In der Mathematik ist Homologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe eine Verallgemeinerung der klassischen Homologietheorien Definition BearbeitenSei 0 K 0 K 1 K 2 K 3 displaystyle 0 leftarrow K 0 leftarrow K 1 leftarrow K 2 leftarrow K 3 leftarrow ldots nbsp ein Kettenkomplex und G displaystyle G nbsp eine abelsche Gruppe Als Homologie mit Koeffizienten in G displaystyle G nbsp bezeichnet man die Homologie des Kettenkomplexes 0 K 0 Z G K 1 Z G K 2 Z G K 3 Z G displaystyle 0 leftarrow K 0 otimes mathbb Z G leftarrow K 1 otimes mathbb Z G leftarrow K 2 otimes mathbb Z G leftarrow K 3 otimes mathbb Z G ldots nbsp Fur G Z displaystyle G mathbb Z nbsp erhalt man die Homologie des Kettenkomplexes Fur einen topologischen Raum X displaystyle X nbsp bezeichnet man mit H X G displaystyle H X G nbsp die Homologie des singularen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in G displaystyle G nbsp Fur G Z displaystyle G mathbb Z nbsp erhalt man die singulare Homologie Fur einen Simplizialkomplex S displaystyle S nbsp bezeichnet man mit H S G displaystyle H S G nbsp die Homologie des simplizialen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in G displaystyle G nbsp Fur G Z displaystyle G mathbb Z nbsp erhalt man die simpliziale Homologie Beispiel BearbeitenSei X R P n displaystyle X mathbb R P n nbsp der projektive Raum und G F displaystyle G F nbsp ein Korper Wenn die Charakteristik von F displaystyle F nbsp gleich 2 displaystyle 2 nbsp ist dann ist H k R P n F F displaystyle H k mathbb R P n F F nbsp fur alle k displaystyle k nbsp mit 0 k n displaystyle 0 leq k leq n nbsp Wenn c h a r F 2 displaystyle char F not 2 nbsp dann ist H 0 R P n F F displaystyle H 0 mathbb R P n F F nbsp und fur ungerade n displaystyle n nbsp auch H n R P n F F displaystyle H n mathbb R P n F F nbsp aber H k R P n F 0 displaystyle H k mathbb R P n F 0 nbsp fur alle anderen Werte von k displaystyle k nbsp Berechnung BearbeitenDie Homologie mit Koeffizienten kann aus der klassischen Homologie mit Hilfe des universellen Koeffizientensatzes 0 H n X G H n X G Tor 1 Z H n 1 X G 0 displaystyle 0 to H n X otimes G to H n X G to operatorname Tor 1 mathbb Z H n 1 X G to 0 nbsp berechnet werden Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Homologie mit Koeffizienten amp oldid 224684507
