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Abelisierung Die auch Abelianisierung oder Faktorkommutatorgruppe ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebie

Abelisierung

Die Abelisierung (auch Abelianisierung oder Faktorkommutatorgruppe) ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Die Abelisierung einer Gruppe ist in gewisser Hinsicht die beste Approximation durch eine abelsche Gruppe.

Definition Bearbeiten

Die Faktorgruppe

einer Gruppe nach ihrer Kommutatoruntergruppe wird Abelisierung von genannt. Der Begriff Abelisierung wird ebenfalls für die kanonische Surjektion

verwendet.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die Abelisierung ist eine abelsche Gruppe; die Abelisierung einer abelschen Gruppe ist die Gruppe selbst.
  • Ist ein Gruppenhomomorphismus, so induziert die Verkettung einen kanonischen Homomorphismus ; die Abelisierung ist funktoriell.
  • Die Abelisierung ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der abelschen Gruppen in die Kategorie aller Gruppen, d. h. ist eine beliebige Gruppe und eine abelsche Gruppe, so induziert die kanonische Abbildung eine Bijektion
Anders gesagt: Jeder Homomorphismus in eine abelsche Gruppe faktorisiert über die Abelisierung.

Beispiele Bearbeiten

Verlagerung Bearbeiten

Ist eine Untergruppe einer endlichen Gruppe , so gibt es einen kanonischen Homomorphismus

der Verlagerung genannt wird. Sie ist dual zur Korestriktion

lässt sich aber auch explizit beschreiben: Es sei ein Schnitt der kanonischen Projektion (kein Homomorphismus, lediglich eine Abbildung). Dann ist die Verlagerung gegeben durch

Quellen Bearbeiten

  1. J. P. May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9: Abschnitte 14.4 und 15.1
  2. J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg: Cohomology of number fields. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1999, ISBN 3-540-66671-0: Abschnitt I.5, S. 52f.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Abelisierung auch Abelianisierung oder Faktorkommutatorgruppe ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie Die Abelisierung einer Gruppe ist in gewisser Hinsicht die beste Approximation durch eine abelsche Gruppe Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Verlagerung 5 QuellenDefinition BearbeitenDie Faktorgruppe G a b G K G displaystyle G mathrm ab G K G nbsp einer Gruppe G displaystyle G nbsp nach ihrer Kommutatoruntergruppe K G displaystyle K G nbsp wird Abelisierung von G displaystyle G nbsp genannt Der Begriff Abelisierung wird ebenfalls fur die kanonische Surjektion G G a b displaystyle G to G mathrm ab nbsp verwendet Eigenschaften BearbeitenDie Abelisierung ist eine abelsche Gruppe die Abelisierung einer abelschen Gruppe ist die Gruppe selbst Ist G 1 G 2 displaystyle G 1 to G 2 nbsp ein Gruppenhomomorphismus so induziert die Verkettung G 1 G 2 G 2 a b displaystyle G 1 to G 2 to G 2 mathrm ab nbsp einen kanonischen Homomorphismus G 1 a b G 2 a b displaystyle G 1 mathrm ab to G 2 mathrm ab nbsp die Abelisierung ist funktoriell Die Abelisierung ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der abelschen Gruppen in die Kategorie aller Gruppen d h ist G displaystyle G nbsp eine beliebige Gruppe und A displaystyle A nbsp eine abelsche Gruppe so induziert die kanonische Abbildung G G a b displaystyle G to G mathrm ab nbsp eine BijektionHom G a b A Hom G A displaystyle operatorname Hom G mathrm ab A cong operatorname Hom G A nbsp dd Anders gesagt Jeder Homomorphismus in eine abelsche Gruppe faktorisiert uber die Abelisierung Insbesondere haben G displaystyle G nbsp und G a b displaystyle G mathrm ab nbsp dieselben Charaktere Die Abelisierung einer Gruppe G displaystyle G nbsp ist kanonisch dual zur GruppenkohomologieH 2 G Z H 1 G Q Z Hom G Q Z displaystyle H 2 G mathbb Z cong H 1 G mathbb Q mathbb Z cong operatorname Hom G mathbb Q mathbb Z nbsp dd Beispiele BearbeitenIst eine einfache Gruppe nicht abelsch so ist ihre Abelisierung die triviale Gruppe Fur einen wohlpunktierten wegzusammenhangenden topologischen Raum X displaystyle X nbsp ist die erste Homologiegruppe H 1 X Z displaystyle H 1 X mathbb Z nbsp die Abelisierung der Fundamentalgruppe 1 Die Klassenkorpertheorie beschaftigt sich mit der Beschreibung der Abelisierung der absoluten Galoisgruppe G a l K K displaystyle mathrm Gal bar K K nbsp eines Zahlkorpers K displaystyle K nbsp Verlagerung BearbeitenIst H displaystyle H nbsp eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G displaystyle G nbsp so gibt es einen kanonischen Homomorphismus Ver G a b H a b displaystyle operatorname Ver colon G mathrm ab to H mathrm ab nbsp der Verlagerung genannt wird Sie ist dual zur Korestriktion cor H 2 H Z H 2 G Z displaystyle operatorname cor colon H 2 H mathbb Z to H 2 G mathbb Z nbsp lasst sich aber auch explizit beschreiben Es sei s H G G displaystyle s colon H backslash G to G nbsp ein Schnitt der kanonischen Projektion kein Homomorphismus lediglich eine Abbildung Dann ist die Verlagerung gegeben durch Ver g K G c H G s c g s c g 1 K H g G displaystyle operatorname Ver gK G prod c in H backslash G s c gs cg 1 K H qquad g in G nbsp 2 Quellen Bearbeiten J P May A Concise Course in Algebraic Topology University of Chicago Press Chicago 1999 ISBN 0 226 51183 9 Abschnitte 14 4 und 15 1 J Neukirch A Schmidt K Wingberg Cohomology of number fields Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1999 ISBN 3 540 66671 0 Abschnitt I 5 S 52f Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abelisierung amp oldid 169948698