaven,
- Sekunden und Septimen.
- Terzen und Sexten,
- Quarten und Quinten.
Dabei bleiben reine Intervalle rein, große werden mit kleinen, verminderte mit übermäßigen Intervallen ergänzt und umgekehrt. Intervalle, die über die Oktave hinausgehen, werden nicht gesondert ergänzt, sondern als Addition zu einer Oktave aufgefasst: Eine Dezime entspricht also einer Oktave plus einer Terz; zu ihr ist dann ebenfalls eine Sexte komplementär.
Konsonanzen und Dissonanzen
Erklingen die Töne eines Intervalls gleichzeitig, so werden sie in konsonante („zusammenklingende“) und dissonante („auseinanderklingende“) Zusammenklänge unterschieden. Als konsonant werden Intervalle bezeichnet, deren Töne als miteinander verschmelzend, zueinander gut passend, harmonisch entspannt, ruhig und stabil klingend empfunden werden. Als dissonant gelten Intervalle, deren Töne eine starke Reibung gegeneinander haben und unruhig klingen und darum beim Hörer den Wunsch nach einer Auflösung in eine Konsonanz erzeugen.
Welche Intervalle als konsonant oder dissonant gelten bzw. empfunden werden, hängt vor allem mit kulturell geprägten Hörgewohnheiten zusammen. Allgemein gilt aber: der Grad der Konsonanz ist umso höher, mit je kleineren ganzen Zahlen sich das Verhältnis (die Proportion) der Schwingungszahlen (Frequenzen) der beiden Töne eines Intervalls ausdrücken lässt. Diese Entdeckung wird Pythagoras zugeschrieben. In der Antike, wie auch noch das gesamte Mittelalter hindurch, galten einzig die Oktave (Frequenzverhältnis 1:2), die Quinte (2:3) und die Quarte (3:4) als Konsonanzen. Etwa seit 1500 wurden allmählich auch Terzen und Sexten als Konsonanzen empfunden. Als Dissonanzen gelten alle Sekunden und Septimen sowie alle übermäßigen oder verminderten Primen, Quarten, Quinten und Oktaven. Eine Sonderstellung nahm etwa seit dem 16. Jahrhundert die Quarte ein: in der Satz- und Kontrapunktlehre galt sie als Dissonanz, wenn sie im mehrstimmigen Satz aus drei oder mehr Stimmen durch die Unterstimmen gebildet wurde.
Die Möglichkeiten für den Einsatz konsonanter Intervalle haben sich über die Jahrhunderte der Entwicklung der mehrstimmigen Musik in Europa stets erweitert. Nach der traditionellen Harmonielehre der europäischen Kunstmusik werden dissonante Klänge im musikalischen Satz hauptsächlich zur Erzeugung harmonischer Spannung auf unbetonten Zählzeiten und besonders zur Kadenzbildung an Schlüssen oder Binnenzäsuren eingesetzt. Ein besonders typisches Beispiel hierfür ist der Dominantseptakkord, welcher die kleine Septime als dissonanten Ton führt. In der Funktionsharmonik der europäischen Musik hat dieser Klang die Funktion, die harmonische Spannung vor dem konsonanten Schlussklang zu erhöhen. Der funktionsharmonisch geprägte Hörer hört hier eine deutliche Strebetendenz der Septime (Leitton) – sie muss einen Halbton abwärts aufgelöst werden.
Der Gebrauch von Dissonanzen für erhöhte harmonische Spannung verstärkte sich in der Romantik und Spätromantik zunehmend. Bereits die Musik Richard Wagners, Max Regers oder auch Gustav Mahlers zeigte Tendenzen dahin, dass nahezu jeder tonleitereigene oder tonleiterfremde Ton als nach oben oder unten auflösbarer Leitton verwendet werden konnte, so dass sich die Tonalität aufzulösen begann (siehe auch: verminderter Akkord, übermäßiger Akkord).
In der atonalen Musik des 20. Jahrhunderts, aber z. B. auch mit dem Jazz kann man dann von einer Emanzipation der Dissonanz sprechen. Bei der Kompositionstechnik der Zwölftonmusik werden bevorzugt Dissonanzen angewendet. Dadurch wirken bewusst gesetzte Konsonanzen in diesen Musikstücken „instabil“; wegen dieses Reizes konnte beispielsweise der Dreiklang in der Zwölftonmusik als besonderes Ausdrucksmittel in Form eines Motives eingesetzt werden.
In der Jazzharmonik übernahmen Akkorde mit hinzugefügten Septimen, Nonen oder auch verminderten Quinten die Funktion von Hauptklängen, während diese nach der traditionellen Harmonielehre nur aus konsonanten Intervallen bestehen dürfen.
Stimmungen
Diatonische Intervalle im Oktavraum haben ganzzahlige Schwingungsverhältnisse und daher jeweils einen charakteristischen Klang, so dass man sie auch bei leichter Verstimmung erkennen und unterscheiden kann. Deshalb erscheinen sie unter demselben Namen in verschiedenen Stimmungen.
In der reinen Stimmung sind alle Intervalle vom Grundton einer Dur- oder Moll-Tonleiter aus exakt gestimmt und erklingen darauf bezogen optimal: die kleine und große Sekunde mit dem Frequenzverhältnis 16⁄15 und 9⁄8 bzw. 10⁄9, die kleine und große Terz mit 6⁄5 und 5⁄4, die Quarte und Quinte mit 4⁄3 und 3⁄2, die kleine und große Sext mit 8⁄5 und 5⁄3 und die kleine und große Septime mit 16⁄9 bzw. 9⁄5 und 15⁄8. Die Dreiklänge (Terzen und Quinten) der Tonika, der Dominante und der Subdominante sind rein. Bei Modulationen tritt (neben einem Vorzeichenwechsel in der Notation) eine Tonhöhendifferenz von einem syntonischen Komma auf. Stimmt man eine 12-stufige Tastatur auf eine reine Tonleiter ein, können deshalb andere Tonarten nur begrenzt verwendet werden, was die harmonischen Möglichkeiten stark einschränkt.
Daher wurden seit der Renaissance sogenannte Temperaturen mit kleinen Verstimmungen üblich, um mehr Tonarten verwenden zu können. Besondere Stimmungen werden nach den sie kennzeichnenden Spezialintervallen benannt. Bei der mitteltönigen Stimmung werden viele große Terzen rein gestimmt (die Quinten deshalb etwa 5 Cent zu klein) und so das syntonische Komma gleichmäßig auf andere Intervalle verteilt. Bei den wohltemperierten Stimmungen wurden die Abweichungen von der reinen Stimmung so erweitert, dass alle Tonarten des Quintenzirkels – wenn auch mit jeweils anderer Charakteristik – spielbar wurden.
Für die „Messung“ der feinen Veränderungen der Intervalle in den verschiedenen Stimmungen verwendet man die Einheit Cent. Bei der gleichstufigen Stimmung werden alle zwölf Halbtöne der Oktave exakt auf 100 Cent gestimmt, so dass das pythagoreische Komma auf alle Tonstufen verteilt ist. So sind zwar alle übrigen Intervalle leicht unrein gestimmt, klingen dafür aber in allen Tonarten gleich.
Tabellen der Quinten und Terzen in allen Tonlagen und in den verschiedenen Stimmungen findet man im Abschnitt Vergleich der Stimmungssysteme.
Tabelle von Intervallen
| Intervall | Proportionen | differenzierte Bezeichnungen | Näherung in Cent | zwölftönig gleichstufig, exakte Werte |
|---|---|---|---|---|
| Prime | 1⁄1 | Prime | 0 Cent | 0 Cent |
| übermäßige Prime | 25⁄24 135⁄128 | kleiner chromatischer Halbton großer chromatischer Halbton | 71 Cent 92 Cent | 100 Cent |
| kleine Sekunde | 256⁄243 16⁄15 | Leimma (pythagoreische Stimmung) diatonischer Halbton (reine Stimmung) | 90 Cent 112 Cent | 100 Cent |
| große Sekunde | 10⁄9 9⁄8 | kleiner Ganzton (reine Stimmung) großer Ganzton (pyth. und reine Stimmung) | 182 Cent 204 Cent | 200 Cent |
| kleine Terz | 32⁄27 6⁄5 | kleine Terz (pythagoreische Stimmung) kleine Terz (reine Stimmung) | 294 Cent 316 Cent | 300 Cent |
| große Terz | 5⁄4 81⁄64 | reine große Terz Ditonus (pythagoreische Stimmung) | 386 Cent 408 Cent | 400 Cent |
| Quarte | 4⁄3 | reine Quarte | 498 Cent | 500 Cent |
| übermäßige Quarte | 45⁄32 7⁄5 729⁄512 | diatonischer Tritonus Huygens’ Tritonus pythagoreische Stimmung | 590 Cent 582 Cent 612 Cent | 600 Cent |
| verminderte Quinte | 1024⁄729 64⁄45 10⁄7 | pythagoreische Stimmung reine Stimmung Eulers Tritonus | 588 Cent 610 Cent 617 Cent | 600 Cent |
| Quinte | 3⁄2 | reine Quinte | 702 Cent | 700 Cent |
| kleine Sexte | 8⁄5 | reine kleine Sexte | 814 Cent | 800 Cent |
| große Sexte | 5⁄3 | reine große Sexte | 884 Cent | 900 Cent |
| kleine Septime | 16⁄9 9⁄5 7⁄4 | pyth. und kleinere reine (Oktave – großer Ganzton) größere reine (Oktave – kleiner Ganzton) Naturseptime | 996 Cent 1017 Cent 969 Cent | 1000 Cent |
| große Septime | 15⁄8 | diatonisch rein | 1088 Cent | 1100 Cent |
| Oktave | 2⁄1 | reine Oktave | 1200 Cent | 1200 Cent |
Ausführliche Intervalltabellen der pythagoreischen, mitteltönigen, reinen und gleichstufigen Stimmung:
Hörbeispiele
| Halbtöne | Intervall | steigend | fallend |
|---|---|---|---|
| 1 | kleine Sekunde | C-Des | C-H |
| 2 | große Sekunde | C-D | C-B |
| 3 | kleine Terz | C-Es | C-A |
| 4 | große Terz | C-E | C-As |
| 5 | Quarte | C-F | C-G |
| 6 | Tritonus | C-Fis | C-Ges |
| 7 | Quinte | C-G | C-F |
| 8 | kleine Sexte | C-As | C-E |
| 9 | große Sexte | C-A | C-Es |
| 10 | kleine Septime | C-B | C-D |
| 11 | große Septime | C-H | C-Des |
| 12 | Oktave | C-C | C-C |
Merkhilfen
Die Anfänge bekannter populärer Liedmelodien dienen oft dazu, sich die wichtigsten diatonischen Intervalle leichter zu merken. Diese für die Gehörbildung genutzte Methode ist jedoch nur bedingt zuverlässig, da dieselben Intervalle sich in anderen musikalischen Zusammenhängen – abhängig unter anderem von Tonleiterposition, Tongeschlecht, Klangfarbe, Ausdruck – verschieden anhören können. So klingt zum Beispiel die kleine Terz von E zu G in C-Dur (etwa in „Olé, olé, olé“) anders als das gleiche Intervall in der Tonart e-Moll (etwa in „O Heiland, reiß die Himmel auf“, EG 7). Die große Terz weckt vom tieferen Ton aus aufwärts meist eine Dur-Assoziation, kann abwärts gespielt aber auch düster klingen: etwa beim unisono gespielten Anfangsmotiv des ersten Satzes von Beethovens „Schicksalssinfonie“ (G-G-G-Es). Hier ist noch nicht hörbar, ob dieses Intervall als Teil eines c-Moll- oder Es-Dur-Klanges einzuordnen ist. In der Relativen Solmisation (moveable do) werden deshalb die unterschiedlichen Funktionen der Stufen mit Silben benannt. Mark Alburger veröffentlichte 2003/2004 eine äußerst umfangreiche Liste mit vielen hundert Beispielen. Diese ordnete er auf der Basis des in den USA weit verbreiteten Moveable-Do-Systems. In der folgenden Tabelle wird die von Alburger vorgeschlagene Klassifikation berücksichtigt. So wird die kleine Sekunde von der dritten zur vierten Tonleiterstufe als Mi-Fa gekennzeichnet. Für die gesamte chromatische Tonleiter werden die Silben der Relativen Solmisation inklusive der häufigsten Alterationen benutzt Do-Ra-Re-Me-Mi-Fa-Fi-Sol-Le-La-Te-Ti. Der Molldreiklang der Tonika wird beispielsweise in diesem Moveable-Do-System mit Do-Me-Sol bezeichnet.
| Halbton | Intervall | steigend | fallend |
|---|---|---|---|
| 1 | kleine Sekunde (Halbtonschritt) | „Kommt ein Vogel geflogen …“ (Mi-Fa) „Schne-e-flöckchen, Weißröckchen, wann kommst Du geschneit? …“ (Mi-Fa) | „Vom Himmel hoch, da komm ich her …“ (Martin Luther) (Do-Ti) „When I get older …“ (Anfang von When I’m sixty-four, The Beatles) (Mi-Me) Für Elise von Beethoven (Sol-Fi) |
| 2 | große Sekunde | „Al-le meine Entchen“ (Do-Re) „Al-le Jahre wieder“ (Sol-La) | „Schlaf, Kindlein, schlaf“ (Mi-Re) „Yes-ter day...“ (Lennon/McCartney – The Beatles) (Re-Do) |
| 3 | kleine Terz | „Ein Vo-gel woll-te Hochzeit machen …“ „Macht hoch die Tür …“ „A-las my loue, ye do me wrong, …“ | „Häns-chen klein …“ „Kuk-kuck, Kuk-kuck, ruft’s aus dem Wald …“ |
| 4 | große Terz | „Al-le Vögel sind schon da …“ „Und in dem Schnee-ge-bir-ge …“ „Mor-ning has bro-ken …“ (Cat Stevens) „Kum-ba-ya, my Lord …“ | „Inns- bruck, ich muss dich lassen“ (Heinrich Isaac) Leitmotiv der 5. Sinfonie von Beethoven (Schicksalssinfonie): G-G-G-Es (indifferent, s. Einleitung) „Straw-ber-ry Fie-lds for-ever …“ (Dur) (The Beatles/John Lennon) „Ce-ci-lia you’re brea-king my heart …“ (Dur) (Anfang von Cecilia, Simon & Garfunkel) |
| 5 | Quarte | Ta-tü (Martinshorn) „Wenn alle Brünnlein fließen, …“ „O Tannenbaum, …“ Anfang der Eurovisionshymne nach Marc-Antoine Charpentier „A-ma-zing Grace“ | „Mor-gen, Kinder, wird’s was geben …“ (Melodie von Carl Gottlieb Hering) Kleine Nachtmusik von W.A.Mozart, G-D-G-D-G-D-G-H-D |
| 6 | Tritonus | „Ma-ri-a …“ (Maria aus West Side Story) „The Simp-sons …“ (Anfang der Titelmelodie der Simpsons) | In Kommt ein Vogel geflogen: „… von der Lieb-sten einen Gruß …“ „… Im Märzen der Bauer die Röß-lein ein-spannt …“ „Durch den Mon-sun …“ (Tokio Hotel) |
| 7 | Quinte | „Wach auf, meins Herzens Schöne …“ Chariots of Fire von Vangelis (die ersten beiden Töne Keyboardflächensound) „Morgen kommt der Weihnachtsmann …“ | „Ick heff mol en Ham-borg-er Veermaster sehn …“ (Shanty) „Nun sich der Tag geendet hat …“ (nach Adam Krieger) |
| 8 | kleine Sexte | „When Israel was in Egypt’s land …“ | „… gar fest um die Hand.“ (2. Schluss von Zum Tanze da geht ein Mädel) „Schick-sals-me-lodie“ / „Where do I begin“ (Soundtrack Love Story von Francis Lai) |
| 9 | große Sexte | „Dies Bildnis ist bezaubernd schön …“ (Zauberflöte, Mozart) „Der Christbaum ist der schönste Baum …“ „Ich weiß, es wird einmal ein Wunder gescheh’n …“ „Ma co-me balli bella bim-ba …“ (ital. Volkslied) „My Bonnie is over the ocean …“ „And now the end is near …“, My Way | „Nobody knows the trouble I’ve seen, …“ (Gospel) „Win-de weh’n, Schif-fe geh’n …“ |
| 10 | kleine Septime | „There’s a place for us …“ (Somewhere aus West Side Story) „Wir setzen uns mit Tränen nieder und ru-fen Dir …“ (wiederholt im Schlusschor der Matthäuspassion, J. S. Bach) „Sing, sing, was geschah? …“ (Anfang des Refrains von Zogen einst fünf wilde Schwäne) „The win-ner takes it all“ (ABBA) | „… und der He-erbst be-ginnt.“ aus Bunt sind schon die Wälder |
| 11 | große Septime | O terra, addio, Schlussduett aus Aida „Take on me“ (A-ha) Einleitung zu „Gash in Your Subversive Idyll“ (Ec8or) | Die Hütte auf Hühnerfüßen aus Bilder einer Ausstellung von Mussorgski |
| 12 | Oktave | „Some-where over the rainbow …“ (Wizard of Oz) „I’m singing in the rain …“ „… gar fest um die Hand.“ (1. Schluss von Zum Tanze da geht ein Mädel) | Mainzer Narrhallamarsch „… der ihn nicht las-sen kann.“ Schluss des Kanons C-a-f-f-e-e (Carl Gottlieb Hering) Beethoven 9. Sinfonie 2. Satz (Beginn) |
Mathematische Definitionen
Intervallen kann man Frequenzverhältnisse zuordnen. Die Frequenzverhältnisse von Vielfachen von Intervallen steigen exponentiell. Beim Centmaß handelt es sich um ein logarithmisches Maß der Frequenzverhältnisse. Dieses verhält sich proportional zur Intervallgröße. Cent ist eine Untereinheit der Oktave mit der Definition 1200 Cent = 1 Oktave (oder 1 gleichstufiger Halbton = 100 Cent). Es kann von den reingestimmten Intervallen nur die Vielfachen der Oktave exakt angeben (Satz von Lindemann-Weierstraß), aber gut zur Orientierung über die Größenverhältnisse dienen.
| (reingestimmtes) Intervall | Frequenzverhältnis | Größe |
|---|---|---|
| 1 Oktave | 2 | 1200 Cent |
| 2 Oktaven | 4 | 2400 Cent |
| 3 Oktaven | 8 | 3600 Cent |
| … | ||
| k Oktaven | 2k | 1200·k Cent |
| kleine Terz | 6⁄5 | 1200·log2(6⁄5) Cent ≈ 315,641 Cent |
| große Terz | 5⁄4 | 1200·log2(5⁄4) Cent ≈ 386,314 Cent |
| Quarte | 4⁄3 | 1200·log2(4⁄3) Cent ≈ 498,045 Cent |
| Quinte | 3⁄2 | 1200·log2(3⁄2) Cent ≈ 701,955 Cent |
Bei der Addition (Hintereinanderausführung) von Intervallen werden die Centmaße (hier bei reingestimmten Intervallen: angenäherte Centmaße) addiert, die Frequenzverhältnisse jedoch multipliziert.
Ein Intervallraum kann als ein additiver geordneter Rechenbereich betrachtet werden. Der Addition entspricht die Hintereinanderausführung von Intervallen.
Die wichtigsten Intervallräume sind:
| Name des Intervallraums | Grundintervalle | Intervallraum |
|---|---|---|
| Der zwölfstufige Intervallraum Intervallraum der gleichstufigen Stimmung | Grundintervall: Der Halbton H mit 100 Cent | Alle Intervalle sind Vielfache von H |
| Das Quintensystem Intervallraum der pythagoreischen Stimmung | Grundintervalle sind die Oktave Ok und die Quinte Q | Alle Intervalle sind Vielfache von Ok und Q |
| Das Quint-Terz-System Intervallraum der reinen Stimmung | Grundintervalle sind die Oktave Ok, die Quinte Q und die große Terz T | Alle Intervalle sind Vielfache von Ok, Q und T |
| Der allumfassende Intervallraum | Die Intervalle sind beliebig teilbar. | Alle Intervalle sind (reelle) Vielfache der Oktave Hier ist die Einheit Cent = 1/1200 Ok anzusiedeln. |
Siehe auch
Literatur
- Sigalia Dostrovsky, John T. Cannon: Entstehung der musikalischen Akustik (1600–1750). In: Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie. Band 6. Darmstadt 1987, ISBN 3-534-01206-2, S. 7–79.
- Mark Lindley: Stimmung und Temperatur. In: Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie. Band 6. Darmstadt 1987, ISBN 3-534-01206-2, S. 109–332.
- Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem? Frankfurt am Main / Bern / New York 1986, ISBN 3-8204-9492-8.
- Frank Haunschild: Die neue Harmonielehre. Band 1. AMA-Verlag, Brühl 1998, ISBN 3-927190-00-4, S. 32–42 (Intervalle) und 104 (Allgemeines zu Akkorden).
- Wieland Ziegenrücker: Allgemeine Musiklehre mit Fragen und Aufgaben zur Selbstkontrolle. Deutscher Verlag für Musik, Leipzig 1977; Taschenbuchausgabe: Wilhelm Goldmann Verlag, und Musikverlag B. Schott’s Söhne, Mainz 1979, ISBN 3-442-33003-3, S. 63–77 (Die Intervalle).
- Bernd Alois Zimmermann: Intervall und Zeit: Aufsätze und Schriften zum Werk. Edition Schott, Mainz 1974, ISBN 3-7957-2952-1.
Weblinks
- (Memento vom 11. Juli 2007 im Internet Archive)
- GNU Solfege, freie Gehörtrainingssoftware
- Weiterer Intervalltrainer
- Einfache physikalische Herleitung von Intervallen (Video)
- Lissajous Kurven: Simulation zur graphischen Darstellung von musikalischen Intervallen, Schwebungen, schwingender Saiten
- Joachim Mohr: Töne und Intervalle
- Ulrich Kaiser: Intervalle und Akkorde OpenBook für Kinder
- Visualisierungen von Intervallen – Proportionen, Obertöne, etc. interaktive Webanwendung, erfordert JavaScript
Einzelnachweise
- Zur Etymologie vgl. Helmut K.H. Lange: Allgemeine Musiklehre und musikalische Ornamentik. Ein Lehrbuch für Musikschulen, Konservatorien und Musikhochschulen. Franz-Steiner-Verlag, Stuttgart 1991, S. 57; ergänzend Douglas Harper: interval. In: Online Etymology Dictionary (englisch).
- Mit den Frequenzen für f’ (352 Hz), a’ (440 Hz), b’ (469,33 Hz), c″ (528 Hz) und f″ (704 Hz) berechnet sich das Frequenzverhältnis der Intervalle in der reinen Stimmung folgendermaßen: Große Terz=5:4 (f’ a’: 440 Hz:352 Hz = 5:4), Quarte=4:3 (f’ b’: 469,33 Hz:352 Hz = 4:3), Quinte=3:2 (f’ c″ 528 Hz:352 Hz = 3:2) und Oktave=2:1 (f’ f″: 704 Hz:352 Hz = 2:1)
- 7/12 Oktave = 700 Cent
- ↑ Die Rechnung erfolgt hier in moderner Fassung mit den Frequenzverhältnissen (Intervalle aufwärts größer als 1, Intervalle abwärts kleiner als 1). Den Längenverhältnissen der Saite entsprechen die Kehrwerte der Frequenzverhältnisse.
- Arnold Schering: Handbuch der Musikgeschichte, Georg Olms Verlag, Hildesheim 1976, S. 23.
- Peter Schnaus: Europäische Musik in Schlaglichtern. Meyers Lexikonverlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-02701-0, S. 28.
- Peter Schnaus: Europäische Musik in Schlaglichtern. S. 25.
- H. J. Moser: Allgemeine Musiklehre. 3. Auflage. Verlag de Gruyter, 1968, S. 42.
- Walter Opp: Handbuch Kirchenmusik. Band 1. Merseburger, 2001, ISBN 3-87537-281-6, S. 216, 225, 235.
- ↑ Helmut K. H. Lange: Allgemeine Musiklehre und musikalische Ornamentik. Ein Lehrbuch für Musikschulen, Konservatorien und Musikhochschulen. Franz Steiner, Stuttgart 1991, ISBN 3-515-05678-5, S. 59 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Gottfried Weber: Allgemeine Musiklehre für Lehrer und Lernende. Carl Wilhelm Leske, Darmstadt 1822, S. 58 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- Mark Levine: Das Jazz Piano Buch. Advance Music, Petaluma 1992, ISBN 3-89221-040-3, S. 33.
- Helmut K. H. Lange: Allgemeine Musiklehre und musikalische Ornamentik. Ein Lehrbuch für Musikschulen, Konservatorien und Musikhochschulen. Franz Steiner, Stuttgart 1991, ISBN 3-515-05678-5, S. 24 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- online Musiktheorie nach Everard Sigal
- Hermann Grabner: Allgemeine Musiklehre, S. 84.
- In der reinen Stimmung gibt es zwei Ganztöne: den großen (pythagoreischen) Ganzton mit dem Frequenzverhältnis 9⁄8 und den kleinen Ganzton mit dem Frequenzverhältnis 10⁄9. Die Hintereinanderausführung dieser beiden Ganztonintervalle ergibt die große Terz mit dem Frequenzverhältnis 5⁄4.
- Entsprechend den zwei großen Sekunden (Ganztönen) gibt es zwei kleine Septimen mit den Frequenzverhältnissen 16⁄9 und 9⁄5.
- Mark Alburger: The solfege project, Comparative melody classification: Do through Fi. In: 21st-Century-Music 10(9), 2003, 1–11. 21st-centurymusic.com (PDF; 0,4 MB). Mark Alburger: The solfege project: Comparative melody classification –Sol through Ti. In: 21st-Century-Music, 11(10), 2004 5–10. 21st-centurymusic.com (PDF; 0,3 MB).
- Diese Bezeichnung ist enharmonisch nicht ganz korrekt, allerdings wird man in dieser hier für das Anfangsstadium des Musiklernerns dargestellten Methode mit solchen komplexen Unterscheidungen von kleiner Sekunde und übermäßiger Prim überfordert sein