Gruppenkohomologie Gruppen Kohomologie ist ein technisches Werkzeug der Mathematik das ursprünglich der Untersuchung von

Gruppenkohomologie

Gruppenkohomologie (Gruppen-Kohomologie) ist ein technisches Werkzeug der Mathematik, das ursprünglich der Untersuchung von Gruppen diente, später aber auch insbesondere in der Topologie und Zahlentheorie Anwendungen fand. Die Gruppenkohomologie von Galoisgruppen wird auch als Galoiskohomologie bezeichnet und spielt eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie. In der Topologie spielt Gruppenkohomologie als Kohomologie von Eilenberg-MacLane-Räumen eine wichtige Rolle.

Definition als abgeleiteter Funktor Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Es sei eine Gruppe. Der Funktor von der Kategorie der -Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen, der einem Modul die Untergruppe der unter invarianten Elemente zuordnet, ist linksexakt. Seine n-te Rechtsableitung ist die n-te Kohomologiegruppe von mit Koeffizienten in einem -Modul .

Beziehung zu Ext Bearbeiten

Die Gruppenkohomologie kann auch mithilfe des Funktors Ext definiert werden:

dabei ist der Gruppenring von und mit der trivialen -Operation versehen.

Definition über Koketten Bearbeiten

Aus der Beschreibung mithilfe des Funktors Ext ist ersichtlich, dass die Gruppenkohomologie mithilfe einer einmal gewählten projektiven Auflösung des trivialen -Moduls berechnet werden kann. Sie kann als explizit angegeben werden:

dabei ist

d. h. Index wird ausgelassen.

Die Gruppenkohomologie ist dann die Kohomologie des Komplexes mit

und

Die Elemente dieses Komplexes heißen homogene Koketten.

Inhomogene Koketten Bearbeiten

Die Bedingung der -Invarianz der Koketten erlaubt es, die Zahl der Kopien von um eins zu senken: die Gruppenkohomologie kann auch über den Komplex der inhomogenen Koketten definiert werden:

und

Beispielsweise ist

Die inhomogenen 1-Kozykel

heißen verschränkte Homomorphismen.

Definition über klassifizierende Räume Bearbeiten

Die Gruppenkohomologie kann äquivalent definiert werden als die Kohomologie des Eilenberg-MacLane-Raumes , also des klassifizierenden Raumes der mit der diskreten Topologie versehenen Gruppe:

Für praktische Berechnungen ist diese Definition oft nützlicher als andere Definitionen.

Siehe auch Bearbeiten

Gruppenhomologie

Weblinks Bearbeiten

Jon F. Carlson: The mod-2 cohomology of 2-groups. Department of Mathematics, University of Georgia, 31. Mai 2001, archiviert vom Original am 3. Juli 2007; abgerufen am 4. September 2017.

Literatur Bearbeiten

David J. Benson: Representations and cohomology (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 31). 2. Auflage. II: Cohomology of groups and modules. Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 0-521-63652-3.
Kenneth S. Brown: Cohomology of groups (= Graduate Texts in Mathematics 87). Corrected 2nd printing. Springer, New York u. a. 1994, ISBN 0-387-90688-6.
George Janelidze, Bodo Pareigis, Walter Tholen (Hrsg.): Galois Theory, Hopf Algebras, and Semiabelian Categories (= Fields Institute Communications 43). American Mathematical Society, Providence RI 2004, ISBN 0-8218-3290-5.
Jürgen Neukirch: Klassenkörpertheorie. B.I.-Hochschulskripten, 713/713a*. Bibliographisches Institut, Mannheim/Vienna/Zürich 1969, ISBN 978-3-642-17324-0, x+308 S.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 06:35 am

Gruppenkohomologie Gruppen Kohomologie ist ein technisches Werkzeug der Mathematik das ursprunglich der Untersuchung von Gruppen diente spater aber auch insbesondere in der Topologie und Zahlentheorie Anwendungen fand Die Gruppenkohomologie von Galoisgruppen wird auch als Galoiskohomologie bezeichnet und spielt eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie In der Topologie spielt Gruppenkohomologie als Kohomologie von Eilenberg MacLane Raumen eine wichtige Rolle Inhaltsverzeichnis 1 Definition als abgeleiteter Funktor 1 1 Definition 1 2 Beziehung zu Ext 2 Definition uber Koketten 2 1 Inhomogene Koketten 3 Definition uber klassifizierende Raume 4 Siehe auch 5 Weblinks 6 LiteraturDefinition als abgeleiteter Funktor BearbeitenDefinition Bearbeiten Es sei G displaystyle G nbsp eine Gruppe Der Funktor von der Kategorie der G displaystyle G nbsp Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen der einem Modul A displaystyle A nbsp die Untergruppe A G displaystyle A G nbsp der unter G displaystyle G nbsp invarianten Elemente zuordnet ist linksexakt Seine n te Rechtsableitung ist die n te Kohomologiegruppe H n G A displaystyle H n G A nbsp von G displaystyle G nbsp mit Koeffizienten in einem G displaystyle G nbsp Modul A displaystyle A nbsp Beziehung zu Ext Bearbeiten Die Gruppenkohomologie kann auch mithilfe des Funktors Ext definiert werden H n G A E x t Z G n Z A displaystyle mathrm H n G A mathrm Ext mathbb Z G n mathbb Z A nbsp dabei ist Z G displaystyle mathbb Z G nbsp der Gruppenring von G displaystyle G nbsp und Z displaystyle mathbb Z nbsp mit der trivialen G displaystyle G nbsp Operation versehen Definition uber Koketten BearbeitenAus der Beschreibung mithilfe des Funktors Ext ist ersichtlich dass die Gruppenkohomologie mithilfe einer einmal gewahlten projektiven Auflosung des trivialen G displaystyle G nbsp Moduls berechnet werden kann Sie kann als Z G n d n displaystyle mathbb Z G n d n nbsp explizit angegeben werden d n s 1 s n i 1 n 1 1 i s 1 s i s n displaystyle d n 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Koketten C n d n displaystyle tilde C n tilde d n nbsp definiert werden C n f G n A displaystyle tilde C n f colon G n to A nbsp und d n 1 f s 1 s n s 1 f s 2 s n displaystyle tilde d n 1 f sigma 1 ldots sigma n sigma 1 cdot f sigma 2 ldots sigma n nbsp i 1 n 1 1 i f s 1 s i s i 1 s n 1 n f s 1 s n 1 displaystyle sum i 1 n 1 1 i f sigma 1 ldots sigma i sigma i 1 ldots sigma n 1 n f sigma 1 ldots sigma n 1 nbsp dd dd dd Beispielsweise ist H 1 G A c G A c s t c s s c t c a t t a a a A displaystyle mathrm H 1 G A c colon G to A mid c sigma tau c sigma sigma c tau c a tau tau a a mid a in A nbsp Die inhomogenen 1 Kozykel c G A c s t c s s c t displaystyle c colon G to A quad c sigma tau c sigma sigma c tau nbsp heissen verschrankte Homomorphismen Definition uber klassifizierende Raume BearbeitenDie Gruppenkohomologie kann aquivalent definiert werden als die Kohomologie des Eilenberg MacLane Raumes K G 1 displaystyle K G 1 nbsp also des klassifizierenden Raumes der mit der diskreten Topologie versehenen Gruppe H G A H K G 1 A displaystyle H G A H K G 1 A nbsp Fur praktische Berechnungen ist diese Definition oft nutzlicher als andere Definitionen Siehe auch BearbeitenGruppenhomologieWeblinks BearbeitenJon F Carlson The mod 2 cohomology of 2 groups Department of Mathematics University of Georgia 31 Mai 2001 archiviert vom Original am 3 Juli 2007 abgerufen am 4 September 2017 Literatur BearbeitenDavid J Benson Representations and cohomology Cambridge studies in advanced mathematics Band 31 2 Auflage II Cohomology of groups and modules Cambridge University Press Cambridge 1998 ISBN 0 521 63652 3 Kenneth S Brown Cohomology of groups Graduate Texts in Mathematics 87 Corrected 2nd printing Springer New York u a 1994 ISBN 0 387 90688 6 George Janelidze Bodo Pareigis Walter Tholen Hrsg Galois Theory Hopf Algebras and Semiabelian Categories Fields Institute Communications 43 American Mathematical Society Providence RI 2004 ISBN 0 8218 3290 5 Jurgen Neukirch Klassenkorpertheorie B I Hochschulskripten 713 713a Bibliographisches Institut Mannheim Vienna Zurich 1969 ISBN 978 3 642 17324 0 x 308 S Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gruppenkohomologie amp oldid 223826760