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Homotopiegruppe In der Mathematik genauer in der algebraischen Topologie sind die n ein Werkzeug um topologische Räume z

Homotopiegruppe

In der Mathematik, genauer in der algebraischen Topologie, sind die Homotopiegruppen ein Werkzeug, um topologische Räume zu klassifizieren. Die stetigen Abbildungen einer n-dimensionalen Sphäre in einen gegebenen Raum werden zu Äquivalenzklassen, den sogenannten Homotopieklassen, zusammengefasst. Dabei heißen zwei Abbildungen homotop, wenn sie stetig ineinander überführt werden können. Diese Homotopieklassen bilden eine Gruppe, die n-te Homotopiegruppe des Raumes genannt wird.

Anschaulich kann die Homotopiegruppe als Maß dafür verstanden werden, auf wie viele wesentlich unterschiedliche Arten die in den Raum abgebildet werden kann.

Die erste Homotopiegruppe heißt auch Fundamentalgruppe.

Homotopieäquivalente topologische Räume haben isomorphe Homotopiegruppen. Haben zwei Räume verschiedene Homotopiegruppen, so können sie nicht homotopieäquivalent sein, somit auch nicht homöomorph. Für CW-Komplexe gilt nach einem Satz von Whitehead auch eine partielle Umkehrung.

Definition Bearbeiten

In der Sphäre wählen wir einen Punkt , den wir Basispunkt nennen. Sei ein topologischer Raum und ein Basispunkt. Wir definieren als die Menge der Homotopieklassen stetiger Abbildungen (d. h. es ist ). Genauer gesagt, werden die Äquivalenzklassen durch Homotopien definiert, die den Basispunkt festhalten. Äquivalent könnten wir als die Menge der Homotopieklassen relativ zu der stetigen Abbildungen definieren, d. h. derjenigen stetigen Abbildungen vom n-dimensionalen Einheitswürfel nach , die den Rand des Würfels in den Punkt abbilden. Dies ist auf zurückzuführen.

Für kann man die Menge der Homotopieklassen mit einer Gruppenstruktur versehen. Die Konstruktion der Gruppenstruktur von ähnelt der im Falle , also der Fundamentalgruppe. Die Idee der Konstruktion der Gruppenoperation in der Fundamentalgruppe ist das Hintereinanderdurchlaufen von Wegen, in der allgemeineren -ten Homotopiegruppe gehen wir ähnlich vor, nur, dass wir nun -Würfel entlang einer Seite zusammenkleben, d. h. wir definieren die Summe zweier Abbildungen durch

In der Darstellung durch Sphären ist die Summe zweier Homotopieklassen die Homotopieklasse derjenigen Abbildung, die man erhält, wenn man die Sphäre zunächst am Äquator entlang zusammenzieht und dann auf der oberen Sphäre f, auf der unteren g anwendet. Genauer: ist die Komposition der 'Äquatorzusammenzurrung' (Einpunktvereinigung) und der Abbildung .

Ist , so ist eine abelsche Gruppe. Zum Beweis dieser Tatsache beachte man, dass zwei Homotopien ab Dimension zwei umeinander "gedreht" werden können. Für ist das nicht möglich, da der Rand von nicht wegzusammenhängend ist.

Beispiele Bearbeiten

Homotopiegruppen von Sphären Bearbeiten

Für gilt , für folgt aus dem Satz von Hopf, dass

ist. Jean-Pierre Serre hat bewiesen, dass für eine endliche Gruppe sein muss.

Eilenberg-MacLane-Räume Bearbeiten

Topologische Räume , die für alle erfüllen, heißen Eilenberg-MacLane-Räume mit .

Beispiele von -Räumen sind geschlossene, orientierbare Flächen mit Ausnahme der , geschlossene, orientierbare, prime 3-Mannigfaltigkeiten mit Ausnahme der und alle CAT(0)-Räume, darunter lokal-symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ, insbesondere hyperbolische Mannigfaltigkeiten.

Die lange exakte Sequenz einer Faserung Bearbeiten

Ist eine Serre-Faserung mit Faser , das heißt eine stetige Abbildung, die die Homotopiehochhebungseigenschaft für CW-Komplexe besitzt, so existiert eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen

Die betreffenden Abbildungen sind hier keine Gruppenhomomorphismen, da nicht gruppenwertig ist, sie sind aber exakt in dem Sinne, dass das Bild dem Kern (die Komponente des Basispunktes ist das ausgezeichnete Element) gleicht.

Beispiel: Die Hopf-Faserung Bearbeiten

Die Basis ist hier und der Totalraum ist . Sei die Hopfabbildung, die die Faser hat. Aus der langen exakten Sequenz

und der Tatsache, dass für , folgt, dass für gilt. Insbesondere ist

n-Äquivalenzen und schwache Äquivalenzen. Der Satz von Whitehead Bearbeiten

Eine stetige Abbildung heißt -Äquivalenz, wenn die induzierte Abbildung für ein Isomorphismus und für eine Surjektion ist. Ist die Abbildung für alle ein Isomorphismus, so nennt man die Abbildung eine schwache Äquivalenz.

Ein Satz von J. H. C. Whitehead besagt, dass eine schwache Äquivalenz zwischen zusammenhängenden CW-Komplexen bereits eine Homotopieäquivalenz ist. Falls und Dimension kleiner als haben, so genügt bereits, dass eine -Äquivalenz ist.

Homotopie und Homologie. Der Satz von Hurewicz Bearbeiten

Für punktierte Räume gibt es kanonische Homomorphismen von den Homotopiegruppen in die reduzierten Homologiegruppen

die Hurewicz-Homomorphismen (nach Witold Hurewicz) genannt werden. Ein Satz von Hurewicz besagt: Ist ein -zusammenhängender Raum, d. h. gilt für , dann ist der Hurewicz-Homomorphismus im Fall die Abelisierung und für ein Isomorphismus.

Relative Homotopiegruppen Bearbeiten

Man kann auch relative Homotopiegruppen für Raumpaare definieren, ihre Elemente sind Homotopieklassen von Abbildungen , zwei solche Abbildungen und heißen dabei homotop, wenn es eine Homotopie gibt. Man erhält die absoluten Homotopiegruppen im Spezialfall .

Für jedes Raumpaar gibt es eine lange exakte Sequenz

Literatur Bearbeiten

  • J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9.

Weblinks Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  1. Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. Springer Berlin Heidelberg, 2017, ISBN 978-3-662-54963-6 (google.com [abgerufen am 31. Dezember 2021]).
  2. Es ist wichtig, hier nur Homotopien zuzulassen, die den Basispunkt festlassen. Die Menge der freien Homotopieklassen hat keine natürliche Gruppenstruktur und sie ist im Allgemeinen nicht in Bijektion zu . Man hat eine surjektive Abbildung , unter der zwei Elemente genau dann derselben freien Homotopieklasse entsprechen, wenn sie im selben Orbit der Wirkung von auf liegen.
  3. J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9, Abschnitt 9.6
  4. J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9, Abschnitt 10.3
  5. J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9, Abschnitt 15.1
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik genauer in der algebraischen Topologie sind die Homotopiegruppen ein Werkzeug um topologische Raume zu klassifizieren Die stetigen Abbildungen einer n dimensionalen Sphare in einen gegebenen Raum werden zu Aquivalenzklassen den sogenannten Homotopieklassen zusammengefasst Dabei heissen zwei Abbildungen homotop wenn sie stetig ineinander uberfuhrt werden konnen Diese Homotopieklassen bilden eine Gruppe die n te Homotopiegruppe des Raumes genannt wird Anschaulich kann die Homotopiegruppe p n X x 0 displaystyle pi n X x 0 als Mass dafur verstanden werden auf wie viele wesentlich unterschiedliche Arten die S n displaystyle S n in den Raum X displaystyle X abgebildet werden kann 1 Die erste Homotopiegruppe heisst auch Fundamentalgruppe Homotopieaquivalente topologische Raume haben isomorphe Homotopiegruppen Haben zwei Raume verschiedene Homotopiegruppen so konnen sie nicht homotopieaquivalent sein somit auch nicht homoomorph Fur CW Komplexe gilt nach einem Satz von Whitehead auch eine partielle Umkehrung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 2 1 Homotopiegruppen von Spharen 2 2 Eilenberg MacLane Raume 3 Die lange exakte Sequenz einer Faserung 3 1 Beispiel Die Hopf Faserung 4 n Aquivalenzen und schwache Aquivalenzen Der Satz von Whitehead 5 Homotopie und Homologie Der Satz von Hurewicz 6 Relative Homotopiegruppen 7 Literatur 8 Weblinks 9 QuellenDefinition BearbeitenIn der Sphare S n displaystyle S n nbsp wahlen wir einen Punkt a displaystyle a nbsp den wir Basispunkt nennen Sei X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum und b X displaystyle b in X nbsp ein Basispunkt Wir definieren p n X b displaystyle pi n X b nbsp als die Menge der Homotopieklassen stetiger Abbildungen f S n a X b displaystyle f colon S n a to X b nbsp d h es ist f a b displaystyle f a b nbsp Genauer gesagt werden die Aquivalenzklassen durch Homotopien definiert die den Basispunkt festhalten 2 Aquivalent konnten wir p n X b displaystyle pi n X b nbsp als die Menge der Homotopieklassen relativ zu I n displaystyle partial I n nbsp der stetigen Abbildungen g I n I n X b displaystyle g colon I n partial I n to X b nbsp definieren d h derjenigen stetigen Abbildungen vom n dimensionalen Einheitswurfel nach X displaystyle X nbsp die den Rand des Wurfels in den Punkt b displaystyle b nbsp abbilden Dies ist auf I n I n S n displaystyle I n partial I n cong S n nbsp zuruckzufuhren Fur n 1 displaystyle n geq 1 nbsp kann man die Menge der Homotopieklassen mit einer Gruppenstruktur versehen Die Konstruktion der Gruppenstruktur von p n X b displaystyle pi n X b nbsp ahnelt der im Falle n 1 displaystyle n 1 nbsp also der Fundamentalgruppe Die Idee der Konstruktion der Gruppenoperation in der Fundamentalgruppe ist das Hintereinanderdurchlaufen von Wegen in der allgemeineren n displaystyle n nbsp ten Homotopiegruppe gehen wir ahnlich vor nur dass wir nun n displaystyle n nbsp Wurfel entlang einer Seite zusammenkleben d h wir definieren die Summe zweier Abbildungen f g I n I n X b displaystyle f g colon I n partial I n to X b nbsp durch f g t f t 1 t n 1 2 t n t n 1 2 g t 1 t n 1 2 t n 1 t n 1 2 displaystyle f g t begin cases f t 1 ldots t n 1 2t n amp t n leq frac 1 2 g t 1 ldots t n 1 2t n 1 amp t n geq frac 1 2 end cases nbsp In der Darstellung durch Spharen ist die Summe zweier Homotopieklassen die Homotopieklasse derjenigen Abbildung die man erhalt wenn man die Sphare zunachst am Aquator entlang zusammenzieht und dann auf der oberen Sphare f auf der unteren g anwendet Genauer f g displaystyle f g nbsp ist die Komposition der Aquatorzusammenzurrung S n S n S n displaystyle S n to S n vee S n nbsp Einpunktvereinigung und der Abbildung f g S n S n X displaystyle f vee g colon S n vee S n to X nbsp Ist n 2 displaystyle n geq 2 nbsp so ist p n X b displaystyle pi n X b nbsp eine abelsche Gruppe Zum Beweis dieser Tatsache beachte man dass zwei Homotopien ab Dimension zwei umeinander gedreht werden konnen Fur n 1 displaystyle n 1 nbsp ist das nicht moglich da der Rand von I 1 displaystyle I 1 nbsp nicht wegzusammenhangend ist Beispiele BearbeitenHomotopiegruppen von Spharen Bearbeiten Fur 0 lt k lt n displaystyle 0 lt k lt n nbsp gilt p k S n 0 displaystyle pi k S n 0 nbsp fur k n displaystyle k n nbsp folgt aus dem Satz von Hopf dass p n S n Z displaystyle pi n S n mathbb Z nbsp ist Jean Pierre Serre hat bewiesen dass p k S n displaystyle pi k S n nbsp fur k n 2 n 1 displaystyle k not n 2n 1 nbsp eine endliche Gruppe sein muss Eilenberg MacLane Raume Bearbeiten Topologische Raume X displaystyle X nbsp die p k X 0 displaystyle pi k X 0 nbsp fur alle k 0 n displaystyle k not 0 n nbsp erfullen heissen Eilenberg MacLane Raume K p n displaystyle K pi n nbsp mit p p n X displaystyle pi pi n X nbsp Beispiele von K p 1 displaystyle K pi 1 nbsp Raumen sind geschlossene orientierbare Flachen mit Ausnahme der S 2 displaystyle S 2 nbsp geschlossene orientierbare prime 3 Mannigfaltigkeiten mit Ausnahme der S 2 S 1 displaystyle S 2 times S 1 nbsp und alle CAT 0 Raume darunter lokal symmetrische Raume von nichtkompaktem Typ insbesondere hyperbolische Mannigfaltigkeiten Die lange exakte Sequenz einer Faserung BearbeitenIst p E e 0 B b 0 displaystyle p colon E e 0 to B b 0 nbsp eine Serre Faserung mit Faser F displaystyle F nbsp das heisst eine stetige Abbildung die die Homotopiehochhebungseigenschaft fur CW Komplexe besitzt so existiert eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen p n F p n E p n B p n 1 F p 0 E p 0 B 0 displaystyle ldots to pi n F to pi n E to pi n B to pi n 1 F to ldots to pi 0 E to pi 0 B to 0 nbsp Die p 0 displaystyle pi 0 nbsp betreffenden Abbildungen sind hier keine Gruppenhomomorphismen da p 0 displaystyle pi 0 nbsp nicht gruppenwertig ist sie sind aber exakt in dem Sinne dass das Bild dem Kern die Komponente des Basispunktes ist das ausgezeichnete Element gleicht Beispiel Die Hopf Faserung Bearbeiten Die Basis B displaystyle B nbsp ist hier S 2 displaystyle S 2 nbsp und der Totalraum E displaystyle E nbsp ist S 3 displaystyle S 3 nbsp Sei p S 3 S 2 displaystyle p colon S 3 to S 2 nbsp die Hopfabbildung die die Faser S 1 displaystyle S 1 nbsp hat Aus der langen exakten Sequenz p n S 1 p n S 3 p n S 2 p n 1 S 1 displaystyle ldots to pi n S 1 to pi n S 3 to pi n S 2 to pi n 1 S 1 to ldots nbsp und der Tatsache dass p n S 1 0 displaystyle pi n S 1 0 nbsp fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp folgt dass p n S 2 p n S 3 displaystyle pi n S 2 pi n S 3 nbsp fur n 3 displaystyle n geq 3 nbsp gilt Insbesondere ist p 3 S 2 Z displaystyle pi 3 S 2 mathbb Z nbsp n Aquivalenzen und schwache Aquivalenzen Der Satz von Whitehead BearbeitenEine stetige Abbildung f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp heisst n displaystyle n nbsp Aquivalenz wenn die induzierte Abbildung p k X p k Y displaystyle pi k X to pi k Y nbsp fur k lt n displaystyle k lt n nbsp ein Isomorphismus und fur k n displaystyle k n nbsp eine Surjektion ist Ist die Abbildung fur alle k displaystyle k nbsp ein Isomorphismus so nennt man die Abbildung eine schwache Aquivalenz 3 Ein Satz von J H C Whitehead besagt dass eine schwache Aquivalenz zwischen zusammenhangenden CW Komplexen bereits eine Homotopieaquivalenz ist Falls X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp Dimension kleiner als n displaystyle n nbsp haben so genugt bereits dass f displaystyle f nbsp eine n displaystyle n nbsp Aquivalenz ist 4 Homotopie und Homologie Der Satz von Hurewicz BearbeitenFur punktierte Raume X displaystyle X nbsp gibt es kanonische Homomorphismen von den Homotopiegruppen in die reduzierten Homologiegruppen h n p n X H n X Z displaystyle h n colon pi n X to tilde H n X mathbb Z nbsp die Hurewicz Homomorphismen nach Witold Hurewicz genannt werden Ein Satz von Hurewicz besagt Ist X displaystyle X nbsp ein n 1 displaystyle n 1 nbsp zusammenhangender Raum d h gilt p k X 0 displaystyle pi k X 0 nbsp fur k lt n displaystyle k lt n nbsp dann ist der Hurewicz Homomorphismus h n displaystyle h n nbsp im Fall n 1 displaystyle n 1 nbsp die Abelisierung und fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp ein Isomorphismus 5 Relative Homotopiegruppen BearbeitenMan kann auch relative Homotopiegruppen p n X A a displaystyle pi n X A a nbsp fur Raumpaare X A displaystyle X A nbsp definieren ihre Elemente sind Homotopieklassen von Abbildungen B n S n 1 b X A a displaystyle B n S n 1 b to X A a nbsp zwei solche Abbildungen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp heissen dabei homotop wenn es eine Homotopie F B n I S n 1 I b I X A a displaystyle F colon B n times I S n 1 times I b times I to X A a nbsp gibt Man erhalt die absoluten Homotopiegruppen im Spezialfall A a displaystyle A a nbsp Fur jedes Raumpaar gibt es eine lange exakte Sequenz p n 1 X A p n A p n X p n X A p 0 X displaystyle ldots to pi n 1 X A to pi n A to pi n X to pi n X A to ldots to pi 0 X nbsp Literatur BearbeitenJ P May A Concise Course in Algebraic Topology University of Chicago Press Chicago 1999 ISBN 0 226 51183 9 Weblinks BearbeitenPutman Homotopy groups of spheres and low dimensional topologyQuellen Bearbeiten Fridtjof Toenniessen Topologie Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie Springer Berlin Heidelberg 2017 ISBN 978 3 662 54963 6 google com abgerufen am 31 Dezember 2021 Es ist wichtig hier nur Homotopien zuzulassen die den Basispunkt festlassen Die Menge S n X displaystyle left S n X right nbsp der freien Homotopieklassen hat keine naturliche Gruppenstruktur und sie ist im Allgemeinen nicht in Bijektion zu p n X b displaystyle pi n X b nbsp Man hat eine surjektive Abbildung p n X b S n X displaystyle pi n X b to left S n X right nbsp unter der zwei Elemente genau dann derselben freien Homotopieklasse entsprechen wenn sie im selben Orbit der Wirkung von p 1 X b displaystyle pi 1 X b nbsp auf p n X b displaystyle pi n X b nbsp liegen J P May A Concise Course in Algebraic Topology University of Chicago Press Chicago 1999 ISBN 0 226 51183 9 Abschnitt 9 6 J P May A Concise Course in Algebraic Topology University of Chicago Press Chicago 1999 ISBN 0 226 51183 9 Abschnitt 10 3 J P May A Concise Course in Algebraic Topology University of Chicago Press Chicago 1999 ISBN 0 226 51183 9 Abschnitt 15 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Homotopiegruppe amp oldid 223004702