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Reduktive Gruppe Dieser Artikel behandelt reduktive algebraische Gruppen für reduktive Lie Gruppen siehe Reduktive Lie G

Reduktive Gruppe

Die reduktive Gruppe ist ein Begriff der Mathematik, der vor allem in der Darstellungstheorie und der geometrischen Invariantentheorie von Bedeutung ist.

Definition Bearbeiten

Eine reduktive Gruppe ist eine algebraische Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper , die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

Im letzten Fall ist und das Radikal von , der Durchschnitt ist endlich und jede halbeinfache oder unipotente Untergruppe von ist in enthalten.

Im Fall ist genau dann reduktiv, wenn jede Darstellung vollständig reduzibel ist und dies ist genau dann der Fall, wenn die adjungierte Darstellung vollständig reduzibel ist.

Im Fall ist genau dann reduktiv, wenn sie die Komplexifizierung einer zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppe ist.

Beispiele Bearbeiten

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann sind die folgenden Gruppen reduktiv.

Reduktive Gruppenschemata Bearbeiten

Reduktivität kann für Gruppenschemata über beliebigen Basisschemata definiert werden. Dabei wird aus technischen Gründen eine Zusammenhangsbedingung gefordert.

Ein reduktives Gruppenschema über einem Schema ist ein glattes -affines -Gruppenschema , sodass alle geometrischen Fasern von zusammenhängende reduktive Gruppen im Sinne der Definition im ersten Abschnitt sind.

Ist das Spektrum eines algebraisch abgeschlossenen Körpers , so ergibt sich die Definition von zusammenhängenden reduktiven Gruppen. In diesem Fall ist nämlich ein geometrischer Punkt und für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper , der erweitert, ist der Basiswechsel einer zusammenhängenden reduktiven Gruppe wieder zusammenhängend und reduktiv.

Literatur Bearbeiten

  • Armand Borel, Jacques Tits: Groupes réductifs. Publ. Math. IHES, 27 (1965) pp. 55–150.
  • James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 978-1-4684-9445-7.
  • Brian Conrad: Reductive group schemes.
  • V.L. Popov: Hilbert's theorem on invariants. Soviet Math. Dokl., 20 : 6 (1979) pp. 1318–1322 Dokl. Akad. Nauk SSSR, 249 : 3 (1979) pp. 551–555.
  • T.A. Springer: Invariant theory. Lect. notes in math., 585, Springer (1977).

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Die Gründe für diese Einschränkung sind in Conrad §3 ausgeführt.
  2. Conrad: Def. 3.1.1
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Dieser Artikel behandelt reduktive algebraische Gruppen fur reduktive Lie Gruppen siehe Reduktive Lie Gruppe Die reduktive Gruppe ist ein Begriff der Mathematik der vor allem in der Darstellungstheorie und der geometrischen Invariantentheorie von Bedeutung ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Reduktive Gruppenschemata 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine reduktive Gruppe G displaystyle G nbsp ist eine algebraische Gruppe uber einem algebraisch abgeschlossenen Korper k displaystyle k nbsp die eine der folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt Das Radikal der Komponente der Eins G 0 displaystyle G 0 nbsp ist ein algebraischer Torus insbesondere also eine abelsche Gruppe Das unipotente Radikal von G 0 displaystyle G 0 nbsp ist die triviale Gruppe Mit anderen Worten G 0 displaystyle G 0 nbsp hat keine abgeschlossenen zusammenhangenden und unipotenten Normalteiler Die Gruppe ist das Produkt G S T displaystyle G ST nbsp zweier abgeschlossener Normalteiler S displaystyle S nbsp und T displaystyle T nbsp wobei S displaystyle S nbsp halbeinfach und T displaystyle T nbsp ein algebraischer Torus ist Im letzten Fall ist S G 0 G 0 displaystyle S left G 0 G 0 right nbsp und T displaystyle T nbsp das Radikal von G displaystyle G nbsp der Durchschnitt S T displaystyle S cap T nbsp ist endlich und jede halbeinfache oder unipotente Untergruppe von G 0 displaystyle G 0 nbsp ist in S displaystyle S nbsp enthalten Im Fall c h a r k 0 displaystyle char k 0 nbsp ist G displaystyle G nbsp genau dann reduktiv wenn jede Darstellung vollstandig reduzibel ist und dies ist genau dann der Fall wenn die adjungierte Darstellung vollstandig reduzibel ist Im Fall k C displaystyle k mathbb C nbsp ist G displaystyle G nbsp genau dann reduktiv wenn sie die Komplexifizierung einer zusammenhangenden kompakten Lie Gruppe ist Beispiele BearbeitenSei k displaystyle k nbsp ein algebraisch abgeschlossener Korper Dann sind die folgenden Gruppen reduktiv Die multiplikative Gruppe G m k k displaystyle G m k k nbsp Die allgemeine lineare Gruppe G L n k displaystyle GL n k nbsp Die spezielle lineare Gruppe S L n k displaystyle SL n k nbsp Alle halbeinfachen algebraischen Gruppen Reduktive Gruppenschemata BearbeitenReduktivitat kann fur Gruppenschemata uber beliebigen Basisschemata definiert werden Dabei wird aus technischen Grunden eine Zusammenhangsbedingung gefordert 1 Ein reduktives Gruppenschema uber einem Schema S displaystyle S nbsp ist ein glattes S displaystyle S nbsp affines S displaystyle S nbsp Gruppenschema G displaystyle G nbsp sodass alle geometrischen Fasern G s displaystyle G overline s nbsp von G displaystyle G nbsp zusammenhangende reduktive Gruppen im Sinne der Definition im ersten Abschnitt sind 2 Ist S displaystyle S nbsp das Spektrum eines algebraisch abgeschlossenen Korpers k displaystyle k nbsp so ergibt sich die Definition von zusammenhangenden reduktiven Gruppen In diesem Fall ist namlich i d S S displaystyle mathrm id S to S nbsp ein geometrischer Punkt und fur jeden algebraisch abgeschlossenen Korper l displaystyle l nbsp der k displaystyle k nbsp erweitert ist der Basiswechsel H l displaystyle H l nbsp einer zusammenhangenden reduktiven Gruppe H displaystyle H nbsp wieder zusammenhangend und reduktiv Literatur BearbeitenArmand Borel Jacques Tits Groupes reductifs Publ Math IHES 27 1965 pp 55 150 James E Humphreys Linear Algebraic Groups Springer New York 1975 ISBN 978 1 4684 9445 7 Brian Conrad Reductive group schemes V L Popov Hilbert s theorem on invariants Soviet Math Dokl 20 6 1979 pp 1318 1322 Dokl Akad Nauk SSSR 249 3 1979 pp 551 555 T A Springer Invariant theory Lect notes in math 585 Springer 1977 Weblinks BearbeitenReductive Group Encyclopedia of Mathematics What is a reductive group J S Milne Reductive GroupsEinzelnachweise Bearbeiten Die Grunde fur diese Einschrankung sind in Conrad 3 ausgefuhrt Conrad Def 3 1 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Reduktive Gruppe amp oldid 231764138