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Gruppenhomologie ist ein technisches Werkzeug der Mathematik das in Gruppentheorie und algebraischer Topologie eine wich

Gruppenhomologie

Gruppenhomologie ist ein technisches Werkzeug der Mathematik, das in Gruppentheorie und algebraischer Topologie eine wichtige Rolle spielt.

Definitionen Bearbeiten

Abstrakte Definition Bearbeiten

Es sei eine Gruppe. Der Funktor von der Kategorie der -Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen, der einem Modul die Gruppe der Koinvarianten

zuordnet, ist rechtsexakt. Seine n-te Linksableitung ist die n-te Homologiegruppe von mit Koeffizienten im -Modul .

Die Gruppenhomologie kann auch mithilfe des Funktors Tor definiert werden:

dabei ist der Gruppenring von und mit der trivialen -Operation versehen.

Aus der Beschreibung mithilfe des Funktors ist ersichtlich, dass die Gruppenhomologie mithilfe einer beliebigen projektiven Auflösung des trivialen -Moduls berechnet werden kann. Das heißt, man wählt eine lange exakte Sequenz von -Moduln

in der sämtliche projektive Moduln sind und definiert dann als die Homologie des durch Tensorieren mit dem trivialen -Modul erhaltenen Kettenkomplexes

Aus dem Fundamentallemma der homologischen Algebra folgt, dass nur vom -Modul und nicht von der gewählten projektiven Auflösung abhängt.

Explizite Definition Bearbeiten

Als projektive Auflösung des -Moduls kann man mit dem Differential

wählen und dann also als Homologie des durch Tensorieren mit dem trivialen -Modul erhaltenen Kettenkomplexes definieren. Die Elemente dieses Komplexes heißen homogene Ketten.

Eine äquivalente Definition liefert die sogenannte Bar-Auflösung. Hier betrachtet man mit dem Differential

und definiert dann als Homologie des durch Tensorieren mit dem trivialen -Modul erhaltenen Kettenkomplexes. Die Elemente dieses Komplexes heißen inhomogene Ketten.

Topologische Definition Bearbeiten

Äquivalent kann auch definiert werden als die singuläre Homologie mit Koeffizienten in des Eilenberg-MacLane-Raumes :

Diese Definition ist für praktische Berechnungen die einzig handhabbare.

Homologie in niedrigen Graden Bearbeiten

Für die 0-te Homologie gilt , insbesondere ist für den trivialen -Modul .

Für die 1-te Homologie ist

die Abelisierung von .

Die 2-te Homologie mit trivialen Koeffizienten kann mit der Hopf-Formel berechnet werden: wenn eine endlich präsentierte Gruppe mit einer endlich erzeugten freien Gruppe ist, dann ist

Beispiele Bearbeiten

Geschichte Bearbeiten

Die Geschichte der Gruppenhomologie beginnt mit einer 1936 veröffentlichten Arbeit von Witold Hurewicz Beiträge zur Topologie der Deformationen. IV. Asphärische Räume, in der bewiesen wird, dass der Homotopietyp eines asphärischen Raumes nur von seiner Fundamentalgruppe abhängt und man deshalb Gruppenhomologie als Homologie eines asphärischen Raumes mit Fundamentalgruppe definieren kann. In seiner 1942 veröffentlichten Arbeit Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe zeigte Heinz Hopf, dass der Kokern der Hurewicz-Abbildung in Grad ist und dass aus den Erzeugern und Relationen einer Präsentierung berechnet werden kann. Nach Hopfs Veröffentlichung entwickelte sich das Gebiet in den 40er Jahren durch Arbeiten von Eckmann, Eilenberg-MacLane, Hopf und Freudenthal rasch weiter, Eilenberg und MacLane fanden in ihrer 1945 veröffentlichten Arbeit Relations between homology and homotopy groups of spaces die Definition durch die Bar-Auflösung und bald danach wurde auch die allgemeine Definition mittels projektiver Auflösungen gegeben.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Kenneth S. Brown: Cohomology of groups (= Graduate Texts in Mathematics 87). Corrected 2nd printing. Springer, New York u. a. 1994, ISBN 0-387-90688-6
  • D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Kap. 11.2: Homology Groups and Cohomology Groups (ohne Vorkenntnisse aus der homologischen Algebra)
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Veröffentlichungsdatum:
Gruppenhomologie ist ein technisches Werkzeug der Mathematik das in Gruppentheorie und algebraischer Topologie eine wichtige Rolle spielt Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Abstrakte Definition 1 2 Explizite Definition 1 3 Topologische Definition 2 Homologie in niedrigen Graden 3 Beispiele 4 Geschichte 5 Siehe auch 6 LiteraturDefinitionen BearbeitenAbstrakte Definition Bearbeiten Es sei G displaystyle G nbsp eine Gruppe Der Funktor von der Kategorie der G displaystyle G nbsp Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen der einem Modul A displaystyle A nbsp die Gruppe A G displaystyle A G nbsp der Koinvarianten A G A Z G Z displaystyle A G A otimes mathbb Z G mathbb Z nbsp zuordnet ist rechtsexakt Seine n te Linksableitung ist die n te Homologiegruppe H n G A displaystyle H n G A nbsp von G displaystyle G nbsp mit Koeffizienten im G displaystyle G nbsp Modul A displaystyle A nbsp Die Gruppenhomologie kann auch mithilfe des Funktors Tor definiert werden H n G A T o r n Z G Z A displaystyle mathrm H n G A mathrm Tor n mathbb Z G mathbb Z A nbsp dabei ist Z G displaystyle mathbb Z G nbsp der Gruppenring von G displaystyle G nbsp und Z displaystyle mathbb Z nbsp mit der trivialen G displaystyle G nbsp Operation versehen Aus der Beschreibung mithilfe des Funktors T o r displaystyle Tor nbsp ist ersichtlich dass die Gruppenhomologie mithilfe einer beliebigen projektiven Auflosung des trivialen G displaystyle G nbsp Moduls berechnet werden kann Das heisst man wahlt eine lange exakte Sequenz von Z G displaystyle mathbb Z G nbsp Moduln 0 A I 0 I 1 I 2 displaystyle 0 leftarrow A leftarrow I 0 leftarrow I 1 leftarrow I 2 leftarrow cdots nbsp in der samtliche I i displaystyle I i nbsp projektive Moduln sind und definiert dann H G A displaystyle H G A nbsp als die Homologie des durch Tensorieren mit dem trivialen Z G displaystyle mathbb Z G nbsp Modul Z displaystyle mathbb Z nbsp erhaltenen Kettenkomplexes 0 A Z G Z I 0 Z G Z I 1 Z G Z I 2 Z G Z displaystyle 0 leftarrow A otimes mathbb Z G mathbb Z leftarrow I 0 otimes mathbb Z G mathbb Z leftarrow I 1 otimes mathbb Z G mathbb Z leftarrow I 2 otimes mathbb Z G mathbb Z leftarrow cdots nbsp Aus dem Fundamentallemma der homologischen Algebra folgt dass H G A displaystyle H G A nbsp nur vom Z G displaystyle mathbb Z G nbsp Modul A displaystyle A nbsp und nicht von der gewahlten projektiven Auflosung abhangt Explizite Definition Bearbeiten Als projektive Auflosung des Z G displaystyle mathbb Z G nbsp Moduls A displaystyle A nbsp kann man Z G n 1 d n displaystyle mathbb Z G n 1 d n nbsp mit dem Differential d n s 0 s n i 0 n 1 1 i s 0 s i s n displaystyle d n sigma 0 ldots sigma n sum i 0 n 1 1 i sigma 0 ldots hat sigma i ldots sigma n nbsp wobei s 0 s i s n s 0 s i 1 s i 1 s n displaystyle sigma 0 ldots hat sigma i ldots sigma n sigma 0 ldots sigma i 1 sigma i 1 ldots sigma n nbsp wahlen und dann also H G A displaystyle H G A nbsp als Homologie des durch Tensorieren mit dem trivialen Z G displaystyle mathbb Z G nbsp Modul Z displaystyle mathbb Z nbsp erhaltenen Kettenkomplexes definieren Die Elemente dieses Komplexes heissen homogene Ketten Eine aquivalente Definition liefert die sogenannte Bar Auflosung Hier betrachtet man Z G n displaystyle mathbb Z G n nbsp mit dem Differential n g 1 g n g 1 g 2 g n i 1 n 1 1 i g 1 g i g i 1 g n g 1 g n 1 displaystyle partial n g 1 ldots g n g 1 cdot g 2 ldots g n sum i 1 n 1 1 i g 1 ldots g i g i 1 ldots g n g 1 ldots g n 1 nbsp und definiert dann H G A displaystyle H G A nbsp als Homologie des durch Tensorieren mit dem trivialen Z G displaystyle mathbb Z G nbsp Modul Z displaystyle mathbb Z nbsp erhaltenen Kettenkomplexes Die Elemente dieses Komplexes heissen inhomogene Ketten Topologische Definition Bearbeiten Aquivalent kann H G A displaystyle H G A nbsp auch definiert werden als die singulare Homologie mit Koeffizienten in A displaystyle A nbsp des Eilenberg MacLane Raumes K G 1 displaystyle K G 1 nbsp H G A H K G 1 A displaystyle H G A H K G 1 A nbsp Diese Definition ist fur praktische Berechnungen die einzig handhabbare Homologie in niedrigen Graden BearbeitenFur die 0 te Homologie gilt H 0 G A A G displaystyle H 0 G A A G nbsp insbesondere ist H 0 G Z Z displaystyle H 0 G mathbb Z mathbb Z nbsp fur den trivialen Z G displaystyle mathbb Z G nbsp Modul Z displaystyle mathbb Z nbsp Fur die 1 te Homologie ist H 1 G Z G G G displaystyle H 1 G mathbb Z G G G nbsp die Abelisierung von G displaystyle G nbsp Die 2 te Homologie mit trivialen Koeffizienten kann mit der Hopf Formel berechnet werden wenn G F R displaystyle G F R nbsp eine endlich prasentierte Gruppe mit einer endlich erzeugten freien Gruppe F displaystyle F nbsp ist dann ist H 2 G Z R F F F R displaystyle H 2 G mathbb Z R cap F F F R nbsp Beispiele BearbeitenH i Z Z Z i 0 1 0 sonst displaystyle H i mathbb Z mathbb Z left begin array cc mathbb Z amp i 0 1 0 amp mbox sonst end array right nbsp H i Z n Z Z Z i 0 Z n Z i ungerade 0 i 0 gerade displaystyle H i mathbb Z n mathbb Z mathbb Z left begin array cc mathbb Z amp i 0 mathbb Z n mathbb Z amp i mbox ungerade 0 amp i not 0 mbox gerade end array right nbsp H i S L 2 Z Z Z i 0 Z 12 Z i ungerade 0 i 0 gerade displaystyle H i SL 2 mathbb Z mathbb Z left begin array cc mathbb Z amp i 0 mathbb Z 12 mathbb Z amp i mbox ungerade 0 amp i not 0 mbox gerade end array right nbsp Geschichte BearbeitenDie Geschichte der Gruppenhomologie beginnt mit einer 1936 veroffentlichten Arbeit von Witold Hurewicz Beitrage zur Topologie der Deformationen IV Aspharische Raume in der bewiesen wird dass der Homotopietyp eines aspharischen Raumes nur von seiner Fundamentalgruppe abhangt und man deshalb Gruppenhomologie H p displaystyle H pi nbsp als Homologie eines aspharischen Raumes mit Fundamentalgruppe p displaystyle pi nbsp definieren kann In seiner 1942 veroffentlichten Arbeit Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe zeigte Heinz Hopf dass H 2 p displaystyle H 2 pi nbsp der Kokern der Hurewicz Abbildung in Grad 2 displaystyle 2 nbsp ist und dass H 2 p displaystyle H 2 pi nbsp aus den Erzeugern und Relationen einer Prasentierung berechnet werden kann Nach Hopfs Veroffentlichung entwickelte sich das Gebiet in den 40er Jahren durch Arbeiten von Eckmann Eilenberg MacLane Hopf und Freudenthal rasch weiter Eilenberg und MacLane fanden in ihrer 1945 veroffentlichten Arbeit Relations between homology and homotopy groups of spaces die Definition durch die Bar Auflosung und bald danach wurde auch die allgemeine Definition mittels projektiver Auflosungen gegeben Siehe auch BearbeitenGruppenkohomologieLiteratur BearbeitenKenneth S Brown Cohomology of groups Graduate Texts in Mathematics 87 Corrected 2nd printing Springer New York u a 1994 ISBN 0 387 90688 6 D J S Robinson A Course in the Theory of Groups Springer Verlag 1996 ISBN 0 387 94461 3 Kap 11 2 Homology Groups and Cohomology Groups ohne Vorkenntnisse aus der homologischen Algebra Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gruppenhomologie amp oldid 176480006