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Cent Musik Physikalische EinheitEinheitenname CentEinheitenzeichen C displaystyle mathrm C Physikalische Größe Tonhöheni

Cent (Musik)

Das Cent (von lat. centum „hundert“) ist eine additive Maßeinheit (genauer: Hilfsmaßeinheit), mit der ein sehr genauer Vergleich der Größen musikalischer Intervalle möglich ist.

Definition Bearbeiten

Das Cent ist definiert durch:

Da eine Oktave zwölf Halbtöne umfasst, gilt auch:

Das Cent ist genormt in DIN 13320 (siehe unten).

Anwendung Bearbeiten

Aus der additiven Struktur der Intervallgrößen folgt:

Bekanntermaßen sind zum Beispiel 12 gleichstufige Quinten = 7 Oktaven, also umfasst 1 gleichstufige Quinte 700 Cent (in reiner Stimmung dagegen – siehe unten – ungefähr 702 Cent.)

Da dies dem additiven Intervall-Empfinden des Gehörs (Hörereignisses) entspricht, ist der Vergleich von Tonhöhen, Tonsystemen und Stimmungen mittels der Einheit Cent praxisnäher als Angaben zu Frequenz-Verhältnissen, bei denen ein Größenvergleich nicht unmittelbar möglich ist. Centangaben ermöglichen einerseits eine höhere Anschaulichkeit beim Größenvergleich verschiedener Intervalle; andererseits können aber rationale Zahlen, die ja vielen Stimmungssystemen zu Grunde liegen, und alle Centangaben (bis auf die Vielfachen von 1200) immer nur näherungsweise gleichgesetzt werden.

Entstehung Bearbeiten

Die Bezeichnung Cent wurde 1875 von Alexander John Ellis (1814–1890) im Anhang zu seiner Übersetzung von Hermann von Helmholtz’ Lehre von den Tonempfindungen als Einheit zum Größenvergleich von Intervallen vorgeschlagen.

Die Cent-Einheit ist so gewählt, dass wahrnehmbare Tonhöhenunterschiede hinreichend genau als ganzzahlige Vielfache von Cents ausgedrückt werden können. Grob kann angenommen werden, dass der kleinste erkennbare Frequenzunterschied für nacheinander erklingende Sinustöne beim Menschen bei Frequenzen ab 1000 Hz bei etwa drei bis sechs Cent liegt; bei gleichzeitigem Erklingen sind durch Schwebungseffekte noch wesentlich geringere Intervallunterschiede hörbar.

Bei größeren Tonabständen lassen sich Intervallgrößen durch Schwebungen der harmonischen Obertöne, die in musikalisch verwendeten Tönen meistens vorhanden sind, sehr genau bestimmen. Hingegen steigt bei tiefen Sinustönen mit geringer empfundener Lautstärke (trotz hohem Schalldruckpegel) die Unterscheidungsschwelle auf über 100 Cent, also mehr als einen Halbton.

Die Messung der Intervallgröße Bearbeiten

Die Größe von Intervallen wird mit Hilfe der Maßeinheit Oktave und deren Untereinheit Cent gemessen. Das Oktavmaß und Centmaß ist proportional zur Intervallgröße. Der Maßeinheit Oktave entspricht das Frequenzverhältnis p=2:1.

Beispiel
Intervall Frequenzverhältnis
(in reiner Stimmung)		 Größe in Cent
1 Oktave 2 1200 Cent
2 Oktaven 4 2400 Cent
3 Oktaven 8 3600 Cent
…
k Oktaven 2k 1200·k Cent
log2(p) Oktaven
(Beachte: ) 		p 1200·log2(p) Cent
kleine Terz 6⁄5 1200·log2(6⁄5) Cent ≈ 315,641 Cent
große Terz 5⁄4 1200·log2(5⁄4) Cent ≈ 386,314 Cent
Quarte 4⁄3 1200·log2(4⁄3) Cent ≈ 498,045 Cent
Quinte 3⁄2 1200·log2(3⁄2) Cent ≈ 701,955 Cent

Werden Intervalle hintereinander ausgeführt, so kann man ihre Größen addieren, während ihre Frequenzverhältnisse (Proportionen) multipliziert werden müssen.

Anwendungen in der musikalischen Praxis Bearbeiten

Mit der Einheit Cent lassen sich die feinen Unterschiede der Intervalle in den verschiedenen mitteltönigen und wohltemperierten Stimmungen gut darstellen, z. B. die leichten Verstimmungen gegenüber reinen Quinten und Terzen, die in Kauf genommen werden müssen, um möglichst viele Tonarten (bei einer zwölfstufigen Skala der Oktave) spielbar zu machen:

  • bei den mitteltönigen Stimmungen treten Abweichungen bis etwa 8 Cent auf, wenn nur C-Dur-nahe Akkorde verwendet werden:
Beispiel
c'g' 		reine Quinte

702 Cent

(Keine Schwebungen)

mitteltönige Quinte

697 Cent

(Leichte Schwebungen)

  • mit bis zu 14 Cent Abweichung hat man sich abzufinden, wenn man auf Tasteninstrumenten auch Tonleitern nutzen will, die weiter von C-Dur entfernt sind. Dabei wird ausgenutzt, dass das menschliche Gehör sich „die Intervalle zurechthört“:
Beispiel
a cis'
(erst die Terz, dann im Akkord) 		reine große Terz (220 Hz und 275 Hz)

386 Cent

(Keine Schwebungen)

gleichstufige große Terz (220 Hz und 277 Hz)

400 Cent

(viele Schwebungen: das Intervall klingt rau)

  • noch größere Abweichungen wie etwa die Wolfsquinte der mitteltönigen Stimmung bei stark von C-Dur entfernten Tonarten werden von Musikern nicht geduldet.

Tabellen der mehr oder weniger reinen Terzen und Quinten in verschiedenen Stimmungssystemen: siehe Stimmung.

Umrechnung Bearbeiten

Frequenzverhältnis in Cent Bearbeiten

Gegeben sei das Frequenzverhältnis (die Proportion) eines beliebigen Intervalls. Das Intervallmaß errechnet sich dann nach der Definitionsformel logarithmisch:

Mit

erhalten wir:

Nach Umrechnung des Zweier-Logarithmus in einen Logarithmus mit beliebiger anderer Basis über entsteht eine für Taschenrechner mit ln-Funktion bequem handhabbare Gleichung:

Bei den Dreiklangsintervallen erhält man folgende Umrechnung:

Frequenzverhältnis Intervall in Cent Intervall
reine kleine Terz
reine große Terz
reine Quinte

Cent in Frequenzverhältnis Bearbeiten

Die umgekehrte Umrechnung eines beliebigen in Cent angegebenen Intervalls in das Frequenzverhältnis wird seltener benötigt. Dafür löst man die Gleichung   nach auf, indem man beide Seiten durch 1200 Cent dividiert und anschließend zur Basis 2 potenziert (dadurch wird auf der einen Seite der Logarithmus entfernt):

Bei den Dreiklangsintervallen erhält man folgende Umrechnung:

Intervall in Cent Frequenzverhältnis Intervall
i=316 Cent reine kleine Terz
i=386 Cent reine große Terz
i=702 Cent reine Quinte

Cent in Millioktave Bearbeiten

Cent in Savart Bearbeiten

Berechnung von Frequenzen Bearbeiten

Der oben genannte Faktor ist das Frequenzverhältnis eines Tonunterschieds von einem Cent. Die Frequenzberechnung erfolgt daher mit dieser Zahl als Basis und dem Intervall in Cent im Exponenten.

Beispiele einiger als Stimmton a’ verwendeter Frequenzen, ausgehend von 440 Hz:

  • Erhöhung um 100 Cent:
  • Erhöhung um 1 Cent:
  • Verringerung um 1 Cent:
  • Verringerung um 100 Cent:

Beispiel aus der Musiktheorie Bearbeiten

Der Ton a’ hat die Frequenz von 440 Hz. Der Ton c’’ liegt eine kleine Terz darüber.

Der Ton c’’ hat demnach

  • in reiner Stimmung (Frequenzverhältnis 6:5 der kleinen Terz) die Frequenz
  • in gleichstufiger Stimmung (kleine Terz = 3 Halbtöne = 300 Cent) die Frequenz .

DIN-Norm Bearbeiten

Nach DIN 13320 „Akustik; Spektren und Übertragungskurven; Begriffe, Darstellung“ bezeichnet „Cent“ ein Frequenzmaßintervall, dessen Frequenzverhältnis beträgt. Das Cent kann wie eine Einheit benutzt werden; somit kann das Frequenzmaßintervall der Frequenzen f1 und f2 > f1 bezeichnet werden als .

Absolutes Cent Bearbeiten

Man kann auch dem gesamten Frequenzbereich eine Skala fester Cent-Werte zuordnen. Dieses absolute Cent ist dann eine Maßeinheit der Tonhöhe, nicht der Intervallgröße. Es wird 1 Hz = 0 Cent gesetzt. Daraus ergeben sich: 2 Hz = 1200 Cent, 4 Hz = 2400 Cent usw. mit den entsprechenden Zwischenwerten.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. Im Normalfall sollte sein. Wenn es umgekehrt ist, wird das Umrechnungsergebnis negativ mit dem gleichen Absolutwert.
  2. https://www.beuth.de/de/norm/din-13320/515781 Webseite zur DIN 13320 beim Beuth Verlag
  3. Riemann Musiklexikon. Sachteil. Mainz 1967, S. 150.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Physikalische EinheitEinheitenname CentEinheitenzeichen C displaystyle mathrm C Physikalische Grosse TonhohenintervallFormelzeichen i n c displaystyle i n c Das Cent von lat centum hundert ist eine additive Masseinheit genauer Hilfsmasseinheit mit der ein sehr genauer Vergleich der Grossen musikalischer Intervalle moglich ist Diatonische IntervallePrimeSekundeTerzQuarteQuinteSexteSeptimeOktaveNoneDezimeUndezimeDuodezimeTredezimeHalbton GanztonBesondere IntervalleMikrointervallKommaDiesisLimmaApotomeDitonusTritonusWolfsquinteNaturseptimeMasseinheitenCentMillioktaveOktaveSavartInhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anwendung 3 Entstehung 4 Die Messung der Intervallgrosse 5 Anwendungen in der musikalischen Praxis 6 Umrechnung 6 1 Frequenzverhaltnis in Cent 6 2 Cent in Frequenzverhaltnis 6 3 Cent in Millioktave 6 4 Cent in Savart 7 Berechnung von Frequenzen 7 1 Beispiel aus der Musiktheorie 8 DIN Norm 9 Absolutes Cent 10 Siehe auch 11 Literatur 12 Weblinks 13 Einzelnachweise und AnmerkungenDefinition BearbeitenDas Cent ist definiert durch 100 Cent 1 gleichstufiger HalbtonDa eine Oktave zwolf Halbtone umfasst gilt auch 1200 Cent 1 OktaveDas Cent ist genormt in DIN 13320 siehe unten Anwendung BearbeitenAus der additiven Struktur der Intervallgrossen folgt 1 Oktave 1200 Cent 2 Oktaven 2400 Cent 3 Oktaven 3600 Cent usw Bekanntermassen sind zum Beispiel 12 gleichstufige Quinten 7 Oktaven also umfasst 1 gleichstufige Quinte 700 Cent in reiner Stimmung dagegen siehe unten ungefahr 702 Cent Da dies dem additiven Intervall Empfinden des Gehors Horereignisses entspricht ist der Vergleich von Tonhohen Tonsystemen und Stimmungen mittels der Einheit Cent praxisnaher als Angaben zu Frequenz Verhaltnissen bei denen ein Grossenvergleich nicht unmittelbar moglich ist Centangaben ermoglichen einerseits eine hohere Anschaulichkeit beim Grossenvergleich verschiedener Intervalle andererseits konnen aber rationale Zahlen die ja vielen Stimmungssystemen zu Grunde liegen und alle Centangaben bis auf die Vielfachen von 1200 immer nur naherungsweise gleichgesetzt werden Entstehung BearbeitenDie Bezeichnung Cent wurde 1875 von Alexander John Ellis 1814 1890 im Anhang zu seiner Ubersetzung von Hermann von Helmholtz Lehre von den Tonempfindungen als Einheit zum Grossenvergleich von Intervallen vorgeschlagen Die Cent Einheit ist so gewahlt dass wahrnehmbare Tonhohenunterschiede hinreichend genau als ganzzahlige Vielfache von Cents ausgedruckt werden konnen Grob kann angenommen werden dass der kleinste erkennbare Frequenzunterschied fur nacheinander erklingende Sinustone beim Menschen bei Frequenzen ab 1000 Hz bei etwa drei bis sechs Cent liegt bei gleichzeitigem Erklingen sind durch Schwebungseffekte noch wesentlich geringere Intervallunterschiede horbar Bei grosseren Tonabstanden lassen sich Intervallgrossen durch Schwebungen der harmonischen Obertone die in musikalisch verwendeten Tonen meistens vorhanden sind sehr genau bestimmen Hingegen steigt bei tiefen Sinustonen mit geringer empfundener Lautstarke trotz hohem Schalldruckpegel die Unterscheidungsschwelle auf uber 100 Cent also mehr als einen Halbton Die Messung der Intervallgrosse BearbeitenDie Grosse von Intervallen wird mit Hilfe der Masseinheit Oktave und deren Untereinheit Cent gemessen Das Oktavmass und Centmass ist proportional zur Intervallgrosse Der Masseinheit Oktave entspricht das Frequenzverhaltnis p 2 1 Beispiel Intervall Frequenzverhaltnis in reiner Stimmung Grosse in Cent1 Oktave 2 1200 Cent2 Oktaven 4 2400 Cent3 Oktaven 8 3600 Cent k Oktaven 2k 1200 k Centlog2 p Oktaven Beachte 2 k p log 2 p k displaystyle 2 k p iff log 2 p k nbsp p 1200 log2 p Centkleine Terz 6 5 1200 log2 6 5 Cent 315 641 Centgrosse Terz 5 4 1200 log2 5 4 Cent 386 314 CentQuarte 4 3 1200 log2 4 3 Cent 498 045 CentQuinte 3 2 1200 log2 3 2 Cent 701 955 CentWerden Intervalle hintereinander ausgefuhrt so kann man ihre Grossen addieren wahrend ihre Frequenzverhaltnisse Proportionen multipliziert werden mussen Beispiele reine Quinte reine Quarte 702 Cent 498 Cent 1200 Cent Oktave Frequenzverhaltnisse 3 2 4 3 2 1 reine kleine Terz reine grosse Terz 316 Cent 386 Cent 702 Cent reine Quinte Frequenzverhaltnisse 6 5 5 4 3 2 Siehe auch Tonstruktur mathematische Beschreibung Anwendungen in der musikalischen Praxis BearbeitenMit der Einheit Cent lassen sich die feinen Unterschiede der Intervalle in den verschiedenen mitteltonigen und wohltemperierten Stimmungen gut darstellen z B die leichten Verstimmungen gegenuber reinen Quinten und Terzen die in Kauf genommen werden mussen um moglichst viele Tonarten bei einer zwolfstufigen Skala der Oktave spielbar zu machen bei den mitteltonigen Stimmungen treten Abweichungen bis etwa 8 Cent auf wenn nur C Dur nahe Akkorde verwendet werden Beispiel c g reine Quinte 702 Cent source source Keine Schwebungen mitteltonige Quinte 697 Cent source source Leichte Schwebungen mit bis zu 14 Cent Abweichung hat man sich abzufinden wenn man auf Tasteninstrumenten auch Tonleitern nutzen will die weiter von C Dur entfernt sind Dabei wird ausgenutzt dass das menschliche Gehor sich die Intervalle zurechthort Beispiela cis erst die Terz dann im Akkord reine grosse Terz 220 Hz und 275 Hz 386 Cent source source Keine Schwebungen gleichstufige grosse Terz 220 Hz und 277 Hz 400 Cent source source viele Schwebungen das Intervall klingt rau noch grossere Abweichungen wie etwa die Wolfsquinte der mitteltonigen Stimmung bei stark von C Dur entfernten Tonarten werden von Musikern nicht geduldet Tabellen der mehr oder weniger reinen Terzen und Quinten in verschiedenen Stimmungssystemen siehe Stimmung Umrechnung BearbeitenFrequenzverhaltnis in Cent Bearbeiten Gegeben sei das Frequenzverhaltnis die Proportion p f 2 f 1 displaystyle p frac f 2 f 1 nbsp eines beliebigen Intervalls 1 Das Intervallmass i displaystyle i nbsp errechnet sich dann nach der Definitionsformel logarithmisch i log 2 p Oktave displaystyle i log 2 p text Oktave nbsp siehe Tabelle Die Messung der Intervallgrosse Mit 1 Oktave 1200 Cent displaystyle 1 text Oktave 1200 text Cent nbsp dd dd erhalten wir i 1200 log 2 p C e n t displaystyle i 1200 cdot log 2 p mathrm Cent nbsp Nach Umrechnung des Zweier Logarithmus in einen Logarithmus mit beliebiger anderer Basis b displaystyle b nbsp uber log 2 p log b p log b 2 ln p ln 2 lg p lg 2 displaystyle log 2 p frac log b p log b 2 frac ln p ln 2 frac lg p lg 2 nbsp entsteht eine fur Taschenrechner mit ln Funktion bequem handhabbare Gleichung i 1200 ln p ln 2 Cent displaystyle i 1200 cdot frac ln p ln 2 text Cent nbsp Bei den Dreiklangsintervallen erhalt man folgende Umrechnung Frequenzverhaltnis p displaystyle p nbsp Intervall i displaystyle i nbsp in Cent Intervallp 6 5 displaystyle p tfrac 6 5 nbsp i 1200 log 2 6 5 C e n t 316 C e n t displaystyle i 1200 cdot log 2 tfrac 6 5 mathrm Cent approx 316 mathrm Cent nbsp reine kleine Terzp 5 4 displaystyle p tfrac 5 4 nbsp i 1200 log 2 5 4 C e n t 386 C e n t displaystyle i 1200 cdot log 2 tfrac 5 4 mathrm Cent approx 386 mathrm Cent nbsp reine grosse Terzp 3 2 displaystyle p tfrac 3 2 nbsp i 1200 log 2 3 2 C e n t 702 C e n t displaystyle i 1200 cdot log 2 tfrac 3 2 mathrm Cent approx 702 mathrm Cent nbsp reine QuinteCent in Frequenzverhaltnis Bearbeiten Die umgekehrte Umrechnung eines beliebigen in Cent angegebenen Intervalls i displaystyle i nbsp in das Frequenzverhaltnis p displaystyle p nbsp wird seltener benotigt Dafur lost man die Gleichung i 1200 log 2 p C e n t displaystyle i 1200 cdot log 2 p mathrm Cent nbsp nach p displaystyle p nbsp auf indem man beide Seiten durch 1200 Cent dividiert und anschliessend zur Basis 2 potenziert dadurch wird auf der einen Seite der Logarithmus entfernt p 2 i 1200 Cent displaystyle p 2 frac i 1200 text Cent nbsp Bei den Dreiklangsintervallen erhalt man folgende Umrechnung Intervall i displaystyle i nbsp in Cent Frequenzverhaltnis p displaystyle p nbsp Intervalli 316 Cent p 2 316 Cent 1200 Cent 1 2 6 5 displaystyle p 2 frac 316 text Cent 1200 text Cent approx 1 2 tfrac 6 5 nbsp reine kleine Terzi 386 Cent p 2 386 Cent 1200 Cent 1 25 5 4 displaystyle p 2 frac 386 text Cent 1200 text Cent approx 1 25 tfrac 5 4 nbsp reine grosse Terzi 702 Cent p 2 702 Cent 1200 Cent 1 5 3 2 displaystyle p 2 frac 702 text Cent 1200 text Cent approx 1 5 tfrac 3 2 nbsp reine QuinteCent in Millioktave Bearbeiten 1 Cent 1 1 2 displaystyle frac 1 1 2 nbsp Millioktaven 0 8333 MillioktavenCent in Savart Bearbeiten 1 Cent log 10 2 1 2 displaystyle frac log 10 2 1 2 nbsp Savart 0 2509 SavartBerechnung von Frequenzen BearbeitenDer oben genannte Faktor 2 1200 2 1 1200 displaystyle sqrt 1200 2 2 frac 1 1200 nbsp ist das Frequenzverhaltnis eines Tonunterschieds von einem Cent Die Frequenzberechnung erfolgt daher mit dieser Zahl als Basis und dem Intervall in Cent im Exponenten Beispiele einiger als Stimmton a verwendeter Frequenzen ausgehend von 440 Hz Erhohung um 100 Cent 440 H z 2 100 1200 466 164 H z displaystyle 440 mathrm Hz cdot 2 frac 100 1200 approx 466 164 mathrm Hz nbsp Erhohung um 1 Cent 440 H z 2 1 1200 440 254 H z displaystyle 440 mathrm Hz cdot 2 frac 1 1200 approx 440 254 mathrm Hz nbsp Verringerung um 1 Cent 440 H z 2 1 1200 439 746 H z displaystyle 440 mathrm Hz cdot 2 frac 1 1200 approx 439 746 mathrm Hz nbsp Verringerung um 100 Cent 440 H z 2 100 1200 415 305 H z displaystyle 440 mathrm Hz cdot 2 frac 100 1200 approx 415 305 mathrm Hz nbsp Beispiel aus der Musiktheorie Bearbeiten Der Ton a hat die Frequenz von 440 Hz Der Ton c liegt eine kleine Terz daruber Der Ton c hat demnach in reiner Stimmung Frequenzverhaltnis 6 5 der kleinen Terz die Frequenz 440 H z 6 5 528 H z displaystyle 440 mathrm Hz cdot tfrac 6 5 528 mathrm Hz nbsp in gleichstufiger Stimmung kleine Terz 3 Halbtone 300 Cent die Frequenz 440 H z 2 300 1200 523 251 H z displaystyle 440 mathrm Hz cdot 2 frac 300 1200 approx 523 251 mathrm Hz nbsp DIN Norm BearbeitenNach DIN 13320 Akustik Spektren und Ubertragungskurven Begriffe Darstellung 2 bezeichnet Cent ein Frequenzmassintervall dessen Frequenzverhaltnis 2 1 1200 displaystyle 2 frac 1 1200 nbsp betragt Das Cent kann wie eine Einheit benutzt werden somit kann das Frequenzmassintervall der Frequenzen f1 und f2 gt f1 bezeichnet werden als 1200 log 2 f 2 f 1 C e n t displaystyle 1200 cdot log 2 left frac f 2 f 1 right mathrm Cent nbsp Absolutes Cent BearbeitenMan kann auch dem gesamten Frequenzbereich eine Skala fester Cent Werte zuordnen Dieses absolute Cent ist dann eine Masseinheit der Tonhohe nicht der Intervallgrosse Es wird 1 Hz 0 Cent gesetzt Daraus ergeben sich 2 Hz 1200 Cent 4 Hz 2400 Cent usw mit den entsprechenden Zwischenwerten 3 Siehe auch BearbeitenMillioktave SavartLiteratur BearbeitenHermann von Helmholtz Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage fur die Theorie der Musik Vieweg Braunschweig 1863 Unveranderter Nachdruck Minerva Verlag Frankfurt am Main 1981 ISBN 3 8102 0715 2 Auszug John R Pierce Klang Musik mit den Ohren der Physik Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg u a 1999 ISBN 3 8274 0544 0 Weblinks BearbeitenIntervall Umrechnung Frequenzverhaltnis nach Cent und Cent nach Frequenz ratio Umrechnung Cent in Frequenzverhaltnis Ratio und zuruck in ExcelEinzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Im Normalfall sollte f 2 f 1 displaystyle f 2 geq f 1 nbsp sein Wenn es umgekehrt ist wird das Umrechnungsergebnis negativ mit dem gleichen Absolutwert https www beuth de de norm din 13320 515781 Webseite zur DIN 13320 beim Beuth Verlag Riemann Musiklexikon Sachteil Mainz 1967 S 150 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Cent Musik amp oldid 236371497