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Hyperbolischer Raum In der Geometrie ist der hyperbolische Raum ein Raum mit konstanter negativer Krümmung Er erfüllt di

Hyperbolischer Raum

In der Geometrie ist der hyperbolische Raum ein Raum mit konstanter negativer Krümmung. Er erfüllt die Axiome der euklidischen Geometrie mit Ausnahme des Parallelenaxioms. Der zweidimensionale hyperbolische Raum mit konstanter Krümmung heißt hyperbolische Ebene.

Definition Bearbeiten

Sei eine natürliche Zahl. Der n-dimensionale hyperbolische Raum ist die n-dimensionale, einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant .

Die Existenz des n-dimensionalen hyperbolischen Raumes ergibt sich aus den unten angegebenen Modellen, die Eindeutigkeit aus dem Satz von Cartan.

Gelegentlich wird die Bezeichnung hyperbolischer Raum auch allgemeiner für -hyperbolische Räume im Sinne von Gromov verwendet. Dieser Artikel betrachtet jedoch im Folgenden nur den hyperbolischen Raum mit Schnittkrümmung −1. Am Ende des Artikels werden weitere (teilweise nicht kompatible) in der Mathematik vorkommende Verwendungen des Begriffes „Hyperbolischer Raum“ aufgelistet.

Eindeutigkeit Bearbeiten

Aus einem Satz von Elie Cartan folgt, dass der n-dimensionale hyperbolische Raum bis auf Isometrie eindeutig ist. Insbesondere sind die unten angegebenen Modelle des n-dimensionalen hyperbolischen Raumes alle isometrisch zueinander.

Eigenschaften Bearbeiten

Hyperbolisches Dreieck

Zu jeder Geodäte und jedem Punkt gibt es unendlich viele zu disjunkte Geodäten durch .

Die Innenwinkelsumme von Dreiecken ist stets kleiner als . Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist , wobei die Innenwinkel sind.

Trigonometrie Bearbeiten

Es gelten die Formeln der hyperbolischen Trigonometrie:

und

wobei die Innenwinkel eines Dreiecks und die Längen der gegenüberliegenden Seiten sind.

Exponentielles Wachstum Bearbeiten

Das Volumen eines Balles vom Radius ist

es wächst somit exponentiell mit dem Radius.

Isometrien Bearbeiten

Geodätische Halbgeraden in heißen asymptotisch, wenn sie endlichen Abstand haben. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der geodätischen Halbgeraden. Der Rand im Unendlichen ist die Menge der Äquivalenzklassen von auf Bogenlänge parametrisierten geodätischen Halbgeraden. Jede Isometrie lässt sich auf den Rand im Unendlichen fortsetzen.

Die Isometrien des hyperbolischen Raumes fallen in die folgenden (bis auf die Identitäts-Abbildung disjunkten) Klassen:

  • elliptisch: hat einen Fixpunkt in ,
  • loxodromisch: hat keinen Fixpunkt in , lässt aber zwei Punkte in und die sie verbindende Geodäte invariant,
  • parabolisch: lässt einen Punkt und seine Horosphären invariant.

Die Gruppe der Isometrien des ist isomorph zu .

Modelle Bearbeiten

Poincaré-Halbraum-Modell Bearbeiten

Teilung der oberen Halbebene in isometrische geodätische Siebenecke

Der Halbraum

mit der Riemannschen Metrik

ist ein Modell des hyperbolischen Raumes.

Für wird es auch als Poincaré-Halbebenen-Modell bezeichnet.

Poincaré-Ball-Modell Bearbeiten

Teilung der Kreisscheibe: Gleichfarbige Gebiete sind isometrisch zueinander im Poincaré-Ball-Modell.

Die offene Kugel

mit der Riemannschen Metrik

ist ein Modell des hyperbolischen Raumes.

Für wird es auch als Poincaré-Kreisscheiben-Modell bezeichnet.

Hyperboloid-Modell Bearbeiten

Betrachte den mit der Pseudo-Riemannschen Metrik .

Das Hyperboloid

mit der induzierten Metrik ist ein Modell des hyperbolischen Raumes.

Projektives Modell Bearbeiten

Teilung der Kreisscheibe in Drei- und Siebenecken, die im Beltrami-Klein-Modell geodätisch und jeweils isometrisch zueinander sind.

Sei die kanonische Projektion auf den projektiven Raum, dann erhält man das projektive Modell des hyperbolischen Raumes als Bild des Hyperboloids unter .

Nach der Identifikation entspricht das projektive Modell der Menge

Abstände berechnen sich gemäß der Hilbert-Metrik

wobei die Betragsstriche für euklidische Abstände stehen sollen und die Schnittpunkte der Geodäten durch mit der Einheitssphäre sind.

Historie Bearbeiten

Das Projektive Modell, das Poincaré-Ball-Modell und das Poincaré-Halbraum-Modell wurden 1868 von Eugenio Beltrami konstruiert, alle drei als Bilder eines weiteren (sogenannten „hemisphärischen“) Modells unter geeigneten Isometrien. Das Poincaré-Ball-Modell war für bereits 1850 von Liouville untersucht worden und das projektive Modell kam 1859 in einer Arbeit Cayleys zur projektiven Geometrie vor, allerdings ohne Herstellung des Zusammenhangs zur hyperbolischen Geometrie.

Zuvor hatten Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski und János Bolyai eine auf Axiomen aufbauende Theorie des hyperbolischen Raumes entwickelt und zahlreiche seiner Eigenschaften formal hergeleitet. Erst mit den von Beltrami angegebenen Modellen war aber der Beweis erbracht, dass die hyperbolische Geometrie widerspruchsfrei ist.

Henri Poincaré entdeckte, dass die hyperbolische Geometrie auf natürliche Weise bei der Untersuchung von Differentialgleichungen und in der Zahlentheorie (bei der Untersuchung von quadratischen Formen) vorkommt. Im Zusammenhang mit der Untersuchung ternärer quadratischer Formen benutzte er 1881 erstmals das Hyperboloid-Modell.

Homogener Raum Bearbeiten

Der hyperbolische Raum ist der homogene Raum

wobei die Zusammenhangskomponente der Eins in bezeichnet.

Damit ist hyperbolische Geometrie eine Geometrie im Sinne von Felix Kleins Erlanger Programm.

Für hat man auch die Darstellungen

Einbettung in den euklidischen Raum Bearbeiten

Der hyperbolische Raum besitzt eine isometrische -Einbettung in den euklidischen Raum .

Andere Verwendungen des Begriffs „hyperbolischer Raum“ Bearbeiten

  • In der metrischen Geometrie sind -hyperbolische Räume im Sinne von Gromov (auch als Gromov-hyperbolische Räume bezeichnet) eine Klasse von metrischen Räumen, zu der unter anderem einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung (insbesondere also auch der hyperbolische Raum) gehören. Endlich erzeugte Gruppen werden als hyperbolische Gruppen bezeichnet, wenn ihr Cayley-Graph ein -hyperbolischer Raum ist.
  • In der Theorie der symmetrischen Räume gibt es neben den in diesem Artikel betrachteten hyperbolischen Räumen, die in diesem Zusammenhang oft als reell-hyperbolische Räume bezeichnet werden, noch die komplex-hyperbolischen und quaternionisch-hyperbolischen Räume sowie die Cayley-hyperbolische Ebene. Diese werden für oder definiert als mit der induzierten Riemannschen Metrik.
  • In der Inzidenzgeometrie ist ein hyperbolischer Raum ein angeordneter Inzidenzraum mit einer Kongruenzrelation und der Eigenschaft, dass jede Ebene mit der induzierten Anordnung und Kongruenzrelation eine hyperbolische Ebene im Sinne von Karzel-Sörensen-Windelberg ist. Insbesondere gibt es in der endlichen Geometrie den Begriff endlicher hyperbolischer Räume.
  • In der komplexen Analysis heißt eine komplexe Mannigfaltigkeit Brody-hyperbolisch, wenn jede holomorphe Abbildung konstant ist. Dies gilt insbesondere für die durch das Poincaré-Kreisscheiben-Modell gegebene komplexe Struktur auf der hyperbolischen Ebene, siehe Satz von Liouville.
  • Ebenfalls in der komplexen Analysis heißt eine komplexe Mannigfaltigkeit Kobayashi-hyperbolisch (oder nur hyperbolisch), wenn die Kobayashi-Pseudo-Metrik eine Metrik ist. Für kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten sind Brody-Hyperbolizität und Kobayashi-Hyperbolizität äquivalent.
  • In der komplexen Differentialgeometrie heißen Kähler-Mannigfaltigkeiten Kähler-hyperbolisch, wenn die hochgehobene Kählerform der universellen Überlagerung das Differential einer beschränkten Differentialform ist.
  • In der Homotopietheorie ist ein hyperbolischer Raum ein topologischer Raum mit . Hier bezeichnet die i-te Homotopiegruppe und ihren Rang. Diese Definition steht in keinem Zusammenhang mit der in diesem Artikel besprochenen.

Literatur Bearbeiten

  • Eugenio Beltrami: Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea. Giornale Matemat. 6 (1868), 284–312
  • Eugenio Beltrami: Teoria fondamentale degli spazii di curvatura constante. Ann. Mat. Ser. II 2 (1868–69), 232–255, doi:10.1007/BF02419615.
  • Felix Klein: Über die sogenannte nicht-euklidische Geometrie Math. Ann. 4 (1871), 573–625, doi:10.1007/BF01443189.
  • Henri Poincaré: Théorie des groupes fuchsiens. Acta Math. 1 (1882), 1–62 pdf
  • Henri Poincaré: Mémoire sur les groupes kleinéens. Acta Math. 3 (1883), 49–92 pdf
  • Henri Poincaré: Sur les applications de la géométrie non-euclidienne à la théorie des formes quadratiques. Assoc. Franç. Compt. Rend. 1881, 132–138 pdf

Die 6 obigen Arbeiten sind ins Englische übersetzt in:

  • Stillwell, John: Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics, 10. American Mathematical Society, Providence, RI; London Mathematical Society, London, 1996. x+153 pp. ISBN 0-8218-0529-0

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Oláh-Gál: The n-dimensional hyperbolic space in E4n−3. Publ. Math. Debrecen 46 (1995), no. 3-4, 205–213.
  2. Karzel-Sörensen-Windelberg: Einführung in die Geometrie. Göttingen 1973
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Veröffentlichungsdatum:
In der Geometrie ist der hyperbolische Raum ein Raum mit konstanter negativer Krummung Er erfullt die Axiome der euklidischen Geometrie mit Ausnahme des Parallelenaxioms Der zweidimensionale hyperbolische Raum mit konstanter Krummung 1 displaystyle 1 heisst hyperbolische Ebene Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eindeutigkeit 3 Eigenschaften 3 1 Trigonometrie 3 2 Exponentielles Wachstum 3 3 Isometrien 4 Modelle 4 1 Poincare Halbraum Modell 4 2 Poincare Ball Modell 4 3 Hyperboloid Modell 4 4 Projektives Modell 4 5 Historie 5 Homogener Raum 6 Einbettung in den euklidischen Raum 7 Andere Verwendungen des Begriffs hyperbolischer Raum 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei n displaystyle n nbsp eine naturliche Zahl Der n dimensionale hyperbolische Raum H n displaystyle mathbb H n nbsp ist die n dimensionale einfach zusammenhangende vollstandige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrummung konstant 1 displaystyle 1 nbsp Die Existenz des n dimensionalen hyperbolischen Raumes ergibt sich aus den unten angegebenen Modellen die Eindeutigkeit aus dem Satz von Cartan Gelegentlich wird die Bezeichnung hyperbolischer Raum auch allgemeiner fur d displaystyle delta nbsp hyperbolische Raume im Sinne von Gromov verwendet Dieser Artikel betrachtet jedoch im Folgenden nur den hyperbolischen Raum mit Schnittkrummung 1 Am Ende des Artikels werden weitere teilweise nicht kompatible in der Mathematik vorkommende Verwendungen des Begriffes Hyperbolischer Raum aufgelistet Eindeutigkeit BearbeitenAus einem Satz von Elie Cartan folgt dass der n dimensionale hyperbolische Raum bis auf Isometrie eindeutig ist Insbesondere sind die unten angegebenen Modelle des n dimensionalen hyperbolischen Raumes alle isometrisch zueinander Eigenschaften Bearbeiten nbsp Hyperbolisches DreieckZu jeder Geodate L displaystyle L nbsp und jedem Punkt P L displaystyle P not in L nbsp gibt es unendlich viele zu L displaystyle L nbsp disjunkte Geodaten durch P displaystyle P nbsp Die Innenwinkelsumme von Dreiecken ist stets kleiner als p displaystyle pi nbsp Der Flacheninhalt eines Dreiecks ist p a b g displaystyle pi alpha beta gamma nbsp wobei a b g displaystyle alpha beta gamma nbsp die Innenwinkel sind Trigonometrie Bearbeiten Es gelten die Formeln der hyperbolischen Trigonometrie sin a sinh a sin b sinh b sin g sinh c displaystyle frac sin alpha sinh a frac sin beta sinh b frac sin gamma sinh c nbsp und cosh c cosh a cosh b sinh a sinh b cos g displaystyle cosh c cosh a cosh b sinh a sinh b cos gamma nbsp wobei a b g displaystyle alpha beta gamma nbsp die Innenwinkel eines Dreiecks und a b c displaystyle a b c nbsp die Langen der gegenuberliegenden Seiten sind Exponentielles Wachstum Bearbeiten Das Volumen eines Balles vom Radius r displaystyle r nbsp ist 2 p n 2 G n 2 0 r sinh n 1 r d r displaystyle frac 2 pi n 2 Gamma left frac n 2 right int 0 r sinh n 1 rho d rho nbsp es wachst somit exponentiell mit dem Radius Isometrien Bearbeiten Geodatische Halbgeraden in H n displaystyle mathbb H n nbsp heissen asymptotisch wenn sie endlichen Abstand haben Dies definiert eine Aquivalenzrelation auf der Menge der geodatischen Halbgeraden Der Rand im Unendlichen H n displaystyle partial infty mathbb H n nbsp ist die Menge der Aquivalenzklassen von auf Bogenlange parametrisierten geodatischen Halbgeraden Jede Isometrie f H n H n displaystyle f colon mathbb H n rightarrow mathbb H n nbsp lasst sich auf den Rand im Unendlichen H n displaystyle partial infty H n nbsp fortsetzen Die Isometrien des hyperbolischen Raumes fallen in die folgenden bis auf die Identitats Abbildung disjunkten Klassen elliptisch f displaystyle f nbsp hat einen Fixpunkt in H n displaystyle mathbb H n nbsp loxodromisch f displaystyle f nbsp hat keinen Fixpunkt in H n displaystyle mathbb H n nbsp lasst aber zwei Punkte in H n displaystyle partial infty mathbb H n nbsp und die sie verbindende Geodate invariant parabolisch f displaystyle f nbsp lasst einen Punkt p H n displaystyle p in partial infty mathbb H n nbsp und seine Horospharen invariant Die Gruppe der Isometrien des H n displaystyle mathbb H n nbsp ist isomorph zu O n 1 displaystyle O n 1 nbsp Modelle BearbeitenPoincare Halbraum Modell Bearbeiten nbsp Teilung der oberen Halbebene in isometrische geodatische SiebeneckeDer Halbraum x 1 x n R n x n gt 0 R n displaystyle left x 1 ldots x n in mathbb R n x n gt 0 right subset mathbb R n nbsp mit der Riemannschen Metrik d x 1 2 d x n 2 x n 2 displaystyle frac dx 1 2 ldots dx n 2 x n 2 nbsp ist ein Modell des hyperbolischen Raumes Fur n 2 displaystyle n 2 nbsp wird es auch als Poincare Halbebenen Modell bezeichnet Poincare Ball Modell Bearbeiten nbsp Teilung der Kreisscheibe Gleichfarbige Gebiete sind isometrisch zueinander im Poincare Ball Modell Die offene Kugel x 1 x n R n x 1 2 x n 2 lt 1 R n displaystyle left x 1 ldots x n in mathbb R n x 1 2 ldots x n 2 lt 1 right subset mathbb R n nbsp mit der Riemannschen Metrik 4 d x 1 2 d x n 2 1 x 1 2 x n 2 2 displaystyle 4 frac dx 1 2 ldots dx n 2 left 1 x 1 2 ldots x n 2 right 2 nbsp ist ein Modell des hyperbolischen Raumes Fur n 2 displaystyle n 2 nbsp wird es auch als Poincare Kreisscheiben Modell bezeichnet Hyperboloid Modell Bearbeiten Betrachte den R n 1 displaystyle mathbb R n 1 nbsp mit der Pseudo Riemannschen Metrik d x 1 2 d x 2 2 d x n 1 2 displaystyle dx 1 2 dx 2 2 ldots dx n 1 2 nbsp Das Hyperboloid x 1 x n 1 R n 1 x 1 2 x 2 2 x n 1 2 1 x 1 gt 0 R n 1 displaystyle left x 1 ldots x n 1 in mathbb R n 1 x 1 2 x 2 2 ldots x n 1 2 1 x 1 gt 0 right subset mathbb R n 1 nbsp mit der induzierten Metrik ist ein Modell des hyperbolischen Raumes Projektives Modell Bearbeiten nbsp Teilung der Kreisscheibe in Drei und Siebenecken die im Beltrami Klein Modell geodatisch und jeweils isometrisch zueinander sind Sei p R n 1 0 R P n displaystyle p colon mathbb R n 1 setminus 0 rightarrow mathbb R P n nbsp die kanonische Projektion auf den projektiven Raum dann erhalt man das projektive Modell des hyperbolischen Raumes als Bild des Hyperboloids unter p displaystyle p nbsp Nach der Identifikation R P n R n R P n 1 displaystyle mathbb R P n mathbb R n cup mathbb R P n 1 nbsp entspricht das projektive Modell der Menge x 1 x n R n x 1 2 x n 2 lt 1 R n displaystyle left x 1 ldots x n in mathbb R n x 1 2 ldots x n 2 lt 1 right subset mathbb R n nbsp Abstande berechnen sich gemass der Hilbert Metrik d p q 1 2 log q a b p p a b q displaystyle d p q frac 1 2 log frac qa bp pa bq nbsp wobei die Betragsstriche fur euklidische Abstande stehen sollen und a b displaystyle a b nbsp die Schnittpunkte der Geodaten durch p q displaystyle p q nbsp mit der Einheitssphare sind Historie Bearbeiten Das Projektive Modell das Poincare Ball Modell und das Poincare Halbraum Modell wurden 1868 von Eugenio Beltrami konstruiert alle drei als Bilder eines weiteren sogenannten hemispharischen Modells unter geeigneten Isometrien Das Poincare Ball Modell war fur n 2 displaystyle n 2 nbsp bereits 1850 von Liouville untersucht worden und das projektive Modell kam 1859 in einer Arbeit Cayleys zur projektiven Geometrie vor allerdings ohne Herstellung des Zusammenhangs zur hyperbolischen Geometrie Zuvor hatten Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski und Janos Bolyai eine auf Axiomen aufbauende Theorie des hyperbolischen Raumes entwickelt und zahlreiche seiner Eigenschaften formal hergeleitet Erst mit den von Beltrami angegebenen Modellen war aber der Beweis erbracht dass die hyperbolische Geometrie widerspruchsfrei ist Henri Poincare entdeckte dass die hyperbolische Geometrie auf naturliche Weise bei der Untersuchung von Differentialgleichungen und in der Zahlentheorie bei der Untersuchung von quadratischen Formen vorkommt Im Zusammenhang mit der Untersuchung ternarer quadratischer Formen benutzte er 1881 erstmals das Hyperboloid Modell Homogener Raum BearbeitenDer hyperbolische Raum ist der homogene Raum H n O n 1 O n O 1 O 0 n 1 O n S O 0 n 1 S O n displaystyle mathbb H n O n 1 O n times O 1 O 0 n 1 O n SO 0 n 1 SO n nbsp wobei S O 0 n 1 displaystyle S O 0 n 1 nbsp die Zusammenhangskomponente der Eins in S O n 1 displaystyle S O n 1 nbsp bezeichnet Damit ist hyperbolische Geometrie eine Geometrie im Sinne von Felix Kleins Erlanger Programm Fur n 2 3 displaystyle n 2 3 nbsp hat man auch die Darstellungen H 2 S L 2 R S O 2 displaystyle mathbb H 2 SL 2 mathbb R SO 2 nbsp H 3 S L 2 C S U 2 displaystyle mathbb H 3 SL 2 mathbb C SU 2 nbsp Einbettung in den euklidischen Raum BearbeitenDer hyperbolische Raum H n displaystyle mathbb H n nbsp besitzt eine isometrische C displaystyle C infty nbsp Einbettung in den euklidischen Raum R 4 n 3 displaystyle mathbb R 4n 3 nbsp 1 Andere Verwendungen des Begriffs hyperbolischer Raum BearbeitenIn der metrischen Geometrie sind d displaystyle delta nbsp hyperbolische Raume im Sinne von Gromov auch als Gromov hyperbolische Raume bezeichnet eine Klasse von metrischen Raumen zu der unter anderem einfach zusammenhangende Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrummung insbesondere also auch der hyperbolische Raum gehoren Endlich erzeugte Gruppen werden als hyperbolische Gruppen bezeichnet wenn ihr Cayley Graph ein d displaystyle delta nbsp hyperbolischer Raum ist In der Theorie der symmetrischen Raume gibt es neben den in diesem Artikel betrachteten hyperbolischen Raumen die in diesem Zusammenhang oft als reell hyperbolische Raume bezeichnet werden noch die komplex hyperbolischen und quaternionisch hyperbolischen Raume sowie die Cayley hyperbolische Ebene Diese werden fur K R C H displaystyle mathbb K mathbb R mathbb C mathbb H nbsp oder O displaystyle mathbb O nbsp definiert als x 1 x n 1 K n 1 x 1 2 x 2 2 x n 1 2 1 K n 1 displaystyle left x 1 ldots x n 1 in mathbb K n 1 x 1 2 x 2 2 ldots x n 1 2 1 right subset mathbb K n 1 nbsp mit der induzierten Riemannschen Metrik In der Inzidenzgeometrie ist ein hyperbolischer Raum ein angeordneter Inzidenzraum mit einer Kongruenzrelation und der Eigenschaft dass jede Ebene mit der induzierten Anordnung und Kongruenzrelation eine hyperbolische Ebene im Sinne von Karzel Sorensen Windelberg 2 ist Insbesondere gibt es in der endlichen Geometrie den Begriff endlicher hyperbolischer Raume In der komplexen Analysis heisst eine komplexe Mannigfaltigkeit X displaystyle X nbsp Brody hyperbolisch wenn jede holomorphe Abbildung f C X displaystyle f colon mathbb C rightarrow X nbsp konstant ist Dies gilt insbesondere fur die durch das Poincare Kreisscheiben Modell gegebene komplexe Struktur auf der hyperbolischen Ebene siehe Satz von Liouville Ebenfalls in der komplexen Analysis heisst eine komplexe Mannigfaltigkeit Kobayashi hyperbolisch oder nur hyperbolisch wenn die Kobayashi Pseudo Metrik eine Metrik ist Fur kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten sind Brody Hyperbolizitat und Kobayashi Hyperbolizitat aquivalent In der komplexen Differentialgeometrie heissen Kahler Mannigfaltigkeiten M w displaystyle M omega nbsp Kahler hyperbolisch wenn die hochgehobene Kahlerform w displaystyle widetilde omega nbsp der universellen Uberlagerung M displaystyle widetilde M nbsp das Differential einer beschrankten Differentialform ist In der Homotopietheorie ist ein hyperbolischer Raum ein topologischer Raum X displaystyle X nbsp mit i r k p i X displaystyle sum i rk pi i X infty nbsp Hier bezeichnet p i X displaystyle pi i X nbsp die i te Homotopiegruppe und r k displaystyle rk nbsp ihren Rang Diese Definition steht in keinem Zusammenhang mit der in diesem Artikel besprochenen Literatur BearbeitenEugenio Beltrami Saggio di interpretazione della geometria non euclidea Giornale Matemat 6 1868 284 312 Eugenio Beltrami Teoria fondamentale degli spazii di curvatura constante Ann Mat Ser II 2 1868 69 232 255 doi 10 1007 BF02419615 Felix Klein Uber die sogenannte nicht euklidische Geometrie Math Ann 4 1871 573 625 doi 10 1007 BF01443189 Henri Poincare Theorie des groupes fuchsiens Acta Math 1 1882 1 62 pdf Henri Poincare Memoire sur les groupes kleineens Acta Math 3 1883 49 92 pdf Henri Poincare Sur les applications de la geometrie non euclidienne a la theorie des formes quadratiques Assoc Franc Compt Rend 1881 132 138 pdfDie 6 obigen Arbeiten sind ins Englische ubersetzt in Stillwell John Sources of hyperbolic geometry History of Mathematics 10 American Mathematical Society Providence RI London Mathematical Society London 1996 x 153 pp ISBN 0 8218 0529 0Weblinks BearbeitenCannon Floyd Kenyon Parry Hyperbolic Geometry PDF 425 kB Einzelnachweise Bearbeiten Olah Gal The n dimensional hyperbolic space in E4n 3 Publ Math Debrecen 46 1995 no 3 4 205 213 Karzel Sorensen Windelberg Einfuhrung in die Geometrie Gottingen 1973 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hyperbolischer Raum amp oldid 225450669