Ein Gruppenschema ist in der algebraischen Geometrie die Verallgemeinerung einer algebraischen Gruppe Typische Beispiele sind affine algebraische Gruppen oder abelsche Varietaten Im Unterschied zur klassischen Sichtweise konnen Gruppenschemata uber beliebigen Schemata definiert werden Solche finden Anwendung in der Theorie von Modulraumen abelscher Varietaten Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Als Gruppenobjekt 1 2 Als Gruppenwertiger Funktor 1 3 Morphismen 2 Untergruppenschemata 3 Eigenschaften 4 Basiswechsel 5 Affine Gruppenschemata 6 Beispiele 7 Literatur 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei S displaystyle S nbsp ein Schema und sei S c h S displaystyle mathrm Sch S nbsp die Kommakategorie der Schemata uber S displaystyle S nbsp Die Objekte von S c h S displaystyle mathrm Sch S nbsp nennen wir S displaystyle S nbsp Schemata Sie hat endliche Produkte Diese sind durch das Faserprodukt S displaystyle times S nbsp von S displaystyle S nbsp Schemata gegeben Als Gruppenobjekt Bearbeiten Ein Gruppenschema uber S displaystyle S nbsp S displaystyle S nbsp Gruppenschema ist ein Gruppenobjekt in S c h S displaystyle mathrm Sch S nbsp 1 Konkret heisst das Ein S displaystyle S nbsp Gruppenschema G m e i displaystyle G m e i nbsp uber S displaystyle S nbsp besteht aus einem S displaystyle S nbsp Schema G displaystyle G nbsp zusammen mit drei Morphismen m G S G G displaystyle m G times S G to G nbsp Multiplikation e 1 G displaystyle e 1 to G nbsp Inklusion des neutralen Elements i G G displaystyle i G to G nbsp Inversionsodass die folgenden Eigenschaften erfullt sind m displaystyle m nbsp ist assoziativ das heisst m m i d G m i d G m displaystyle m circ m times mathrm id G m circ mathrm id G times m nbsp als Morphismen G S G S G G displaystyle G times S G times S G to G nbsp e displaystyle e nbsp ist ein zweiseitiges neutrales Element fur m displaystyle m nbsp das heisst m i d G e p 1 displaystyle m circ mathrm id G times e p 1 nbsp und m e i d G p 2 displaystyle m circ e times mathrm id G p 2 nbsp wobei p 1 G S G G displaystyle p 1 G times S G to G nbsp bzw p 2 displaystyle p 2 nbsp die Projektion auf den ersten bzw zweiten Faktor ist i displaystyle i nbsp ist ein zweiseitiges inverses Element fur m displaystyle m nbsp das heisst m i i d G D G e displaystyle m circ i times mathrm id G circ Delta G e nbsp und m i d G i D G e displaystyle m circ mathrm id G times i circ Delta G e nbsp Hier bezeichnet D G G G S G displaystyle Delta G G to G times S G nbsp die Diagonale Diese Regeln sind den Gruppenaxiomen nachempfunden Als Gruppenwertiger Funktor Bearbeiten Alternativ kann ein S displaystyle S nbsp Gruppenschema als darstellbarer Funktor F S c h S o p G r p displaystyle F mathrm Sch S mathrm op to mathrm Grp nbsp in die Kategorie der Gruppen G r p displaystyle mathrm Grp nbsp beschrieben werden Nach dem Yoneda Lemma sind beide Definitionen aquivalent Morphismen Bearbeiten Ein Morphismus von Gruppenschemata G m e i G m e i displaystyle G m e i to G m e i nbsp ist ein Morphismus f G G displaystyle f G to G nbsp von S displaystyle S nbsp Schemata der mit den Strukturmorphismen vertraglich ist das heisst f m m f f displaystyle f circ m m circ f times f nbsp f i i f displaystyle f circ i i circ f nbsp und f e e displaystyle f circ e e nbsp Tatsachlich folgen die letzten beiden Eigenschaften bereits aus f m m f f displaystyle f circ m m circ f times f nbsp Die Klasse der S displaystyle S nbsp Gruppenschemata bildet zusammen mit Morphismen von S displaystyle S nbsp Gruppenschemata wieder eine Kategorie G r p S c h S displaystyle mathsf Grp mathrm Sch S nbsp Untergruppenschemata BearbeitenDie folgenden Begriffe sind im Allgemeinen zu unterscheiden Ein S displaystyle S nbsp Untergruppenschema von G displaystyle G nbsp ist ein darstellbarer Unterfunktor von G displaystyle G nbsp 2 Ein abgeschlossenes S displaystyle S nbsp Untergruppenschema von G displaystyle G nbsp ist ein Morphismus von S displaystyle S nbsp Gruppenschemata H G displaystyle H to G nbsp der eine abgeschlossene Immersion ist 3 Ein offenes S displaystyle S nbsp Untergruppenschema von G displaystyle G nbsp ist ein Morphismus von S displaystyle S nbsp Gruppenschemata H G displaystyle H to G nbsp der eine offene Immersion ist 3 Eigenschaften BearbeitenIst P displaystyle mathbf P nbsp eine Eigenschaft von S displaystyle S nbsp Schemata das heisst eine Teilklasse der Objekte von S c h S displaystyle mathrm Sch S nbsp die durch eine logische Formel definiert ist so definiert diese eine Eigenschaft von S displaystyle S nbsp Gruppenschemata Ist G displaystyle G nbsp ein S displaystyle S nbsp Gruppenschema so sagen wir G displaystyle G nbsp habe die Eigenschaft P displaystyle mathbf P nbsp falls das unterliegende S displaystyle S nbsp Schema die Eigenschaft P displaystyle mathbf P nbsp hat 4 So erhalten wir beispielsweise die Definitionen von quasikompakt affin flach von endlichem Typ von endlicher Prasentation endlich quasisepariert separiert unverzweigt glatt etale etc Ein Gruppenschema ist kommutativ wenn m t m displaystyle m circ tau m nbsp gilt Hierbei ist t G S G G S G displaystyle tau G times S G to G times S G nbsp die Vertauschung Sie wird von der universellen Eigenschaft des Produktes von p 2 displaystyle p 2 nbsp und p 1 displaystyle p 1 nbsp induziert Basiswechsel BearbeitenIst G displaystyle G nbsp ein S displaystyle S nbsp Gruppenschema und S S displaystyle S to S nbsp ein Schemamorphismus so ist das Faserprodukt G S G S S displaystyle G S G times S S nbsp auf naturliche Weise ein S displaystyle S nbsp Gruppenschema Ist P displaystyle mathbf P nbsp eine Eigenschaft von relativen Schemata die stabil unter Basiswechsel ist so ist die zugehorige Eigenschaft von Gruppenschemata ebenfalls stabil unter Basiswechsel Ist G displaystyle G nbsp endlich so ist G S displaystyle G S nbsp endlich 5 Ist G displaystyle G nbsp affin so ist G S displaystyle G S nbsp affin 6 Ist G displaystyle G nbsp flach so ist G S displaystyle G S nbsp flach 7 Ist G displaystyle G nbsp lokal von endlichem Typ so ist G S displaystyle G S nbsp lokal von endlichem Typ 8 Ist G displaystyle G nbsp quasi separiert so ist G S displaystyle G S nbsp quasi separiert 9 Ist G displaystyle G nbsp ganz so ist G S displaystyle G S nbsp ganz 5 Affine Gruppenschemata BearbeitenEin affines S displaystyle S nbsp Gruppenschema ist ein S displaystyle S nbsp Gruppenschema G displaystyle G nbsp sodass der Strukturmorphismus G S displaystyle G to S nbsp affin ist Aus der Entsprechung von affinen S displaystyle S nbsp Schemata und quasi koharenten O S displaystyle mathcal O S nbsp Algebren uber das relative Spektrum ergibt sich eine kontravariante Aquivalenz zwischen den folgenden beiden Kategorien 10 Die Kategorie der affinen S displaystyle S nbsp Gruppenschemata Die Kategorie der quasi koharenten Hopf O S displaystyle mathcal O S nbsp Algebren Ist S S p e c A displaystyle S mathrm Spec A nbsp affin so ist letztere Kategorie aquivalent zur Kategorie der A displaystyle A nbsp Hopf Algebren Beispiele BearbeitenJedes Schema S displaystyle S nbsp besitzt einen eindeutigen Schemamorphismus S S p e c Z displaystyle S to mathrm Spec mathbb Z nbsp Durch Basiswechsel definiert also jedes Z displaystyle mathbb Z nbsp Gruppenschema G displaystyle G nbsp auf eindeutige Weise ein S displaystyle S nbsp Gruppenschema G S G Z S displaystyle G S G times mathbb Z S nbsp Die additive Gruppe G a displaystyle mathbb G a nbsp ist als Z displaystyle mathbb Z nbsp Gruppenschema auf T displaystyle T nbsp Punkten durchG a T G T O T displaystyle mathbb G a T Gamma T mathcal O T nbsp dd definiert 11 12 Der Funktor wird durch die Z displaystyle mathbb Z nbsp Hopf Algebra Z x D e s displaystyle mathbb Z x Delta varepsilon s nbsp mit den OperationenD Z x Z x Z Z x x x 1 1 x e Z x Z x 0 s Z x Z x x x displaystyle begin array rll Delta amp mathbb Z x to mathbb Z x otimes mathbb Z mathbb Z x amp x mapsto x otimes 1 1 otimes x varepsilon amp mathbb Z x to mathbb Z amp x mapsto 0 s amp mathbb Z x to mathbb Z x amp x mapsto x end array nbsp dd dargestellt Die multiplikative Gruppe G m displaystyle mathbb G m nbsp ist als Z displaystyle mathbb Z nbsp Gruppenschema auf T displaystyle T nbsp Punkten durchG m T G T O T displaystyle mathbb G m T Gamma T mathcal O T times cdot nbsp dd definiert 11 13 Der Funktor wird durch die Z displaystyle mathbb Z nbsp Hopf Algebra Z x x 1 D e s displaystyle mathbb Z x x 1 Delta varepsilon s nbsp mit den OperationenD Z x x 1 Z x x 1 Z Z x x 1 x x x e Z x x 1 Z x 1 s Z x x 1 Z x x 1 x x 1 displaystyle begin array rll Delta amp mathbb Z x x 1 to mathbb Z x x 1 otimes mathbb Z mathbb Z x x 1 amp x mapsto x otimes x varepsilon amp mathbb Z x x 1 to mathbb Z amp x mapsto 1 s amp mathbb Z x x 1 to mathbb Z x x 1 amp x mapsto x 1 end array nbsp dd dargestellt Die allgemeine lineare Gruppe G L n displaystyle mathrm GL n nbsp fur n 1 displaystyle n geq 1 nbsp ist als Z displaystyle mathbb Z nbsp Gruppenschema auf T displaystyle T nbsp Punkten durchG L n T G L n G T O T displaystyle mathrm GL n T mathrm GL n Gamma T mathcal O T nbsp dd definiert 14 Der Funktor wird durch die Hopf Algebra H D e s displaystyle H Delta varepsilon s nbsp mitH Z x i j 1 i j n 1 d e t displaystyle H mathbb Z x ij mid 1 leq i j leq n tfrac 1 mathrm det nbsp mit d e t d e t x i j i j displaystyle mathrm det mathrm det x ij ij nbsp D x i j k 1 n x i k x k j displaystyle Delta x ij sum k 1 n x ik otimes x kj nbsp e x i j d i j displaystyle varepsilon x ij delta ij nbsp s x i j displaystyle s x ij nbsp Eintrag i j displaystyle i j nbsp der Inversen von x i j i j displaystyle x ij ij nbsp dd dargestellt Die spezielle lineare Gruppe S L n displaystyle mathrm SL n nbsp fur n 1 displaystyle n geq 1 nbsp kann als abgeschlossenes Untergruppenschema von G L n displaystyle mathrm GL n nbsp definiert werden Dazu genugt es ein Hopf Ideal von H displaystyle H nbsp aus dem vorigen Beispiel anzugeben Das Hauptideal d e t 1 displaystyle mathrm det 1 nbsp ist das gesuchte Hopf Ideal Die Hopf Algebra zu S L n displaystyle mathrm SL n nbsp ist also H d e t 1 displaystyle H mathrm det 1 nbsp Alternativ kann S L n k e r d e t G L n G m displaystyle mathrm SL n mathrm ker mathrm det mathrm GL n to mathbb G m nbsp definiert werden Literatur BearbeitenMichael Artin Jose E Bertin Michel Demazure Pierre Gabriel Alexander Grothendieck Michel Raynaud Jean Pierre Serre Seminaire de geometrie algebrique du Bois Marie SGA 3 Brian Conrad Reductive group schemes Einzelnachweise Bearbeiten SGA 3 1 I 4 SGA 3 I 1 2 a b 047D 047E a b 01WL 01SD 01U9 01T4 01KU SGA 3 1 I 4 2 a b SGA 3 1 I 4 3 022V 022U 022W Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gruppenschema amp oldid 220233191
