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Symmetrischer Raum In der Mathematik sind symmetrische Räume eine Klasse von Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit einem b

Symmetrischer Raum

In der Mathematik sind symmetrische Räume eine Klasse von Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit einem besonders hohen Grad an Symmetrien.

Sie sind eine wichtige Klasse von Beispielen in Geometrie und Topologie und finden Anwendung unter anderem in Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.

Definition Bearbeiten

Eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein symmetrischer Raum, wenn es zu jedem eine Spiegelung an gibt, d. h. eine Isometrie

mit

für deren Differential in

gilt, also für alle .

Beispiele Bearbeiten

  • Der euklidische ist ein symmetrischer Raum, zu jedem definiert man die Spiegelung durch
  • Die Einheitssphäre ist ein symmetrischer Raum. Zu ist der eindeutig bestimmte Punkt auf dem Großkreis durch und , für den sowie (falls und keine antipodalen Punkte sind) gilt.
  • Mit einer bi-invarianten Metrik versehene Lie-Gruppen sind symmetrische Räume. Die Spiegelung wird definiert durch

Geodätische Symmetrie Bearbeiten

Sei eine Geodäte mit . Aus folgt für alle .

Umgekehrt kann man in jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit lokal (in einer hinreichend kleinen Umgebung eines Punktes ) eine geodätische Spiegelung durch definieren. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt lokal symmetrisch, wenn auf seinem Definitionsbereich eine Isometrie ist. Sie ist ein symmetrischer Raum, falls eine Isometrie ist und sich auf ganz definieren lässt.

Homogener Raum Bearbeiten

Jeder symmetrische Raum ist ein homogener Raum, d. h. von der Form für eine zusammenhängende Lie-Gruppe und eine kompakte Untergruppe , so dass die Riemannsche Metrik unter der Links-Wirkung von invariant ist. Cartan charakterisiert symmetrische Räume wie folgt: Sei eine zusammenhängende Liegruppe, eine kompakte Untergruppe und ein Liegruppenhomomorphismus mit sowie . (Hier bezeichnet die Fixpunkte von und die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements. heißt Cartan-Involution.) Dann trägt eine -invariante Riemannsche Metrik und ist ein symmetrischer Raum.

Cartan-Zerlegung Bearbeiten

Sei ein symmetrischer Raum und die Cartan-Involution. Seien die Lie-Algebren von .

Sei . Wegen sind die einzigen Eigenwerte, ist der Eigenraum zum Eigenwert . Wir bezeichnen mit den Eigenraum zum Eigenwert , er entspricht dem Tangentialraum an in . Dann ist und

Die mit Hilfe der Killing-Form definierte Form

ist positiv semidefinit.

Umgekehrt gibt es zu einer Zerlegung mit diesen Eigenschaften immer eine Involution auf , die auf und auf ist. Sei die einfach zusammenhängende Lie-Gruppe mit Lie-Algebra , dann gibt es zu eine Involution mit und damit einen symmetrischen Raum .

Beispiel Bearbeiten

mit ist eine Cartan-Zerlegung.

Typen symmetrischer Räume Bearbeiten

Definitionen Bearbeiten

Ein symmetrischer Raum ist von kompaktem Typ, wenn die Killing-Form auf negativ semidefinit ist.

Ein symmetrischer Raum ist von euklidischem Typ, wenn abelsch ist.

Ein symmetrischer Raum ist von nichtkompaktem Typ, wenn die Killing-Form auf nicht-ausgeartet, aber nicht negativ semidefinit und eine Cartan-Zerlegung ist. (In diesem Fall ist halbeinfach und eine maximal kompakte Untergruppe.)

Beispiele Bearbeiten

  • Die Sphäre ist ein symmetrischer Raum von kompaktem Typ.
  • Der euklidische Raum ist ein symmetrischer Raum von euklidischem Typ, ebenso der n-dimensionale Torus.
  • Der hyperbolische Raum ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ. und sind symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ.

Produkt-Zerlegung Bearbeiten

Ein symmetrischer Raum heißt irreduzibel, wenn er sich nicht als Produkt zweier nichttrivialer symmetrischer Räume zerlegen lässt, reduzibel sonst. Jeder symmetrische Raum lässt sich als Produkt irreduzibler symmetrischer Räume von kompaktem, euklidischem und nichtkompaktem Typ zerlegen.

Schnittkrümmung Bearbeiten

Symmetrische Räume von kompaktem Typ haben Schnittkrümmung , symmetrische Räume von euklidischem Typ haben Schnittkrümmung , symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ haben Schnittkrümmung .

Symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ sind CAT(0)-Räume und zusammenziehbar.

Dualität Bearbeiten

Der symmetrische Raum mit ist von kompaktem Typ genau dann, wenn der symmetrische Raum mit von nichtkompaktem Typ ist. Man bezeichnet diese beiden symmetrischen Räume als dual zueinander. Zu einem gegebenen symmetrischen Raum von nichtkompaktem Typ wird das kompakte Dual mit bezeichnet.

Beispiele:

  • Der hyperbolische Raum ist dual zur Sphäre.
  • ist dual zu .

Rang Bearbeiten

Der Rang eines symmetrischen Raumes ist definiert als

d. h. die Dimension eines maximalen Unterraumes, auf dem die Schnittkrümmung verschwindet.

Beispiel: .

Symmetrische Räume vom Rang 1 Bearbeiten

Die einzigen nichtkompakten symmetrischen Räume mit sind

Die einzigen kompakten symmetrischen Räume vom Rang 1 sind die

Klassifikation Bearbeiten

Es gibt eine vollständige Klassifikation symmetrischer Räume. Im Fall kompakter symmetrischer Räume ergibt sich folgende Tabelle (für die irreduziblen Faktoren, in die sich jeder symmetrische Raum zerlegen lässt):

Label Dimension Rang
AI
AII
AIII
BDI
DIII
CI
CII
EI 42 6
EII 40 4
EIII 32 2
EIV 26 2
EV 70 7
EVI 64 4
EVII 54 3
EVIII 128 8
EIX 112 4
FI 28 4
FII 16 1
G 8 2

Die Klassifikation (irreduzibler) symmetrischer Räume von nichtkompaktem Typ ergibt sich aus der Klassifikation kompakter symmetrischer Räume mit dem Dualitätsprinzip.

Literatur Bearbeiten

  • Helgason, Sigurdur: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
  • Köhler, Kai: Differentialgeometrie und homogene Räume. Springer Spektrum, 2014. ISBN 978-3-8348-8313-1
  • Arvanitoyeorgos, Andreas: An introduction to Lie groups and the geometry of homogeneous spaces. Translated from the 1999 Greek original and revised by the author. Student Mathematical Library, 22. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. ISBN 0-8218-2778-2
  • Cheeger, Jeff; Ebin, David G.: Comparison theorems in Riemannian geometry. Revised reprint of the 1975 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. ISBN 978-0-8218-4417-5
  • Helgason, Sigurdur: Geometric analysis on symmetric spaces. Second edition. Mathematical Surveys and Monographs, 39. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. ISBN 978-0-8218-4530-1
  • Helgason, Sigurdur: Topics in harmonic analysis on homogeneous spaces. Progress in Mathematics, 13. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981. ISBN 3-7643-3051-1

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik sind symmetrische Raume eine Klasse von Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit einem besonders hohen Grad an Symmetrien Sie sind eine wichtige Klasse von Beispielen in Geometrie und Topologie und finden Anwendung unter anderem in Darstellungstheorie harmonischer Analysis Zahlentheorie Modulformen und Physik Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Beispiele 1 2 Geodatische Symmetrie 1 3 Homogener Raum 2 Cartan Zerlegung 2 1 Beispiel 3 Typen symmetrischer Raume 3 1 Definitionen 3 2 Beispiele 3 3 Produkt Zerlegung 3 4 Schnittkrummung 3 5 Dualitat 4 Rang 4 1 Symmetrische Raume vom Rang 1 5 Klassifikation 6 Literatur 7 WeblinksDefinition BearbeitenEine zusammenhangende Riemannsche Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp ist ein symmetrischer Raum wenn es zu jedem x M displaystyle x in M nbsp eine Spiegelung an x displaystyle x nbsp gibt d h eine Isometrie S x M M displaystyle S x M rightarrow M nbsp mit S x x x displaystyle S x x x nbsp fur deren Differential in x displaystyle x nbsp d x S x I d displaystyle d x S x mathrm Id nbsp gilt also d x S x v v displaystyle d x S x v v nbsp fur alle v T x M displaystyle v in T x M nbsp Beispiele Bearbeiten Der euklidische R n displaystyle mathbb R n nbsp ist ein symmetrischer Raum zu jedem x R n displaystyle x in mathbb R n nbsp definiert man die Spiegelung S x R n R n displaystyle S x mathbb R n rightarrow mathbb R n nbsp durchS x y 2 x y displaystyle S x y 2x y nbsp Die Einheitssphare S n R n 1 displaystyle S n subset mathbb R n 1 nbsp ist ein symmetrischer Raum Zu x y S n displaystyle x y in S n nbsp ist S x y S n displaystyle S x y in S n nbsp der eindeutig bestimmte Punkt auf dem Grosskreis durch x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp fur den d S x y x d y x displaystyle d S x y x d y x nbsp sowie falls x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp keine antipodalen Punkte sind S x y y displaystyle S x y not y nbsp gilt Mit einer bi invarianten Metrik versehene Lie Gruppen sind symmetrische Raume Die Spiegelung S g displaystyle S g nbsp wird definiert durchS g h g h 1 g displaystyle S g h gh 1 g nbsp Geodatische Symmetrie Bearbeiten Sei g R M displaystyle gamma mathbb R rightarrow M nbsp eine Geodate mit g 0 x displaystyle gamma 0 x nbsp Aus d x S x I d displaystyle d x S x mathrm Id nbsp folgt S x g t g t displaystyle S x gamma t gamma t nbsp fur alle t R displaystyle t in mathbb R nbsp Umgekehrt kann man in jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit lokal in einer hinreichend kleinen Umgebung U displaystyle U nbsp eines Punktes x displaystyle x nbsp eine geodatische Spiegelung S x U U displaystyle S x U rightarrow U nbsp durch S x g t g t displaystyle S x gamma t gamma t nbsp definieren Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heisst lokal symmetrisch wenn S x displaystyle S x nbsp auf seinem Definitionsbereich eine Isometrie ist Sie ist ein symmetrischer Raum falls S x displaystyle S x nbsp eine Isometrie ist und sich auf ganz M displaystyle M nbsp definieren lasst Homogener Raum Bearbeiten Jeder symmetrische Raum ist ein homogener Raum d h von der Form G H displaystyle G H nbsp fur eine zusammenhangende Lie Gruppe G displaystyle G nbsp und eine kompakte Untergruppe H G displaystyle H subset G nbsp so dass die Riemannsche Metrik unter der Links Wirkung von G displaystyle G nbsp invariant ist Cartan charakterisiert symmetrische Raume wie folgt Sei G displaystyle G nbsp eine zusammenhangende Liegruppe H G displaystyle H subset G nbsp eine kompakte Untergruppe und s G G displaystyle sigma G rightarrow G nbsp ein Liegruppenhomomorphismus mit s 2 I d displaystyle sigma 2 mathrm Id nbsp sowie G s 0 H G s displaystyle G sigma 0 subset H subset G sigma nbsp Hier bezeichnet G s displaystyle G sigma nbsp die Fixpunkte von s displaystyle sigma nbsp und G s 0 displaystyle G sigma 0 nbsp die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements s displaystyle sigma nbsp heisst Cartan Involution Dann tragt M G H displaystyle M G H nbsp eine G displaystyle G nbsp invariante Riemannsche Metrik g displaystyle g nbsp und M g displaystyle M g nbsp ist ein symmetrischer Raum Cartan Zerlegung BearbeitenSei M G K displaystyle M G K nbsp ein symmetrischer Raum und s G G displaystyle sigma G rightarrow G nbsp die Cartan Involution Seien g k displaystyle mathfrak g mathfrak k nbsp die Lie Algebren von G K displaystyle G K nbsp Sei 8 d 0 s g g displaystyle theta d 0 sigma mathfrak g rightarrow mathfrak g nbsp Wegen 8 2 1 displaystyle theta 2 1 nbsp sind 1 displaystyle pm 1 nbsp die einzigen Eigenwerte k displaystyle mathfrak k nbsp ist der Eigenraum zum Eigenwert 1 displaystyle 1 nbsp Wir bezeichnen mit p displaystyle mathfrak p nbsp den Eigenraum zum Eigenwert 1 displaystyle 1 nbsp er entspricht dem Tangentialraum an G K displaystyle G K nbsp in e displaystyle left e right nbsp Dann ist g k p displaystyle mathfrak g mathfrak k mathfrak p nbsp und k k k displaystyle mathfrak k mathfrak k subseteq mathfrak k nbsp k p p displaystyle mathfrak k mathfrak p subseteq mathfrak p nbsp p p k displaystyle mathfrak p mathfrak p subseteq mathfrak k nbsp Die mit Hilfe der Killing Form B displaystyle B nbsp definierte Form B 8 X Y B X 8 Y displaystyle B theta X Y B X theta Y nbsp ist positiv semidefinit Umgekehrt gibt es zu einer Zerlegung g k p displaystyle mathfrak g mathfrak k mathfrak p nbsp mit diesen Eigenschaften immer eine Involution 8 displaystyle theta nbsp auf g displaystyle mathfrak g nbsp die 1 displaystyle 1 nbsp auf k displaystyle mathfrak k nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp auf p displaystyle mathfrak p nbsp ist Sei G displaystyle G nbsp die einfach zusammenhangende Lie Gruppe mit Lie Algebra g displaystyle mathfrak g nbsp dann gibt es zu 8 displaystyle theta nbsp eine Involution s G G displaystyle sigma G rightarrow G nbsp mit 8 d 0 s displaystyle theta d 0 sigma nbsp und damit einen symmetrischen Raum M G K displaystyle M G K nbsp Beispiel Bearbeiten s l n C s u n p displaystyle mathfrak sl n mathbb C mathfrak su n oplus mathfrak p nbsp mit p A s l n C A A t displaystyle mathfrak p left A in mathfrak sl n mathbb C A overline A t right nbsp ist eine Cartan Zerlegung Typen symmetrischer Raume BearbeitenDefinitionen Bearbeiten Ein symmetrischer Raum M G K displaystyle M G K nbsp ist von kompaktem Typ wenn die Killing Form auf g displaystyle mathfrak g nbsp negativ semidefinit ist Ein symmetrischer Raum M G K displaystyle M G K nbsp ist von euklidischem Typ wenn p displaystyle mathfrak p nbsp abelsch ist Ein symmetrischer Raum M G K displaystyle M G K nbsp ist von nichtkompaktem Typ wenn die Killing Form auf g displaystyle mathfrak g nbsp nicht ausgeartet aber nicht negativ semidefinit und g k p displaystyle mathfrak g mathfrak k oplus mathfrak p nbsp eine Cartan Zerlegung ist In diesem Fall ist G displaystyle G nbsp halbeinfach und K G displaystyle K subset G nbsp eine maximal kompakte Untergruppe Beispiele Bearbeiten Die Sphare S n S O n 1 S O n displaystyle S n SO n 1 SO n nbsp ist ein symmetrischer Raum von kompaktem Typ Der euklidische Raum ist ein symmetrischer Raum von euklidischem Typ ebenso der n dimensionale Torus Der hyperbolische Raum H n S O n 1 S O n displaystyle H n SO n 1 SO n nbsp ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ S L n R S O n displaystyle SL n mathbb R SO n nbsp und S L n C S U n displaystyle SL n mathbb C SU n nbsp sind symmetrische Raume von nichtkompaktem Typ Produkt Zerlegung Bearbeiten Ein symmetrischer Raum heisst irreduzibel wenn er sich nicht als Produkt zweier nichttrivialer symmetrischer Raume zerlegen lasst reduzibel sonst Jeder symmetrische Raum lasst sich als Produkt irreduzibler symmetrischer Raume von kompaktem euklidischem und nichtkompaktem Typ zerlegen Schnittkrummung Bearbeiten Symmetrische Raume von kompaktem Typ haben Schnittkrummung 0 displaystyle geq 0 nbsp symmetrische Raume von euklidischem Typ haben Schnittkrummung 0 displaystyle 0 nbsp symmetrische Raume von nichtkompaktem Typ haben Schnittkrummung 0 displaystyle leq 0 nbsp Symmetrische Raume von nichtkompaktem Typ sind CAT 0 Raume und zusammenziehbar Dualitat Bearbeiten Der symmetrische Raum M G 1 K displaystyle M G 1 K nbsp mit g 1 k p displaystyle mathfrak g 1 mathfrak k oplus mathfrak p nbsp ist von kompaktem Typ genau dann wenn der symmetrische Raum M G 2 K displaystyle M G 2 K nbsp mit g 2 k i p g C displaystyle mathfrak g 2 mathfrak k oplus i mathfrak p subset mathfrak g otimes mathbb C nbsp von nichtkompaktem Typ ist Man bezeichnet diese beiden symmetrischen Raume als dual zueinander Zu einem gegebenen symmetrischen Raum von nichtkompaktem Typ G K displaystyle G K nbsp wird das kompakte Dual mit G u K displaystyle G u K nbsp bezeichnet Beispiele Der hyperbolische Raum ist dual zur Sphare S L n R S O n displaystyle SL n mathbb R SO n nbsp ist dual zu S O n S O n S O n S O n displaystyle SO n times SO n SO n SO n nbsp Rang BearbeitenDer Rang eines symmetrischen Raumes M displaystyle M nbsp ist definiert als r k M max dim F F T x M x M s e c F 0 displaystyle mathrm rk M max left dim F F subset T x M x in M mathrm sec F equiv 0 right nbsp d h die Dimension eines maximalen Unterraumes auf dem die Schnittkrummung verschwindet Beispiel r k S L n R S O n n 1 displaystyle mathrm rk SL n mathbb R SO n n 1 nbsp Symmetrische Raume vom Rang 1 Bearbeiten Die einzigen nichtkompakten symmetrischen Raume mit r k M 1 displaystyle mathrm rk M 1 nbsp sind R 1 displaystyle mathbb R 1 nbsp die reell hyperbolischen Raume S O n 1 S O n displaystyle SO n 1 SO n nbsp die komplex hyperbolischen Raume S U n 1 S U n displaystyle SU n 1 SU n nbsp die quaternionisch hyperbolischen Raume S p n 1 S p n displaystyle Sp n 1 Sp n nbsp und die Cayley hyperbolische Ebene F 4 20 S p i n 9 displaystyle F 4 20 Spin 9 nbsp Die einzigen kompakten symmetrischen Raume vom Rang 1 sind die Spharen die reell projektiven Raume die komplex projektiven Raume die quaternionisch projektiven Raume und die Cayley projektive Ebene Klassifikation BearbeitenEs gibt eine vollstandige Klassifikation symmetrischer Raume Im Fall kompakter symmetrischer Raume ergibt sich folgende Tabelle fur die irreduziblen Faktoren in die sich jeder symmetrische Raum zerlegen lasst Label G displaystyle G nbsp K displaystyle K nbsp Dimension RangAI S U n displaystyle mathrm SU n nbsp S O n displaystyle mathrm SO n nbsp n 1 n 2 2 displaystyle n 1 n 2 2 nbsp n 1 displaystyle n 1 nbsp AII S U 2 n displaystyle mathrm SU 2n nbsp S p n displaystyle mathrm Sp n nbsp n 1 2 n 1 displaystyle n 1 2n 1 nbsp n 1 displaystyle n 1 nbsp AIII S U p q displaystyle mathrm SU p q nbsp S U p U q displaystyle mathrm S mathrm U p times mathrm U q nbsp 2 p q displaystyle 2pq nbsp m i n p q displaystyle min p q nbsp BDI S O p q displaystyle mathrm SO p q nbsp S O p S O q displaystyle mathrm SO p times mathrm SO q nbsp p q displaystyle pq nbsp m i n p q displaystyle min p q nbsp DIII S O 2 n displaystyle mathrm SO 2n nbsp U n displaystyle mathrm U n nbsp n n 1 displaystyle n n 1 nbsp n 2 displaystyle left n 2 right nbsp CI S p n displaystyle mathrm Sp n nbsp U n displaystyle mathrm U n nbsp n n 1 displaystyle n n 1 nbsp n displaystyle n nbsp CII S p p q displaystyle mathrm Sp p q nbsp S p p S p q displaystyle mathrm Sp p times mathrm Sp q nbsp 4 p q displaystyle 4pq nbsp m i n p q displaystyle min p q nbsp EI E 6 displaystyle E 6 nbsp S p 4 I displaystyle mathrm Sp 4 pm I nbsp 42 6EII E 6 displaystyle E 6 nbsp S U 6 S U 2 displaystyle mathrm SU 6 cdot mathrm SU 2 nbsp 40 4EIII E 6 displaystyle E 6 nbsp S O 10 S O 2 displaystyle mathrm SO 10 cdot mathrm SO 2 nbsp 32 2EIV E 6 displaystyle E 6 nbsp F 4 displaystyle F 4 nbsp 26 2EV E 7 displaystyle E 7 nbsp S U 8 I displaystyle mathrm SU 8 pm I nbsp 70 7EVI E 7 displaystyle E 7 nbsp S O 12 S U 2 displaystyle mathrm SO 12 cdot mathrm SU 2 nbsp 64 4EVII E 7 displaystyle E 7 nbsp E 6 S O 2 displaystyle E 6 cdot mathrm SO 2 nbsp 54 3EVIII E 8 displaystyle E 8 nbsp S p i n 16 v o l displaystyle mathrm Spin 16 pm vol nbsp 128 8EIX E 8 displaystyle E 8 nbsp E 7 S U 2 displaystyle E 7 cdot mathrm SU 2 nbsp 112 4FI F 4 displaystyle F 4 nbsp S p 3 S U 2 displaystyle mathrm Sp 3 cdot mathrm SU 2 nbsp 28 4FII F 4 displaystyle F 4 nbsp S p i n 9 displaystyle mathrm Spin 9 nbsp 16 1G G 2 displaystyle G 2 nbsp S O 4 displaystyle mathrm SO 4 nbsp 8 2Die Klassifikation irreduzibler symmetrischer Raume von nichtkompaktem Typ ergibt sich aus der Klassifikation kompakter symmetrischer Raume mit dem Dualitatsprinzip Literatur BearbeitenHelgason Sigurdur Differential geometry Lie groups and symmetric spaces Corrected reprint of the 1978 original Graduate Studies in Mathematics 34 American Mathematical Society Providence RI 2001 ISBN 0 8218 2848 7 Kohler Kai Differentialgeometrie und homogene Raume Springer Spektrum 2014 ISBN 978 3 8348 8313 1 Arvanitoyeorgos Andreas An introduction to Lie groups and the geometry of homogeneous spaces Translated from the 1999 Greek original and revised by the author Student Mathematical Library 22 American Mathematical Society Providence RI 2003 ISBN 0 8218 2778 2 Cheeger Jeff Ebin David G Comparison theorems in Riemannian geometry Revised reprint of the 1975 original AMS Chelsea Publishing Providence RI 2008 ISBN 978 0 8218 4417 5 Helgason Sigurdur Geometric analysis on symmetric spaces Second edition Mathematical Surveys and Monographs 39 American Mathematical Society Providence RI 2008 ISBN 978 0 8218 4530 1 Helgason Sigurdur Topics in harmonic analysis on homogeneous spaces Progress in Mathematics 13 Birkhauser Boston Mass 1981 ISBN 3 7643 3051 1Weblinks BearbeitenSymmetrische Raume PDF 466 kB Homogene Raume PDF 519 kB Abschnitt 4 Lecture Notes on Symmetric Spaces englisch Symmetric spaces englisch Groupes et geometries franzosisch Abschnitt 4 Differential Geometry and Symmetric Spaces englisch Lie groups representation theory and symmetric spaces englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Symmetrischer Raum amp oldid 214086952