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Lokal symmetrischer Raum In der Mathematik sind lokal symmetrische Räume eine wichtige Klasse von Beispielen in der Diff

Lokal symmetrischer Raum

In der Mathematik sind lokal symmetrische Räume eine wichtige Klasse von Beispielen in der Differentialgeometrie, die insbesondere flache Mannigfaltigkeiten und hyperbolische Mannigfaltigkeiten umfasst. Harmonische Analysis auf lokal symmetrischen Räumen hängt eng mit der Theorie automorpher Formen zusammen und hat tiefliegende Anwendungen in der Zahlentheorie.

Eigenschaften Bearbeiten

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein lokal symmetrischer Raum, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt:

Beispiele Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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In der Mathematik sind lokal symmetrische Raume eine wichtige Klasse von Beispielen in der Differentialgeometrie die insbesondere flache Mannigfaltigkeiten und hyperbolische Mannigfaltigkeiten umfasst Harmonische Analysis auf lokal symmetrischen Raumen hangt eng mit der Theorie automorpher Formen zusammen und hat tiefliegende Anwendungen in der Zahlentheorie Eigenschaften BearbeitenEine Riemannsche Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp ist ein lokal symmetrischer Raum wenn sie eine der folgenden aquivalenten Eigenschaften erfullt Zu jedem x M displaystyle x in M nbsp gibt es ein ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp so dass die geodatische Spiegelung eine Isometrie der ϵ displaystyle epsilon nbsp Kugel B ϵ x displaystyle B epsilon x nbsp auf sich ist Die Ableitung des Riemannschen Krummungstensors verschwindet R 0 displaystyle nabla R 0 nbsp dd Fur jedes Jacobifeld mit Y 0 0 displaystyle Y 0 0 nbsp ist Y t Y t displaystyle Y t Y t nbsp Die universelle Uberlagerung M displaystyle widetilde M nbsp ist ein symmetrischer Raum Es gibt eine diskrete Gruppe von Isometrien G Isom M displaystyle Gamma subset operatorname Isom widetilde M nbsp mitM G M displaystyle M Gamma backslash widetilde M nbsp dd Beispiele BearbeitenFlache Mannigfaltigkeiten sind von der Form G R n displaystyle Gamma backslash mathbb R n nbsp fur ein Gitter G R n displaystyle Gamma subset mathbb R n nbsp und damit lokal symmetrische Raume Wenn G displaystyle G nbsp eine halbeinfache Lie Gruppe K G displaystyle K subset G nbsp eine maximal kompakte Untergruppe und G G displaystyle Gamma subset G nbsp eine diskrete torsions freie Untergruppe ist dann ist G G K displaystyle Gamma backslash G K nbsp ein lokal symmetrischer Raum Fur G S O 0 n 1 displaystyle G SO 0 n 1 nbsp und K S O n displaystyle K SO n nbsp ist G K displaystyle G K nbsp der hyperbolische Raum insbesondere sind hyperbolische Mannigfaltigkeiten G H n displaystyle Gamma backslash H n nbsp lokal symmetrisch Fur die Zahlentheorie und die Theorie automorpher Formen bedeutsam sind die lokal symmetrischen Raume S L n Z S L n R S O n displaystyle SL n mathbb Z backslash SL n mathbb R SO n nbsp Weblinks BearbeitenWerner Muller Harmonic analysis on locally symmetric spaces and number theory Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lokal symmetrischer Raum amp oldid 209077185