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CAT 0 Raum CAT 0 Räume sind ein Begriff aus der Geometrie mit dem Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Kr

CAT(0)-Raum

CAT(0)-Räume sind ein Begriff aus der Geometrie, mit dem Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Krümmung auf allgemeine metrische Räume verallgemeinert werden. Ihre definierende Eigenschaft ist, dass Dreiecke dünner sein sollen als Vergleichsdreiecke in der euklidischen Ebene.

Definition Bearbeiten

Vergleichsdreiecke Bearbeiten

Sei ein geodätischer metrischer Raum. Ein geodätisches Dreieck in ist ein Dreieck mit Ecken , dessen drei Seiten Geodäten sind. Zu jedem geodätischen Dreieck gibt es ein (bis auf Kongruenz eindeutiges) Vergleichsdreieck im mit

Man hat dann eine Vergleichsabbildung

die (zum Beispiel) jedem Punkt auf der Seite den entsprechenden Punkt auf der Seite (d. h. den eindeutigen Punkt mit ) zuordnet, analog für die beiden anderen Seiten.

CAT(0)-Räume Bearbeiten

Ein geodätischer metrischer Raum ist ein CAT(0)-Raum, wenn zu jedem geodätischen Dreieck in mit Vergleichsabbildung die Ungleichung

Anschaulich: Jedes geodätische Dreieck ist mindestens so dünn wie sein Vergleichsdreieck.

Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

  • In einem CAT(0)-Raum lassen sich je zwei Punkte durch eine eindeutige Geodäte verbinden. Die Geodäte hängt stetig von ihren Endpunkten ab.
  • In CAT(0)-Räumen gilt die Ptolemäische Ungleichung

Geodätischer Rand Bearbeiten

Geodätische Strahlen in einem CAT(0)-Raum heißen asymptotisch, wenn sie endlichen Abstand haben. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der geodätischen Strahlen. Der Geodätische Rand des CAT(0)-Raumes ist die Menge der Äquivalenzklassen von auf Bogenlänge parametrisierten geodätischen Strahlen.

Jeder Punkt in lässt sich mit jedem Punkt in durch eine eindeutige Geodäte verbinden. Unterschiedliche Punkte in müssen sich aber nicht immer durch eine Geodäte verbinden lassen.

Kegel-Topologie Bearbeiten

Die Topologie auf lässt sich zu einer Topologie auf erweitern, so dass gilt: Eine Folge konvergiert gegen genau dann, wenn (für beliebiges ) die Folge der und verbindenden Geodäten lokal gleichmäßig gegen die und verbindende Geodäte konvergiert.

Diese Topologie wird als Kegel-Topologie bezeichnet.

Beispiel: Wenn eine einfach zusammenhängende, vollständige n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung ist, dann ist mit der Kegel-Topologie homöomorph zur (n-1)-dimensionalen Sphäre.

Tits-Metrik Bearbeiten

Die Tits-Metrik (nach Jacques Tits) ist für definiert durch

wobei zu asymptotische Geodäten sind.

Hierbei ist (allgemein für ) der Winkel definiert als der Winkel bei des Vergleichsdreiecks im .

Die Tits-Metrik induziert im Allgemeinen nicht die Kegel-Topologie auf .

Beispiele: Falls eine einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist, dann ist für alle , die Tits-Metrik induziert also die diskrete Topologie. Falls der euklidische Raum ist, dann ist homöomorph zur Sphäre.

Horosphären Bearbeiten

Zu einem Punkt und einer Geodäte mit definiert man die Busemann-Funktion durch

Falls vollständig ist und und zwei zu asymptotische Geodäten sind, dann ist konstant. Insbesondere hängt die Zerlegung von in die Niveaumengen von nur von und nicht von der Wahl der zu asymptotischen Geodäte ab. Die Niveaumengen von werden als Horosphären von bezeichnet.

Isometrien Bearbeiten

Jede Isometrie eines vollständigen CAT(0)-Raumes fällt in eine der folgenden 3 Klassen:

  • elliptisch: hat einen Fixpunkt in ,
  • hyperbolisch: hat keinen Fixpunkt in , lässt aber eine Geodäte invariant,
  • parabolisch: lässt einen Punkt und seine Horosphären invariant.

CAT(0)-Gruppen Bearbeiten

Eine CAT(0)-Gruppe ist eine Gruppe, die eigentlich diskontinuierlich und kokompakt durch Isometrien auf einem endlich-dimensionalen CAT(0)-Raum wirkt.

Lokale CAT(0)-Räume Bearbeiten

Ein vollständiger, zusammenhängender, metrischer Raum heißt lokal CAT(0), wenn jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die (mit der eingeschränkten Metrik) ein CAT(0)-Raum ist.

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Cartan-Hadamard besagt: wenn ein lokaler CAT(0)-Raum ist, dann gibt es auf der universellen Überlagerung eine eindeutige Metrik so dass

  • die Überlagerung eine lokale Isometrie ist, und
  • ein CAT(0)-Raum ist.

Quellen Bearbeiten

  1. Adiprasito-Funar: Hyperbolicity of contractible manifolds
  2. (Memento vom 24. Dezember 2013 im Internet Archive) (PDF-Datei; 3,83 MB), Definition II.8.5
  3. Fujiwara: CAT(0) spaces for Riemannian geometers (PDF-Datei; 116 kB)
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Veröffentlichungsdatum:
CAT 0 Raume sind ein Begriff aus der Geometrie mit dem Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Krummung auf allgemeine metrische Raume verallgemeinert werden Ihre definierende Eigenschaft ist dass Dreiecke dunner sein sollen als Vergleichsdreiecke in der euklidischen Ebene Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Vergleichsdreiecke 1 2 CAT 0 Raume 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Geodatischer Rand 4 1 Kegel Topologie 4 2 Tits Metrik 4 3 Horospharen 5 Isometrien 6 CAT 0 Gruppen 7 Lokale CAT 0 Raume 8 QuellenDefinition BearbeitenVergleichsdreiecke Bearbeiten nbsp d x y x y displaystyle d x y leq parallel x prime y prime parallel nbsp Sei X d displaystyle X d nbsp ein geodatischer metrischer Raum Ein geodatisches Dreieck D a b c displaystyle Delta a b c nbsp in X displaystyle X nbsp ist ein Dreieck mit Ecken a b c X displaystyle a b c in X nbsp dessen drei Seiten Geodaten sind Zu jedem geodatischen Dreieck D a b c displaystyle Delta a b c nbsp gibt es ein bis auf Kongruenz eindeutiges Vergleichsdreieck D a b c displaystyle Delta a prime b prime c prime nbsp im R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp mit d a b a b d a c a c d b c b c displaystyle d a b lVert a prime b prime rVert d a c lVert a prime c prime rVert d b c lVert b prime c prime rVert nbsp Man hat dann eine Vergleichsabbildung f D a b c D a b c displaystyle f partial Delta a b c rightarrow partial Delta a prime b prime c prime nbsp die zum Beispiel jedem Punkt x displaystyle x nbsp auf der Seite a b displaystyle a b nbsp den entsprechenden Punkt x displaystyle x prime nbsp auf der Seite a b displaystyle a prime b prime nbsp d h den eindeutigen Punkt mit x a d x a displaystyle lVert x prime a prime rVert d x a nbsp zuordnet analog fur die beiden anderen Seiten CAT 0 Raume Bearbeiten Ein geodatischer metrischer Raum X d displaystyle X d nbsp ist ein CAT 0 Raum wenn zu jedem geodatischen Dreieck D a b c displaystyle Delta a b c nbsp in X displaystyle X nbsp mit Vergleichsabbildung f D a b c D a b c displaystyle f partial Delta a b c rightarrow partial Delta a prime b prime c prime nbsp die Ungleichung d x y f x f y displaystyle d x y leq lVert f x f y rVert nbsp fur alle x y D a b c displaystyle x y in partial Delta a b c nbsp gilt Anschaulich Jedes geodatische Dreieck ist mindestens so dunn wie sein Vergleichsdreieck Beispiele BearbeitenEinfach zusammenhangende vollstandige Riemannsche Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrummung sind CAT 0 Raume Dazu zahlen der euklidische R n displaystyle mathbb R n nbsp der hyperbolische Raum S L n R S O n displaystyle SL n mathbb R SO n nbsp allgemeiner alle symmetrischen Raume ohne kompakten Faktor Einfach zusammenhangende vollstandige Riemannsche Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrummung werden auch als Hadamard Mannigfaltigkeiten bezeichnet Vollstandige CAT 0 Raume bezeichnet man als Hadamard Raume Endliche Produkte von CAT 0 Raumen sind CAT 0 Raume R displaystyle mathbb R nbsp Baume und euklidische oder hyperbolische Gebaude sind CAT 0 Raume Hilbertraume sind CAT 0 Raume Eine zusammenziehbare Mannigfaltigkeit der Dimension 6 displaystyle geq 6 nbsp tragt genau dann eine geodatisch vollstandige CAT 0 Metrik wenn sie kollabierbar ist 1 Satz von Gromov Ein kubischer Komplex ist genau dann ein CAT 0 Raum wenn er einfach zusammenhangend und der Link jeder Ecke ein Fahnenkomplex ist Eigenschaften BearbeitenIn einem CAT 0 Raum x displaystyle x nbsp lassen sich je zwei Punkte durch eine eindeutige Geodate verbinden Die Geodate hangt stetig von ihren Endpunkten ab In CAT 0 Raumen gilt die Ptolemaische Ungleichungd x y d u v d x u d y v d x v d y u displaystyle d x y d u v leq d x u d y v d x v d y u nbsp fur alle x y u v X displaystyle x y u v in X nbsp Fur Geodaten g 1 g 2 a b X displaystyle gamma 1 gamma 2 left a b right rightarrow X nbsp ist die Funktion d g 1 t g 2 t displaystyle d gamma 1 t gamma 2 t nbsp konvex CAT 0 Raume sind zusammenziehbar Geodatischer Rand BearbeitenGeodatische Strahlen in einem CAT 0 Raum heissen asymptotisch wenn sie endlichen Abstand haben Dies definiert eine Aquivalenzrelation auf der Menge der geodatischen Strahlen Der Geodatische Rand X displaystyle partial infty X nbsp des CAT 0 Raumes X d displaystyle X d nbsp ist die Menge der Aquivalenzklassen von auf Bogenlange parametrisierten geodatischen Strahlen Jeder Punkt in X displaystyle partial infty X nbsp lasst sich mit jedem Punkt in X displaystyle X nbsp durch eine eindeutige Geodate verbinden Unterschiedliche Punkte in X displaystyle partial infty X nbsp mussen sich aber nicht immer durch eine Geodate verbinden lassen Kegel Topologie Bearbeiten Die Topologie auf X d displaystyle X d nbsp lasst sich zu einer Topologie auf X X displaystyle X cup partial infty X nbsp erweitern 2 so dass gilt Eine Folge x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp konvergiert gegen p X displaystyle p in partial infty X nbsp genau dann wenn fur beliebiges x 0 X displaystyle x 0 in X nbsp die Folge der x 0 displaystyle x 0 nbsp und x n displaystyle x n nbsp verbindenden Geodaten lokal gleichmassig gegen die x 0 displaystyle x 0 nbsp und p displaystyle p nbsp verbindende Geodate konvergiert Diese Topologie wird als Kegel Topologie bezeichnet Beispiel Wenn X d displaystyle X d nbsp eine einfach zusammenhangende vollstandige n dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrummung ist dann ist X displaystyle partial infty X nbsp mit der Kegel Topologie homoomorph zur n 1 dimensionalen Sphare Tits Metrik Bearbeiten Die Tits Metrik nach Jacques Tits d T X X R displaystyle d T partial infty X times partial infty X rightarrow mathbb R nbsp ist fur p 1 p 2 X displaystyle p 1 p 2 in partial infty X nbsp definiert durch d T p 1 p 2 sup x X lim t x g 1 t g 2 t displaystyle d T p 1 p 2 sup x in X lim t rightarrow infty angle x gamma 1 t gamma 2 t nbsp wobei g 1 g 2 displaystyle gamma 1 gamma 2 nbsp zu p 1 p 2 displaystyle p 1 p 2 nbsp asymptotische Geodaten sind Hierbei ist allgemein fur x a b X displaystyle x a b in X nbsp der Winkel x a b displaystyle angle x a b nbsp definiert als der Winkel bei x displaystyle x prime nbsp des Vergleichsdreiecks D x a b displaystyle Delta x prime a prime b prime nbsp im R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp Die Tits Metrik induziert im Allgemeinen nicht die Kegel Topologie auf X displaystyle partial infty X nbsp Beispiele Falls X d displaystyle X d nbsp eine einfach zusammenhangende vollstandige Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrummung ist dann ist d T p 1 p 2 p displaystyle d T p 1 p 2 pi nbsp fur alle p 1 p 2 X displaystyle p 1 p 2 in partial infty X nbsp die Tits Metrik induziert also die diskrete Topologie Falls X d R n d e u k l displaystyle X d mathbb R n d eukl nbsp der euklidische Raum ist dann ist X d T displaystyle partial infty X d T nbsp homoomorph zur Sphare Horospharen Bearbeiten Zu einem Punkt p X displaystyle p in partial infty X nbsp und einer Geodate g 0 X displaystyle gamma left 0 infty right rightarrow X nbsp mit lim t g t p displaystyle lim t rightarrow infty gamma t p nbsp definiert man die Busemann Funktion b g X R displaystyle b gamma X rightarrow mathbb R nbsp durch b g x lim t d x g t t displaystyle b gamma x lim t rightarrow infty d x gamma t t nbsp Falls X displaystyle X nbsp vollstandig ist und g 1 displaystyle gamma 1 nbsp und g 2 displaystyle gamma 2 nbsp zwei zu p X displaystyle p in partial infty X nbsp asymptotische Geodaten sind dann ist b g 1 b g 2 displaystyle b gamma 1 b gamma 2 nbsp konstant Insbesondere hangt die Zerlegung von X displaystyle X nbsp in die Niveaumengen von b g displaystyle b gamma nbsp nur von p X displaystyle p in partial infty X nbsp und nicht von der Wahl der zu p displaystyle p nbsp asymptotischen Geodate g displaystyle gamma nbsp ab Die Niveaumengen von b g x displaystyle b gamma x nbsp werden als Horospharen von p displaystyle p nbsp bezeichnet Isometrien BearbeitenJede Isometrie f X X displaystyle f X rightarrow X nbsp eines vollstandigen CAT 0 Raumes X d displaystyle X d nbsp fallt in eine der folgenden 3 Klassen elliptisch f displaystyle f nbsp hat einen Fixpunkt in X displaystyle X nbsp hyperbolisch f displaystyle f nbsp hat keinen Fixpunkt in X displaystyle X nbsp lasst aber eine Geodate invariant parabolisch f displaystyle f nbsp lasst einen Punkt p X displaystyle p in partial infty X nbsp und seine Horospharen invariant 3 CAT 0 Gruppen BearbeitenEine CAT 0 Gruppe ist eine Gruppe die eigentlich diskontinuierlich und kokompakt durch Isometrien auf einem endlich dimensionalen CAT 0 Raum wirkt Lokale CAT 0 Raume BearbeitenEin vollstandiger zusammenhangender metrischer Raum heisst lokal CAT 0 wenn jeder Punkt eine Umgebung besitzt die mit der eingeschrankten Metrik ein CAT 0 Raum ist Eine Verallgemeinerung des Satzes von Cartan Hadamard besagt wenn X displaystyle X nbsp ein lokaler CAT 0 Raum ist dann gibt es auf der universellen Uberlagerung X displaystyle widetilde X nbsp eine eindeutige Metrik d displaystyle tilde d nbsp so dass die Uberlagerung X X displaystyle widetilde X to X nbsp eine lokale Isometrie ist und X d displaystyle widetilde X tilde d nbsp ein CAT 0 Raum ist Quellen Bearbeiten Adiprasito Funar Hyperbolicity of contractible manifolds Bridson Haefliger Metric spaces of nonpositive curvature Memento vom 24 Dezember 2013 im Internet Archive PDF Datei 3 83 MB Definition II 8 5 Fujiwara CAT 0 spaces for Riemannian geometers PDF Datei 116 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title CAT 0 Raum amp oldid 236182849