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Satz von Cartan Hadamard In der Mathematik ist der ein Satz der riemannschen Geometrie der die Topologie von Mannigfalti

Satz von Cartan-Hadamard

In der Mathematik ist der Satz von Cartan-Hadamard ein Satz der riemannschen Geometrie, der die Topologie von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung beschreibt. Benannt ist die Aussage nach den Mathematikern Élie Cartan und Jacques Hadamard. Hadamard hatte ihn 1898 für Flächen bewiesen, Cartan dann 1928 allgemein für Riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Aussage Bearbeiten

Sei eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung, dann ist für jedes die Exponentialabbildung

eine Überlagerung.

Korollar: Sei eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung, dann ist asphärisch, d. h. die höheren Homotopiegruppen verschwinden:

Verallgemeinerung (Metrische Räume) Bearbeiten

Sei ein Hadamard-Raum. Dann gibt es für alle eine eindeutige Geodäte

mit , und hängt stetig von und ab.

Lokale CAT(0)-Räume Bearbeiten

Ein vollständiger, zusammenhängender, metrischer Raum heißt lokal CAT(0), wenn jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die (mit der eingeschränkten Metrik) ein CAT(0)-Raum ist.

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Cartan-Hadamard besagt: wenn ein lokaler CAT(0)-Raum ist, dann gibt es auf der universellen Überlagerung eine eindeutige Metrik so dass

  • die Überlagerung eine lokale Isometrie ist, und
  • ein CAT(0)-Raum ist.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ballmann, op. cit., Theorem I.4.5
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In der Mathematik ist der Satz von Cartan Hadamard ein Satz der riemannschen Geometrie der die Topologie von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrummung beschreibt Benannt ist die Aussage nach den Mathematikern Elie Cartan und Jacques Hadamard Hadamard hatte ihn 1898 fur Flachen bewiesen Cartan dann 1928 allgemein fur Riemannsche Mannigfaltigkeiten Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Verallgemeinerung Metrische Raume 3 Lokale CAT 0 Raume 4 Literatur 5 EinzelnachweiseAussage BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine vollstandige Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrummung dann ist fur jedes x M displaystyle x in M nbsp die Exponentialabbildung exp x T x M M displaystyle exp x T x M rightarrow M nbsp eine Uberlagerung Korollar Sei M displaystyle M nbsp eine vollstandige Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrummung dann ist M displaystyle M nbsp aspharisch d h die hoheren Homotopiegruppen verschwinden p j M 0 j 2 displaystyle pi j M 0 forall j geq 2 nbsp Verallgemeinerung Metrische Raume BearbeitenSei X displaystyle X nbsp ein Hadamard Raum Dann gibt es fur alle x y X displaystyle x y in X nbsp eine eindeutige Geodate s x y 0 1 X displaystyle sigma xy left 0 1 right rightarrow X nbsp mit s x y 0 x s x y 1 y displaystyle sigma xy 0 x sigma xy 1 y nbsp und s x y displaystyle sigma xy nbsp hangt stetig von x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp ab Lokale CAT 0 Raume BearbeitenEin vollstandiger zusammenhangender metrischer Raum heisst lokal CAT 0 wenn jeder Punkt eine Umgebung besitzt die mit der eingeschrankten Metrik ein CAT 0 Raum ist Eine Verallgemeinerung des Satzes von Cartan Hadamard 1 besagt wenn X displaystyle X nbsp ein lokaler CAT 0 Raum ist dann gibt es auf der universellen Uberlagerung X displaystyle widetilde X nbsp eine eindeutige Metrik d displaystyle tilde d nbsp so dass die Uberlagerung X X displaystyle widetilde X to X nbsp eine lokale Isometrie ist und X d displaystyle widetilde X tilde d nbsp ein CAT 0 Raum ist Literatur BearbeitenWerner Ballmann Lectures on spaces of nonpositive curvature PDF 818 kB With an appendix by Misha Brin DMV Seminar 25 Birkhauser Verlag Basel 1995 ISBN 3 7643 5242 6 Manfredo Perdigao do Carmo Riemannian geometry Mathematics theory and applications Boston Birkhauser 1992 ISBN 0 8176 3490 8Einzelnachweise Bearbeiten Ballmann op cit Theorem I 4 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Cartan Hadamard amp oldid 199857192