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Diskrete Untergruppe In der Mathematik spielen diskrete Untergruppen topologischer Gruppen eine wichtige Rolle in Topolo

Diskrete Untergruppe

In der Mathematik spielen diskrete Untergruppen topologischer Gruppen eine wichtige Rolle in Topologie, Differentialgeometrie und Theorie der Lie-Gruppen.

Definition Bearbeiten

Sei eine topologische Gruppe. Eine Untergruppe heißt diskret, wenn die induzierte Unterraumtopologie die diskrete Topologie ist, also alle Elemente isoliert sind: in einer hinreichend kleinen Umgebung eines beliebigen Elements liegen keine weiteren Elemente von .

Eine Darstellung einer (abstrakten) Gruppe heißt diskret, wenn das Bild eine diskrete Untergruppe von ist.

Beispiele Bearbeiten

  • ist eine diskrete Untergruppe
  • ist eine diskrete Untergruppe
  • ist keine diskrete Untergruppe
  • ist eine diskrete Untergruppe

Eigenschaften Bearbeiten

Eine diskrete Untergruppe einer Hausdorffschen topologischen Gruppe ist stets abgeschlossen.

Gitter Bearbeiten

Sei eine lokalkompakte -kompakte topologische Gruppe, die Projektion und das (bis auf einen konstanten Faktor eindeutige) Haarmaß. Für eine diskrete Untergruppe erzeugt das Haarmaß ein wohldefiniertes Maß auf wie folgt: für alle Mengen mit definieren wir .

Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe , für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens gibt, oder äquivalent: für die der Quotientenraum endliches Volumen (bzgl. des Haarmaßes) hat.

Das Gitter heißt uniform oder kokompakt, wenn kompakt ist.

Ein Gitter heißt reduzibel, wenn sich als direktes Produkt zerlegen lässt, so dass es Gitter gibt, für die eine Untergruppe von endlichem Index in ist. Insbesondere ist dann kein irreduzibles Gitter.

Literatur Bearbeiten

  • M. S. Raghunathan: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 68. Springer, New York, Heidelberg 1972.
  • G. A. Margulis: Discrete subgroups of semisimple Lie groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 17. Springer, Berlin, 1991. ISBN 3-540-12179-X

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik spielen diskrete Untergruppen topologischer Gruppen eine wichtige Rolle in Topologie Differentialgeometrie und Theorie der Lie Gruppen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Gitter 5 Literatur 6 WeblinksDefinition BearbeitenSei G displaystyle G nbsp eine topologische Gruppe Eine Untergruppe G displaystyle Gamma nbsp heisst diskret wenn die induzierte Unterraumtopologie die diskrete Topologie ist also alle Elemente isoliert sind in einer hinreichend kleinen Umgebung eines beliebigen Elements g G displaystyle gamma in Gamma nbsp liegen keine weiteren Elemente von G displaystyle Gamma nbsp Eine Darstellung r G G L n C displaystyle rho colon Gamma to GL n mathbb C nbsp einer abstrakten Gruppe G displaystyle Gamma nbsp heisst diskret wenn das Bild r G displaystyle rho Gamma nbsp eine diskrete Untergruppe von G L n C displaystyle GL n mathbb C nbsp ist Beispiele BearbeitenZ R displaystyle mathbb Z subset mathbb R nbsp ist eine diskrete Untergruppe Z C displaystyle mathbb Z subset mathbb C nbsp ist eine diskrete Untergruppe Q C displaystyle mathbb Q subset mathbb C nbsp ist keine diskrete Untergruppe G L n Z G L n R displaystyle GL n mathbb Z subset GL n mathbb R nbsp ist eine diskrete UntergruppeEigenschaften BearbeitenEine diskrete Untergruppe einer Hausdorffschen topologischen Gruppe ist stets abgeschlossen Gitter BearbeitenSei G displaystyle G nbsp eine lokalkompakte s displaystyle sigma nbsp kompakte topologische Gruppe p G G G displaystyle pi colon G rightarrow Gamma backslash G nbsp die Projektion und m displaystyle mu nbsp das bis auf einen konstanten Faktor eindeutige Haarmass Fur eine diskrete Untergruppe G G displaystyle Gamma subset G nbsp erzeugt das Haarmass m displaystyle mu nbsp ein wohldefiniertes Mass m G displaystyle mu Gamma nbsp auf G G displaystyle Gamma backslash G nbsp wie folgt fur alle Mengen A G displaystyle A subset G nbsp mit A g A g G e displaystyle A cap gamma A emptyset forall gamma in Gamma left e right nbsp definieren wir m G p A m A displaystyle mu Gamma pi A mu A nbsp Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe G G displaystyle Gamma subset G nbsp fur die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens gibt oder aquivalent fur die der Quotientenraum G G displaystyle Gamma backslash G nbsp endliches Volumen bzgl des Haarmasses hat Das Gitter heisst uniform oder kokompakt wenn G G displaystyle Gamma backslash G nbsp kompakt ist Ein Gitter G G displaystyle Gamma subset G nbsp heisst reduzibel wenn sich G displaystyle G nbsp als direktes Produkt G G 1 G 2 displaystyle G G 1 times G 2 nbsp zerlegen lasst so dass es Gitter G 1 G 1 G 2 G 2 displaystyle Gamma 1 subset G 1 Gamma 2 subset G 2 nbsp gibt fur die G 1 G 2 displaystyle Gamma 1 times Gamma 2 nbsp eine Untergruppe von endlichem Index in G displaystyle Gamma nbsp ist Insbesondere ist G displaystyle Gamma nbsp dann kein irreduzibles Gitter Literatur BearbeitenM S Raghunathan Discrete subgroups of Lie groups Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Band 68 Springer New York Heidelberg 1972 G A Margulis Discrete subgroups of semisimple Lie groups Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3 17 Springer Berlin 1991 ISBN 3 540 12179 XWeblinks BearbeitenVenkataramana Lattices in Lie groups Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Diskrete Untergruppe amp oldid 232633969