www.wikidata.de-de.nina.az

Zusammenziehbarer Raum Zusammenziehbare Räume auch als kontrahierbare bzw kontraktible Räume bezeichnet werden im mathem

Zusammenziehbarer Raum

Zusammenziehbare Räume – auch als kontrahierbare bzw. kontraktible Räume bezeichnet – werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Aus Sicht der Homotopietheorie gelten zusammenziehbare Räume als trivial. Viele in der Algebraischen Topologie definierte Invarianten verschwinden für zusammenziehbare Räume.

Definition Bearbeiten

Ein topologischer Raum heißt zusammenziehbar oder kontrahierbar oder kontraktibel, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Unterraum ist, das heißt, wenn es eine stetige Abbildung

und einen festen Punkt gibt, sodass

  • für alle und
  • für alle

gilt.

Beispiel Bearbeiten

  • Der euklidische Raum ist zusammenziehbar: Setze
    Man beachte, dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne „stetig zu einem Punkt deformiert wird“: Das Bild der Abbildung
    ist für stets der gesamte Raum, erst für ist das Bild nur noch der Ursprung.
  • Allgemeiner sind sternförmige Mengen zusammenziehbar.

Schwach zusammenziehbare Räume Bearbeiten

Ein topologischer Raum heißt schwach kontrahierbar oder schwach zusammenziehbar, wenn für alle die Homotopiegruppen trivial sind, d. h.

Wenn ein Raum zusammenziehbar ist, dann ist er auch schwach zusammenziehbar.

Für CW-Komplexe gilt auch die Umkehrung: Aus und für alle folgt, dass der CW-Komplex zusammenziehbar ist. Für beliebige topologische Räume gilt die Umkehrung i. A. nicht.

Weitere Resultate Bearbeiten

Es liegen die folgenden Resultate vor:

Gegenbeispiele Bearbeiten

  • Die Einheitssphäre (oder allgemeiner: eine entsprechende Sphäre mit festem Radius) ist nicht zusammenziehbar, obwohl sie für einfach zusammenhängend ist.
  • Der Raum, den man als Vereinigung von
mit einem (0,-1) und (1,sin(1)) verbindenden Kreisbogen erhält, ist nicht zusammenziehbar, obwohl alle seine Homotopiegruppen trivial sind.
Dies zeigt, dass der Satz von Whitehead für topologische Räume, die kein CW-Komplex sind, im Allgemeinen nicht gelten muss.

Literatur Bearbeiten

  • Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X, S. 110 ff. (MR2172813).
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 156 ff. (MR0423277).
  • Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA (u. a.) 1970, S. 224 ff. (MR0264581).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1st corrected Springer edition, Reprint. Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0, S. 25.
  2. Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 224
  3. Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 112
  4. ↑ Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 226
  5. ↑ Thorsten Camps et al., op. cit., S. 111
  6. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 162
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Zusammenziehbare Raume auch als kontrahierbare bzw kontraktible Raume bezeichnet werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet Aus Sicht der Homotopietheorie gelten zusammenziehbare Raume als trivial Viele in der Algebraischen Topologie definierte Invarianten verschwinden fur zusammenziehbare Raume Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Schwach zusammenziehbare Raume 4 Weitere Resultate 5 Gegenbeispiele 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin topologischer Raum X displaystyle X neq emptyset nbsp heisst zusammenziehbar oder kontrahierbar oder kontraktibel wenn er homotopieaquivalent zu einem einpunktigen Unterraum ist das heisst wenn es eine stetige Abbildung H X 0 1 X displaystyle H colon X times 0 1 to X nbsp und einen festen Punkt p X displaystyle p in X nbsp gibt sodass H x 0 x displaystyle H x 0 x nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp und H x 1 p displaystyle H x 1 p nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp gilt 1 Beispiel BearbeitenDer euklidische Raum R n displaystyle mathbb R n nbsp ist zusammenziehbar Setze H x t 1 t x displaystyle H x t 1 t x nbsp fur x R n displaystyle x in mathbb R n nbsp und 0 t 1 displaystyle 0 leq t leq 1 nbsp dd Man beachte dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne stetig zu einem Punkt deformiert wird Das Bild der AbbildungR n R n x H x t displaystyle mathbb R n to mathbb R n quad x mapsto H x t nbsp dd ist fur t lt 1 displaystyle t lt 1 nbsp stets der gesamte Raum erst fur t 1 displaystyle t 1 nbsp ist das Bild nur noch der Ursprung Allgemeiner sind sternformige Mengen zusammenziehbar Schwach zusammenziehbare Raume BearbeitenEin topologischer Raum X displaystyle X nbsp heisst schwach kontrahierbar oder schwach zusammenziehbar wenn fur alle x X displaystyle x in X nbsp die Homotopiegruppen p n X x displaystyle pi n X x nbsp trivial sind d h p 0 X x Z displaystyle pi 0 X x mathbb Z nbsp und p n X x 0 displaystyle pi n X x 0 nbsp fur alle n 1 displaystyle n geq 1 nbsp Wenn ein Raum X displaystyle X nbsp zusammenziehbar ist dann ist er auch schwach zusammenziehbar Fur CW Komplexe gilt auch die Umkehrung Aus p 0 X x Z displaystyle pi 0 X x mathbb Z nbsp und p n X x 0 displaystyle pi n X x 0 nbsp fur alle n 0 displaystyle n geq 0 nbsp folgt dass der CW Komplex X displaystyle X nbsp zusammenziehbar ist Fur beliebige topologische Raume gilt die Umkehrung i A nicht Weitere Resultate BearbeitenEs liegen die folgenden Resultate vor Eine nichtleere konvexe Teilmenge des euklidischen Raums ist stets zusammenziehbar 2 Jeder zusammenziehbare Raum ist wegzusammenhangend 3 4 Jeder Retrakt eines zusammenziehbaren Raums ist zusammenziehbar 4 Ein nichtleeres topologisches Produkt von nichtleeren zusammenziehbaren Raumen ist stets zusammenziehbar 5 6 Vererbungssatz 5 Gegenbeispiele BearbeitenDie Einheitssphare S n displaystyle mathbb S n nbsp oder allgemeiner eine entsprechende Sphare mit festem Radius ist nicht zusammenziehbar obwohl sie fur n 2 displaystyle n geqslant 2 nbsp einfach zusammenhangend ist Der Raum den man als Vereinigung von x sin 1 x x 0 1 0 0 displaystyle left left x sin frac 1 x right x in 0 1 right cup 0 0 nbsp dd mit einem 0 1 und 1 sin 1 verbindenden Kreisbogen erhalt ist nicht zusammenziehbar obwohl alle seine Homotopiegruppen trivial sind Dies zeigt dass der Satz von Whitehead fur topologische Raume die kein CW Komplex sind im Allgemeinen nicht gelten muss Literatur BearbeitenThorsten Camps Stefan Kuhling Gerhard Rosenberger Einfuhrung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie Berliner Studienreihe zur Mathematik Band 15 Heldermann Verlag Lemgo 2006 ISBN 3 88538 115 X S 110 ff MR2172813 Horst Schubert Topologie 4 Auflage B G Teubner Verlag Stuttgart 1975 ISBN 3 519 12200 6 S 156 ff MR0423277 Stephen Willard General Topology Addison Wesley Series in Mathematics Addison Wesley Reading MA u a 1970 S 224 ff MR0264581 Einzelnachweise Bearbeiten Edwin H Spanier Algebraic Topology 1st corrected Springer edition Reprint Springer New York NY u a 1995 ISBN 3 540 90646 0 S 25 Stephen Willard General Topology 1970 S 224 Thorsten Camps et al Einfuhrung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie 2006 S 112 a b Stephen Willard General Topology 1970 S 226 a b Thorsten Camps et al op cit S 111 Horst Schubert Topologie 1975 S 162 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zusammenziehbarer Raum amp oldid 234292672