In der Mathematik sind hyperbolische Mannigfaltigkeiten Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit konstanter negativer Schnittkrümmung. Sie spielen eine wichtige Rolle in der niedrig-dimensionalen Topologie, insbesondere in Thurstons Geometrisierungsprogramm.
Definition Bearbeiten
Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant . (Eine Riemannsche Metrik mit Schnittkrümmung konstant heißt hyperbolische Metrik. Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist also eine Mannigfaltigkeit mit einer vollständigen hyperbolischen Metrik.)
Äquivalente Definition 1: Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zum hyperbolischen Raum ist.
Äquivalente Definition 2: Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Form , wobei der hyperbolische Raum und eine diskrete Untergruppe der Gruppe der Isometrien des hyperbolischen Raumes ist.
Hyperbolische Monodromie Bearbeiten
Weil der hyperbolische Raum zusammenziehbar ist, muss die in Definition 2 verwendete Gruppe isomorph zur Fundamentalgruppe sein. Die sich aus Definition 2 ergebende Darstellung wird auch als Monodromiedarstellung oder hyperbolische Monodromie bezeichnet.
Im Fall orientierbarer Mannigfaltigkeiten bildet die Monodromiedarstellung nach ab.
Literatur Bearbeiten
- Benedetti, Riccardo; Petronio, Carlo: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1992. xiv+330 pp. ISBN 3-540-55534-X
- Kapovich, Michael: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. xxviii+467 pp. ISBN 978-0-8176-4912-8
Weblinks Bearbeiten
- John Milnor: Hyperbolic Geometry: The First 150 Years (PDF; 1,5 MB)