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Projektive Auflösung Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine projektive Au

Projektive Auflösung

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine projektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus projektiven Objekten, die in einem gegebenen Objekt endet.

Definition Bearbeiten

Es seien eine abelsche Kategorie (oder auch die Kategorie Grp der Gruppen) und ein Objekt aus . Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form

projektive Auflösung von , wenn sämtliche projektiv sind.

Sind alle sogar frei, so spricht man von einer freien Auflösung.

Existenz Bearbeiten

Ist in der abelschen Kategorie jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt einen Epimorphismus , in dem projektiv ist, so sagt man auch, besitze genügend viele projektive Objekte.

Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt eine projektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Epimorphismus , dann weiter ein Epimorphismus auf den Kern dieses Morphismus und dann per Induktion jeweils weiter .

Die wichtigste Kategorie mit genügend vielen projektiven Objekten ist die Kategorie der (Links-)Moduln über einem Ring . Ist ein solcher Modul und ist ein Erzeugendensystem, so hat man einen surjektiven Homomorphismus , indem man das -te Basiselement des freien Moduls auf abbildet. Da freie Moduln projektiv sind, ist Quotient eines projektiven Moduls und damit hat genügend viele projektive Objekte.

Eigenschaften Bearbeiten

Ist

eine projektive Auflösung und

exakt, so lässt sich jeder -Homomorphismus (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm

ergänzen.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel VII, Projektive Auflösungen
  2. P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Definition 2.5
  3. P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Satz 2.7
  4. P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Lemma 2.8 + anschließende Bemerkung
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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine projektive Auflosung eine lange exakte Sequenz aus projektiven Objekten die in einem gegebenen Objekt endet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Existenz 3 Eigenschaften 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs seien C displaystyle C nbsp eine abelsche Kategorie oder auch die Kategorie Grp der Gruppen und A displaystyle A nbsp ein Objekt aus C displaystyle C nbsp Dann heisst eine lange exakte Sequenz der Form P 2 P 1 P 0 A 0 displaystyle cdots rightarrow P 2 rightarrow P 1 rightarrow P 0 rightarrow A rightarrow 0 nbsp projektive Auflosung von A displaystyle A nbsp wenn samtliche P i displaystyle P i nbsp projektiv sind 1 2 Sind alle P j displaystyle P j nbsp sogar frei so spricht man von einer freien Auflosung Existenz BearbeitenIst in der abelschen Kategorie C displaystyle C nbsp jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes d h gibt es zu jedem Objekt X Ob C displaystyle X in operatorname Ob C nbsp einen Epimorphismus P X displaystyle P rightarrow X nbsp in dem P displaystyle P nbsp projektiv ist so sagt man auch C displaystyle C nbsp besitze genugend viele projektive Objekte Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt A displaystyle A nbsp eine projektive Auflosung Zunachst existiert namlich nach Voraussetzung ein Epimorphismus p 0 P 0 A displaystyle p 0 colon P 0 rightarrow A nbsp dann weiter ein Epimorphismus p 1 P 1 ker p 0 displaystyle p 1 colon P 1 rightarrow operatorname ker p 0 nbsp auf den Kern dieses Morphismus und dann per Induktion jeweils weiter p n 1 P n 1 ker p n displaystyle p n 1 colon P n 1 rightarrow operatorname ker p n nbsp Die wichtigste Kategorie mit genugend vielen projektiven Objekten ist die Kategorie M o d R displaystyle mathrm Mod R nbsp der Links Moduln uber einem Ring R displaystyle R nbsp Ist A displaystyle A nbsp ein solcher Modul und ist a i i I displaystyle a i i in I nbsp ein Erzeugendensystem so hat man einen surjektiven Homomorphismus R I A displaystyle R I rightarrow A nbsp indem man das i displaystyle i nbsp te Basiselement des freien Moduls R I displaystyle R I nbsp auf a i displaystyle a i nbsp abbildet Da freie Moduln projektiv sind ist A displaystyle A nbsp Quotient eines projektiven Moduls und damit hat M o d R displaystyle mathrm Mod R nbsp genugend viele projektive Objekte 3 Eigenschaften BearbeitenIst P 2 P 1 P 0 A 0 displaystyle cdots rightarrow P 2 rightarrow P 1 rightarrow P 0 rightarrow A rightarrow 0 nbsp eine projektive Auflosung und A 2 A 1 A 0 A 0 displaystyle cdots rightarrow A 2 rightarrow A 1 rightarrow A 0 rightarrow A rightarrow 0 nbsp exakt so lasst sich jeder C displaystyle C nbsp Homomorphismus f A A displaystyle f colon A rightarrow A nbsp nicht notwendigerweise eindeutig zu einem kommutativen Diagramm P 2 P 1 P 0 A 0 A 2 A 1 A 0 A 0 displaystyle begin matrix cdots rightarrow amp P 2 amp rightarrow amp P 1 amp rightarrow amp P 0 amp rightarrow amp A amp rightarrow 0 cdots amp downarrow amp amp downarrow amp amp downarrow amp amp downarrow cdots rightarrow amp A 2 amp rightarrow amp A 1 amp rightarrow amp A 0 amp rightarrow amp A amp rightarrow 0 end matrix nbsp erganzen 4 Siehe auch BearbeitenDer duale Begriff ist der der injektiven Auflosung Eine Anwendung finden projektive Auflosungen in der Berechnung abgeleiteter Funktoren Fundamentallemma der homologischen Algebra Lemma von SchanuelEinzelnachweise Bearbeiten Ernst Kunz Einfuhrung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie Vieweg 1980 ISBN 3 528 07246 6 Kapitel VII Projektive Auflosungen P J Hilton Lectures in Homological Algebra American Mathematical Society 1971 ISBN 0821816578 Definition 2 5 P J Hilton Lectures in Homological Algebra American Mathematical Society 1971 ISBN 0821816578 Satz 2 7 P J Hilton Lectures in Homological Algebra American Mathematical Society 1971 ISBN 0821816578 Lemma 2 8 anschliessende Bemerkung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Projektive Auflosung amp oldid 200555767